數(shù)值計(jì)算方法大作業(yè)1

1、華長(zhǎng)生制作1江西財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與決策科學(xué)系制作：華長(zhǎng)生華長(zhǎng)生制作2大作業(yè)（1）估計(jì)水塔的水流量(AMCM91)某地的用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供每小時(shí)多少升計(jì)的用水率以及所用的總水量.許多社區(qū)沒(méi)有測(cè)量流入或流出水塔的水量的裝置,只能代之以每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位,其誤差不超過(guò)0.5%,更重要的是,當(dāng)水塔的水位下降到最低水位L時(shí)水泵就自動(dòng)啟動(dòng)向水塔輸水直到最高水位H水泵自動(dòng)停止,并且也不能測(cè)量水泵的供水量.因此當(dāng)水泵正在輸水時(shí)不容易建立水塔中水位和水泵供水時(shí)用水量之間的關(guān)系,水泵每天供水一次或兩次,每次約二小時(shí).試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵供水時(shí))從水塔流出的流量f(t),并估計(jì)一天中的總水量.(附表為某

2、地一天中真實(shí)的數(shù)據(jù))華長(zhǎng)生制作3某地某天水塔水位時(shí)間(秒) 0 3316 66351061913937179212124025223285433228435932393323943543318水位(0.01英尺)3175311030542994294728922850279527522697水泵開(kāi)動(dòng)水泵開(kāi)動(dòng)35503445時(shí)間(秒)4663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270水位(0.01英尺)335032603167308730122927284227672697水泵開(kāi)動(dòng)水泵開(kāi)動(dòng)347533973

3、340水塔直徑:57英尺高40英尺L=27英尺H=35.5英尺本問(wèn)題要用到插值,擬合,數(shù)值微分和數(shù)值積分等知識(shí),并注意單位的統(tǒng)一.華長(zhǎng)生制作4一、問(wèn)題的提出和分析(簡(jiǎn)略)水位3175311030542994294728922850279527522697水泵開(kāi)動(dòng)水泵開(kāi)動(dòng)35503445水位335032603167308730122927284227672697水泵開(kāi)動(dòng)水泵開(kāi)動(dòng)347533973340時(shí)間00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.9286 8.9678 9.981110.9256 10.954212.0328時(shí)間12.954413.

4、875814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083時(shí)間單位:小時(shí),水位單位:0.01英尺為了分析的方便先將數(shù)據(jù)中的時(shí)間單位化為小時(shí)本問(wèn)題最大的困難在于不知道水泵啟動(dòng)時(shí)水位的變化和向外水流的速度華長(zhǎng)生制作50510152025306.577.588.599.5時(shí) 間 ：小時(shí)水 塔 中 水 量 ：立 方英 尺水 塔 中 水 量 變化圖用水量等于向外水流速度乘以時(shí)間(流速的積分)因此如何確定流速是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵華長(zhǎng)生制作6二、模型的假設(shè)1.除了問(wèn)題中特別說(shuō)明的數(shù)據(jù)以外,其他

5、給定的數(shù)據(jù) 其測(cè)量誤差不超過(guò)0.5%;2.一天之中,任意從一個(gè)開(kāi)始時(shí)刻,如從t=0起到t=24小 時(shí)結(jié)束,一天開(kāi)始時(shí)刻的不同不影響一天總水量;3.管理部門(mén)不考慮水流速度的瞬間值,感興趣的是整 個(gè)一天中的用水總趨勢(shì);5.假設(shè)水流的速度是連續(xù)變化的,流速可以用一條光 滑的曲線近似表示,即在給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)上有連續(xù)的 二階導(dǎo)數(shù)4.水泵抽水的速度是均勻的;華長(zhǎng)生制作7三、模型的建立和求解1.確定近似流速水泵不供水時(shí),水流速度不難用數(shù)值方法描述但如何描述清楚水泵向水塔供水期間的流速?我們首先估計(jì)水泵不啟動(dòng)時(shí),每個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)上的流速流速等于水量的變化除以時(shí)間的變化時(shí)刻水塔中水的容量為假設(shè)ttfy)(iiiif

6、tft時(shí)刻水塔中水的容量為表示),(華長(zhǎng)生制作8的近似值處的導(dǎo)數(shù)求使用中點(diǎn)數(shù)值求導(dǎo)公式)(iitft水泵不啟動(dòng)時(shí)段共有3段對(duì)于每段的前兩個(gè)點(diǎn))43(1)(321131ffftttf)(1)(13132fftttf對(duì)于每段的后兩個(gè)點(diǎn))43(1)(212nnnnnnffftttf)(1)(221nnnnnfftttf華長(zhǎng)生制作9對(duì)于每段的其余點(diǎn))88()(31)(211222iiiiiiifffftttf如此,可得各時(shí)刻點(diǎn)上的流速(見(jiàn)下圖(立方英尺/小時(shí)）)()(iitftv05101520253010001500200025003000時(shí) 間流 速流 速 散 點(diǎn)圖(負(fù)號(hào)保證流速為正數(shù))華長(zhǎng)生制作

7、102.確定水泵啟動(dòng)時(shí)的流量及總流量曲線在1.中已經(jīng)得到了已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(水泵不啟動(dòng)時(shí))上的近似流速根據(jù)假設(shè)5,水流的速度可以表示為一條光滑的曲線因此考慮使用已經(jīng)求出的水泵未啟動(dòng)時(shí)的流速來(lái)近似模擬水泵啟動(dòng)時(shí)的流速這種模擬有兩種方式:插值和擬合由于假設(shè)流速具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)因此采用三次樣條插值多項(xiàng)式來(lái)模擬任意時(shí)刻的流速華長(zhǎng)生制作11的流速表示時(shí)刻用ttv )(見(jiàn)下圖05101520253010001500200025003000時(shí) 間流 速流 速 曲 線水泵啟動(dòng)華長(zhǎng)生制作123.確定總用水量前面已經(jīng)求出水流的流速曲線,如何求總用水量呢?可以考慮以下兩種方式:(1).一種方式是使用流速在時(shí)刻0至24小

8、時(shí)上積分dxtvQ240)(使用MATLAB軟件中的梯形求積公式Q=trapz(t,v)t的范圍024小時(shí)從流速曲線圖可以看出,流速在0時(shí)刻和24時(shí)的流速近似相等,因此流速是近似地以一天為周期的華長(zhǎng)生制作13(2)直接根據(jù)高度的變化求出水泵不啟動(dòng)時(shí)的用水量結(jié)果為Q1=45575(立方英尺)一天的用水量約為45575立方英尺,合1293.1噸用積分求出水泵啟動(dòng)時(shí)的用水量近似值,然后相加選擇024小時(shí)內(nèi)的范圍0 8.9678小時(shí)內(nèi), 高度從31.75下降至26.97英尺用水量為hrq21)97.2675.31(2572)(12197 立方英尺華長(zhǎng)生制作14在10.954220.8392小時(shí)內(nèi), 高

9、度從35.50降至2697英尺用水量為hrq22)97.2650.35(2572)(21767 立方英尺dxtvq9542.109678. 81)(然后用數(shù)值積分求出兩次水泵啟動(dòng)期間的用水量dxtvq248392.202)()(4490 立方英尺)(9 .6674立方英尺華長(zhǎng)生制作1521212qqqqQ總用水量為)(9 .45128立方英尺即一天的用水量約為45128.9立方英尺,合1280.4噸四、誤差分析考慮兩種求總用水量的結(jié)果)(455751立方英尺Q)(9 .451282立方英尺Q由數(shù)值積分求出結(jié)合高度和數(shù)值積分求出華長(zhǎng)生制作16根據(jù)高度求出的水泵未啟動(dòng)時(shí)的用水量可以認(rèn)為是精確的)(

10、211qqQ)9 .66744490(45575)(1 .34410立方英尺由數(shù)值積分求出的水泵未啟動(dòng)時(shí)的用水量)(212qqQ)9 .66744490(9 .45128)(33964 立方英尺根據(jù)高度求出的水泵未啟動(dòng)時(shí)的用水量,可以認(rèn)為是精確值華長(zhǎng)生制作17我們使用水泵未啟動(dòng)時(shí)的用水量的誤差近似替代總的誤差%314. 133946339461 .34410因此可以認(rèn)為用水量的誤差近似為1.314%五、模型應(yīng)用根據(jù)流速曲線可以向管理機(jī)構(gòu)提交一份用水量變化的報(bào)告以便管理機(jī)構(gòu)掌握向居民供水的強(qiáng)度如用水高峰時(shí)的安排等等華長(zhǎng)生制作18六、模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)1.優(yōu)點(diǎn):(1)模型的靈活性較好,可以用到那些擁有垂直圓柱型水塔的社區(qū)或單位,模型中的數(shù)據(jù)只要是離散的時(shí)間和水位的高度;(2)模型所用的數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單,并且也容易理解,一階導(dǎo)數(shù)、三次樣條插值和積分都是被廣泛使用的概念;(3)只要提供了數(shù)據(jù)和計(jì)算機(jī),模型很容易實(shí)現(xiàn);(4)模型為一