第五講 整除問題

1、.第五講 整除問題（一）1、 整除：若整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除（或者說b能整除a），記作：b|a.注意b不能為0，0不能是除數(shù). 例如：153=5，記作3 | 15， 637=9，記作7 | 63 二、數(shù)的整除的性質(zhì)（1）如果數(shù)a、b都能被c整除，那么它們的和（a+b）或差（ab）也能被c整除. 例如：如果2 | 10，2 | 6，那么2 |（10+6），并且2 |（10-6）.（2）如果數(shù)a能被自然數(shù)b整除，自然數(shù)b能被自然數(shù)c整除，則數(shù)a必能被數(shù)c整除. 例如：如果408 ，84，那么404（3） 如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a. 即：

2、bc | a，那么b | a，c | a.（4） 如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a. 即：如果b | a，c | a，且（b，c）=1，那么bc | a. 例如：2 | 28，7 | 28，且（2，7）=1，那么（27）| 28.三、整除特征：（1）能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).（2）能被5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0或5的整數(shù).（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除.（6）

3、能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)數(shù)字和之差（以大減?。┠鼙?1整除.（7）能被7（或13）整除的數(shù)的特征：這個數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7（或13）整除.四、例題：1、在內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，滿足：（1）34能同時被2、3、4、5整除；_（2）736能被24整除._2、四位數(shù)72能同時被2、3、5整除，這樣的四位數(shù)有幾個？分別是多少？3、有一個兩位數(shù)不能被3、6、9整除，加上8后就能夠被3、6、9整除了，這個數(shù)最大是幾？4、商店里有6只不同的貨箱,分別裝有貨物15、16、18、19、20、31千克.兩個顧客買走其中5箱貨物，而一個

4、顧客的貨物重量是另一個顧客的2倍，商店里剩下的那箱貨物是多少千克？5、小馬虎在寫一張紙上寫了一個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù):365,其中十位數(shù)字和千位數(shù)字看不清了,但是已知這個數(shù)是75的倍數(shù),那么滿足上述條件的五位數(shù)中,最大的一個是多少? 6.用0-9這十個數(shù)字組成能被11整除的最大十位數(shù)是多少?最小十位數(shù)是多少?7.小明的媽媽買了3斤蘋果,又買了6斤梨,售貨員說一共是8.80元,小明說售貨員算錯了.你是怎樣想的?售貨員真的算錯了嗎?8.在1-500中,不能被2整除,也不能被3整除,又不能被7整除的數(shù)有多少個?9.有5箱礦石,質(zhì)量分別是12千克,15千克,10千克,8千克和13千克.從中選出4箱給甲乙

5、兩個人,甲的質(zhì)量是乙的2倍.剩下的是哪一箱?五、練習(xí):1、在358后面補上三個數(shù)字,組成一個六位數(shù),使它能被3.4.5整除,且使這個數(shù)值盡可能小.2、既能被2整除,又是3的倍數(shù),還有約數(shù)5的最小兩位數(shù)是多少?最大的兩位數(shù)是多少?3、求一個首位數(shù)字為5的最小六位數(shù),使這個數(shù)能被9整除,且各位數(shù)字均不相同.4、四位數(shù)6A3B能被2.3.5整除,這樣的四位數(shù)有幾個?分別是多少? 5、有一個四位數(shù),千位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都被擦掉了,知道了這個數(shù)十位上的數(shù)字是1,個位上的數(shù)字是2.又知道這個數(shù)如果減去7能被7整除,減去8能被8整除,減去9能被9整除.求這個四位數(shù).6、一位后勤人員買了72本筆記本,可是由于他吸煙不小心,火星落在帳本上,把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的:72本筆記本,共67.9元(為被燒掉的數(shù)字),請把處數(shù)字填寫完整,并求出筆記本的單價.7、4包糖,質(zhì)量分別是1.2千克，0.7千克，3.3千克，4.5千克，將其中的3包糖分給了甲乙兩個幼兒園，1個幼兒園分到糖的質(zhì)量是另一個幼兒園的8倍.剩下的1包糖的質(zhì)量是多少千克?8、1-1000之間的自