地球物理反演理論1章ppt課件

1、地球物理反演實(shí)際中國石油大學(xué)地球資源與信息學(xué)院 宋建國課 程 內(nèi) 容第一章 地球物理反演的根本概念 第二章 數(shù)學(xué)知識根底 第三章 線性問題最小平方反演廣義矩陣法 第四章 約束線性最小平方反演 第五章 線性反演誤差分析 第一章 地球物理反演根本概念主要內(nèi)容 一、簡介 二、根本概念 三、離散化和線性化 四、小結(jié)第一節(jié) 簡介v地球物理學(xué)家的一個主要目的就是 確定地下構(gòu)造和巖性物理性質(zhì)只需能得到這種信息，哪怕是不完善的，也將大大加強(qiáng)選擇油氣鉆井和礦藏位置的正確性。由于不能直接研討地球的一切部分，地球物理學(xué)家必需運(yùn)用遙感技術(shù)來獲取地下構(gòu)造的信息。這種觀測往往在地表進(jìn)展，遙感實(shí)驗(yàn)表示圖如以下圖所示： 地球

2、 一個輸入信號被傳輸?shù)降叵?，并按照物理方程確定的方式在地下傳播。在地面記錄改動后的信號輸出信號。 圖1-1 遙感實(shí)驗(yàn)表示圖 輸出信號可看成是輸入信號的濾波結(jié)果，而濾波器的特性不僅決議于物理方程，而且也取決于信號所穿透地層的構(gòu)造和物理性質(zhì)。輸出由一系列觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成，這些數(shù)據(jù)以及物理方程和觀測系統(tǒng)可用于提供地層信息。用于提取地層信息的數(shù)學(xué)公式被稱為反演實(shí)際。第一節(jié) 簡介第一節(jié) 簡介 例如：地震曲折射勘探中，沿程度面觀測回折波，速度僅隨深度Z變化，如以下圖所示： 圖1-2:a 回折波途徑 b 回折波時距曲線 在該實(shí)驗(yàn)中輸入為爆炸產(chǎn)生的地震子波，而輸出或觀測數(shù)據(jù)為在一系列距震源不同間隔X炮檢距處記錄下

3、的首波到達(dá)時間。假設(shè)輸入信號、實(shí)驗(yàn)的幾何特征例如層狀介質(zhì)和地震波能量傳播的物理規(guī)律知，反演實(shí)際就可用于由觀測的時距曲線t(x)提取v(z)。 反演實(shí)際的一些闡明 第一節(jié) 簡介 對一個反演問題存在多種公式化方法，不同的人采用不同的方法。大部分文獻(xiàn)中對于地球物理反演問題，將地球參數(shù)化為幾個參數(shù)，從而觀測數(shù)據(jù)多于待定參數(shù)。最小平方法可用于尋求待定參數(shù)，獲得觀測數(shù)據(jù)與參數(shù)模型相應(yīng)的最正確匹配。對于部分反演問題，這是一個有效的方法，但這只是反演問題的一種解法。本門課程討論求解反演問題的更普通做法。1、反演問題的非獨(dú)一性、反演問題的非獨(dú)一性 Nonuniqueness2、觀測數(shù)據(jù)誤差的影響、觀測數(shù)據(jù)誤差的

4、影響 Consequences of errors 反演實(shí)際的一些闡明這里的反演實(shí)際主要是基于Backus和Gilbert的論文，將集中討論地球數(shù)據(jù)反演問題中遇到的兩個問題 ： 在本課程中還將看到觀測數(shù)據(jù)中含有的模型信息能夠有多種表達(dá)方式。采用哪一種方式最有效取決于反演問題的性質(zhì)。在后邊的討論中將對同一數(shù)據(jù)采用不同的反演方法，并獲得模型的不同信息。 這里將主要圍繞地球物理、尤其是反射地震學(xué)的問題。實(shí)踐上求解反演問題的方法和方式是非常通用的，可在一切科學(xué)研討領(lǐng)域得到運(yùn)用?，F(xiàn)實(shí)上可將涉及觀測數(shù)據(jù)整理的問題都看成反演問題廣義反演。在反射波地震勘探中反演往往指波阻抗反演，筆者以為這是地震勘探中對反演的

5、獨(dú)特定義俠義反演。 本章將引見反演問題的性質(zhì)及獲得可行解的困難，其他章節(jié)將涉及各種方法及例子 。第二節(jié) 根本概念 在地球物理學(xué)和相關(guān)學(xué)科中，通常在控制條件即系統(tǒng)方式下進(jìn)展實(shí)驗(yàn)，得到能夠是觀測結(jié)果的數(shù)據(jù)。這些代表客觀物理世界某些特性的觀測值，稱為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或觀測數(shù)據(jù)。為了對這些數(shù)據(jù)進(jìn)展解釋和整理，首先必需研討物理系統(tǒng)特性分布與觀測數(shù)據(jù)地球物理呼應(yīng)之間的關(guān)系。描畫這種關(guān)系的方程系構(gòu)成了正演實(shí)際。 正演實(shí)際：描畫物理系統(tǒng)特性分布與觀測數(shù)據(jù)地球物理呼應(yīng)之間的關(guān)系的方程系構(gòu)成正演實(shí)際。 正演問題：在給定輸入信號、地球模型、觀測系統(tǒng)和物理關(guān)系的前提下計(jì)算預(yù)測實(shí)驗(yàn)的輸出數(shù)據(jù)觀測數(shù)據(jù)。簡單地說，就是將模型空間的

6、一個元素映射到數(shù)據(jù)空間的一點(diǎn)。圖中模型空間包括一切能夠的模型。對于前面引見的地震折射問題，模型為速度函數(shù)V(z)，模型空間的元素為一切能夠的垂向速度分布函數(shù)。數(shù)據(jù)空間的元素為游覽時函數(shù)t(x)或離散游覽時。函數(shù)F是觀測數(shù)據(jù)e與模型m的關(guān)系，F(xiàn)那么包含了物理實(shí)驗(yàn)的觀測系統(tǒng)和物理性質(zhì)。正演問題可用下式表示： F(m)=e也就是說，知模型m和映射關(guān)系F，計(jì)算觀測數(shù)據(jù)e。第二節(jié) 根本概念 在地球物理學(xué)中，對一個假設(shè)的地質(zhì)模型，給定某些參數(shù)例如速度、層數(shù)、厚度，用實(shí)際關(guān)系式數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出某種可觀丈量的量地震波。所獲得的數(shù)據(jù)稱為實(shí)際數(shù)據(jù)、合成數(shù)據(jù)或預(yù)測數(shù)據(jù)。 在地震勘探中典型的正演過程是合成記錄的制造。目

7、前許多軟件提供合成地震記錄的制造模塊，但方法不盡一樣。第二節(jié) 根本概念圖 正、反演問題圖 正演過程第二節(jié) 根本概念線性映射：設(shè)線性映射：設(shè)m1和和m2為模型空間的兩個元素，為模型空間的兩個元素，和和 為恣為恣意常數(shù)。那么當(dāng)且僅當(dāng)下式成立時映射或意常數(shù)。那么當(dāng)且僅當(dāng)下式成立時映射或F為線性的：為線性的：即，即，假設(shè)模型數(shù)值翻倍，觀測數(shù)據(jù)也翻倍。兩個模型線性和的假設(shè)模型數(shù)值翻倍，觀測數(shù)據(jù)也翻倍。兩個模型線性和的觀測數(shù)據(jù)等于各模型觀測數(shù)據(jù)的線性和，我們所討論的線觀測數(shù)據(jù)等于各模型觀測數(shù)據(jù)的線性和，我們所討論的線性映射也可以寫成下式：性映射也可以寫成下式： 1.1式中式中e(t)為觀測數(shù)據(jù)，為觀測數(shù)據(jù)

8、，m(u)為模型，為模型，G(t,u)為核函數(shù)?？芍獮楹撕瘮?shù)?？芍囱輪栴}的物理性質(zhì)包含與核函數(shù)中，而觀測系統(tǒng)與核函反演問題的物理性質(zhì)包含與核函數(shù)中，而觀測系統(tǒng)與核函數(shù)和積分限都有關(guān)。數(shù)和積分限都有關(guān)。公式公式1.1稱為第一類稱為第一類Fredholm方程。諸如公式方程。諸如公式1.1之類的線性方程經(jīng)常在地球物理問題中出現(xiàn)。下面是一個之類的線性方程經(jīng)常在地球物理問題中出現(xiàn)。下面是一個例子：例子：2121mFmFmmFbua )(),()(baduumutGte反演實(shí)際：就是從一個物理系統(tǒng)上的觀測值反演實(shí)際：就是從一個物理系統(tǒng)上的觀測值來恢復(fù)此系統(tǒng)的有用信息的一套數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)來恢復(fù)此系統(tǒng)的有用信息

9、的一套數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)技術(shù)微積分、微分方程、矩陣代數(shù)、統(tǒng)計(jì)技術(shù)微積分、微分方程、矩陣代數(shù)、統(tǒng)計(jì)估算和推斷等。估算和推斷等。 因此關(guān)系到：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)模型、因此關(guān)系到：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)模型、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合模型未知參數(shù)估算及最正實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合模型未知參數(shù)估算及最正確實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等。確實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等。 第二節(jié) 根本概念圖1-4 反映射用公式表示為 ：F-1e=m反演問題：給定數(shù)據(jù)空間的一點(diǎn)，求產(chǎn)生該數(shù)據(jù)反演問題：給定數(shù)據(jù)空間的一點(diǎn)，求產(chǎn)生該數(shù)據(jù)的模型空間的元素。也就是說反演映射是正演映的模型空間的元素。也就是說反演映射是正演映射的逆過程。如圖射的逆過程。如圖1-4所示所示:圖 反演過程 第二節(jié) 根本概念例子：

10、思索地球內(nèi)部的溫度分布，假定地球內(nèi)部的溫度隨深度線性添加，其關(guān)系式可表示成： T(z) =a+bz；正演：假設(shè)給定a和b求不同深度z對應(yīng)的溫度T(z)反演：曾經(jīng)在不同點(diǎn)z測得T(z)，求a和b，即擬合一條直線。前面例子的反問題為：1、知Laplace變換X(s),求x(t)2、知磁場,求電流3、給定均方根速度V2(t),求層速度v2(t)第二節(jié) 根本概念 本課程將涵蓋線性反演問題的一切內(nèi)容。即給定諸如公式1.1那樣的正問題，并知部分的e,我們將試圖產(chǎn)生反演映射來尋覓模型m，或者用觀測數(shù)據(jù)提取關(guān)于模型m的信息。 非常重要的是必需認(rèn)識到除非實(shí)驗(yàn)的物理性質(zhì)和觀測系統(tǒng)知，否那么反演問題無法求解。等價地

11、說，除非正演問題可以求解，否那么不能夠構(gòu)成反演問題。這一點(diǎn)看似簡單，卻往往被忽視。反演不是魔術(shù)，它不能確定問題的物理性質(zhì)。反演實(shí)際只是提供了由觀測數(shù)據(jù)定量求取地球介質(zhì)未知參數(shù)的方法而已。 第二節(jié) 根本概念例如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于反演，同樣必需先處理正演問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)總能在觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)之間建立某種非線性關(guān)系許多研討人員對此非常熱衷，但此種非線性關(guān)系并不一定是等價于實(shí)踐物理規(guī)律例如警察與罪犯。另外例如目前地震勘探中有人在做基于光纖模型的檢波器。這種檢波器在實(shí)際上可以記錄下甚高頻的地震信號。然而在實(shí)踐運(yùn)用中卻發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)沒法分析。甚至分辨不出哪是有效信號哪是干擾信號。究其緣由是未能思索常規(guī)地震勘探

12、的信號頻帶，使得記錄下來的信號幾乎全是噪音。此時不論采用何種高深的反演實(shí)際都不能夠從觀測數(shù)據(jù)獲得任何關(guān)于地球介質(zhì)模型的有效信息。第二節(jié) 根本概念關(guān)于反演問題的解，要留意以下幾個問題：關(guān)于反演問題的解，要留意以下幾個問題： 1、存在性、存在性Existence：能否存在符合觀測數(shù)據(jù)：能否存在符合觀測數(shù)據(jù)e的模的模型型m? 2、可解性、可解性Construction：假設(shè)存在解，如何構(gòu)造？：假設(shè)存在解，如何構(gòu)造？ 3、獨(dú)一性、獨(dú)一性Uniqueness：能否不止一個模型符合觀：能否不止一個模型符合觀測數(shù)據(jù)？測數(shù)據(jù)？ 4、評價、評價(Appraisal)：假設(shè)多個模型符合觀測數(shù)據(jù)，即：假設(shè)多個模型符

13、合觀測數(shù)據(jù)，即多解性，模型的什么信息是獨(dú)一確定的？多解性，模型的什么信息是獨(dú)一確定的？上面問題的答案取決于觀測數(shù)據(jù)。觀測數(shù)據(jù)的類型有：上面問題的答案取決于觀測數(shù)據(jù)。觀測數(shù)據(jù)的類型有：1、完美數(shù)據(jù)、完美數(shù)據(jù)e(t)準(zhǔn)確可知準(zhǔn)確可知2、有限個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)、有限個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)3、有限個不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。、有限個不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。第二節(jié) 根本概念討論：討論：完美數(shù)據(jù)僅存在于數(shù)學(xué)王國。對于一些反演問題，完美數(shù)據(jù)僅存在于數(shù)學(xué)王國。對于一些反演問題，存在解析解準(zhǔn)確解，但需求完美數(shù)據(jù)。例如存在解析解準(zhǔn)確解，但需求完美數(shù)據(jù)。例如公式公式1.2。經(jīng)過公式求導(dǎo)得反演公式：。經(jīng)過公式求導(dǎo)得反演公式：第二節(jié) 根本概念2/1)()(21)(

14、)(tVtVttVtv1.3假設(shè)一切時辰的v(t)知，那么 dttdVtV)()(直接求得層速度。而且解是獨(dú)一的。公式1.3的離散方式就是我們常說的Dix公式。 知，可以公式1.3給出了RMS速度的解析解，有人也許會說反演問題曾經(jīng)得到理處理。普通來說在實(shí)踐計(jì)算中V(t)不是準(zhǔn)確知的，那么公式1.3的結(jié)果能否依然是層速度呢？第二節(jié) 根本概念當(dāng)數(shù)據(jù)有限 ，且不準(zhǔn)確時，必需對地球物理問題進(jìn)展評價。在此假設(shè)我們有準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，且知恣意時辰的V(t)及其導(dǎo)數(shù)，我們可用公式1.3求取層速度。采用如圖1-5所示方法對數(shù)據(jù)進(jìn)展插值。Njtvvjj.1)( 圖1-5 均方根速度反演 該方法存在的困難是存在多種速度插

15、值方法，每個插值函數(shù)v(t)產(chǎn)生一個不同的層速度。圖1-5中示范了兩個例子，哪一個層速度是正確的？當(dāng)速度不準(zhǔn)確時，非獨(dú)一性更差。例如圖1-6所示的具有誤差的數(shù)據(jù)。在誤差范圍內(nèi)存在多個符合觀測數(shù)據(jù)的函數(shù)v(t)，每個函數(shù)產(chǎn)生不同的層速度。 第二節(jié) 根本概念 圖1-6 RMS速度及其誤差任何在該范圍內(nèi)的曲線都是可接受的 該例子闡明反演問題的非獨(dú)一確定性來源于兩個方面：1、有限的數(shù)據(jù)量，2、觀測的不準(zhǔn)確性。既然一切的地球物理數(shù)據(jù)都具有這些性質(zhì)，可知一切地球物理反演問題都存在無限多解。當(dāng)我們試圖獲得特定解時，實(shí)踐上是尋覓最能夠類似地球介質(zhì)的模型。第二節(jié) 根本概念湮沒空間湮沒空間annihilator：

16、(實(shí)驗(yàn)本身帶來的多解實(shí)驗(yàn)本身帶來的多解性性) 有一些模型函數(shù)，其正演問題的解為零輸出。有一些模型函數(shù)，其正演問題的解為零輸出。這樣的函數(shù)被稱為零化子。當(dāng)且僅當(dāng)下式成立時，這樣的函數(shù)被稱為零化子。當(dāng)且僅當(dāng)下式成立時，m*為零化子：為零化子： Fm*=0 (1.4)非零非零m*的存在使得反演問題的解是不獨(dú)一的。思的存在使得反演問題的解是不獨(dú)一的。思索兩個模型索兩個模型m*和和m*+m,其中其中m*滿足公式滿足公式1.4，而而m產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)，即產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)，即Fm=e,且問題為線性問題，且問題為線性問題，那么有：那么有： Fm*+m=Fm*+Fm=0+e=e可知模型可知模型m和和m+m*都產(chǎn)生同樣的

17、觀測數(shù)據(jù)。都產(chǎn)生同樣的觀測數(shù)據(jù)。 第二節(jié) 根本概念圖1-7 層狀介質(zhì)模型各層內(nèi)速度和密度為常數(shù)，為第j層介質(zhì)下邊境的反射系數(shù)。 第二節(jié) 根本概念 零化子并不奧秘，它們在實(shí)際中經(jīng)常出現(xiàn)。例如反射地震勘探中，思索圖1-7所示的程度層狀介質(zhì)，各層為均勻各向同性介質(zhì)。地層間的波阻抗差將引起入射能量在界面上的反射。用 表示第j層下邊境的反射系數(shù)，反射系數(shù)函數(shù)方程為： jrjrjjjtrtr)()(式中 為地表到j(luò)層下界面的雙程游覽時。假設(shè)入射平面地震脈沖w(t)垂直向下傳播，那么地震記錄x(t)可由褶積模型得到，即： j)()()(twtrtx給定子波w(t)就可以得到地震記錄：第二節(jié) 根本概念 圖1-

18、8褶積模型但w(t)為帶限函數(shù)，由于震源中沒有顯著的低頻能量，而高頻成分在地震波傳播中迅速衰減。因此典型地震子波的振幅譜象圖1-9中所示的那樣局限于頻帶 。 HLfff第二節(jié) 根本概念圖1-9 子波W(t)振幅譜 給定地震記錄x(t)和地震子波w(t)，反演問題為恢復(fù)反射系數(shù)函數(shù)r(t)。第二節(jié) 根本概念用rc(t)表示圖1.10中重建 的模型。但是我們可以在 中參與任何能量位于 之外的函數(shù)，例如 用 表示，令 那么 和 都能滿足觀測數(shù)據(jù)，其效果如圖1-11所示。)(trc)(tr)(1tr圖1-11 不同的反射函數(shù)與子波褶積產(chǎn)生一樣的地震記錄 )(trc,HLff)()()(*1trtrtr

19、c不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的深層影響：不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的深層影響： 地球物理數(shù)據(jù)從來都不是準(zhǔn)確的。這不但添加地球物理數(shù)據(jù)從來都不是準(zhǔn)確的。這不但添加反演問題的非獨(dú)一性，而且引起模型重建的數(shù)字反演問題的非獨(dú)一性，而且引起模型重建的數(shù)字運(yùn)算的困難。下面對此進(jìn)展闡明。運(yùn)算的困難。下面對此進(jìn)展闡明。 理想情況下，正演問題產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)：理想情況下，正演問題產(chǎn)生觀測數(shù)據(jù)：Fm=e假設(shè)有附加噪音，那么觀測數(shù)據(jù)為：假設(shè)有附加噪音，那么觀測數(shù)據(jù)為： 反演算子作用與不準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。令反演算子作用與不準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。令mc 表示反演表示反演求得的模型，即：求得的模型，即： 在地球物理問題中普通假設(shè)附加噪音具有統(tǒng)計(jì)在地球物理問題中普通假設(shè)附加

20、噪音具有統(tǒng)計(jì)特性。特性。 第二節(jié) 根本概念eee001eFmc第二節(jié) 根本概念 假設(shè)知噪音的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并可得到一個觀測數(shù)據(jù)樣本集，那么獨(dú)一可說的是真正的觀測數(shù)據(jù)e存在于的某個區(qū)域內(nèi)。如圖1.12所示： 但是陰影區(qū)邊境其實(shí)是模糊的內(nèi)的每個點(diǎn)都能夠是真實(shí)的數(shù)據(jù)e。而且這個集合內(nèi)的每個點(diǎn)都能映射到模型空間的一個點(diǎn)。模型空間的陰影表示一切可以接受的模型。因此需求思索的問題變成：假設(shè)附加噪聲較小，假設(shè) ，能否意味著 ？ee 0mmc普通說來該問題的回答能否認(rèn)的。令 ， ，那么大部分問題是：即使| |很小，| |也能夠很大。也就是說反演問題本性是不穩(wěn)定的。數(shù)學(xué)家那么說反演問題是病態(tài)ill-posed 或

21、ill-conditioned的。產(chǎn)生病態(tài)的緣由為地球物理實(shí)驗(yàn)本身的特性，核函數(shù)公式1.1普通比較寬，因此“平滑了模型。觀測數(shù)據(jù)在某種意義上可以說是模型的平滑。作為特殊的例子，思索層速度與疊加速度的關(guān)系：第二節(jié) 根本概念eee0mmmcemdttvttHtdttvtVjmjtjjtj)()(1)(1200221.4 式中tm 是感興趣的最大時間或者說地震記錄的最大時間，H為Heaviside階躍函數(shù)，tj時辰的核函數(shù)為從原點(diǎn)到時辰tj 的方波，因此V(tj)為該時間段上層速度平方加權(quán)平均值的平方根。下面給出一個實(shí)踐的層速度和相應(yīng)的疊加速度例子，顯然V(t)比v(t)平滑很多。 第二節(jié) 根本概念

22、 圖1.13 層速度與均方根速度為層速度 為均方根速度 第二節(jié) 根本概念假設(shè)正演映射是“平滑，那么反演映射必然是“粗化。觀測數(shù)據(jù)的微小起伏必然被放大以恢復(fù)模型。自然觀測數(shù)據(jù)中的小誤差能在反演模型中產(chǎn)生大的特征。任何用Dix公式對不準(zhǔn)確數(shù)據(jù)反演RMS速度的人員都必需面對這個現(xiàn)實(shí)。 另外一個調(diào)查細(xì)小誤差在恢復(fù)的模型中產(chǎn)生宏大起伏的方法是利用公式1.3的解析解。由于要采用V(t)的導(dǎo)數(shù)，因此即使V(t)的誤差比較小，也會產(chǎn)生較大的差值。更甚的是，在反演映射中的被用t相乘，因此隨著t的變大，穩(wěn)定性也將變差。這也正是運(yùn)用DIX公式人員所熟知的景象。 第二節(jié) 根本概念許多地球物理問題的不穩(wěn)定性遠(yuǎn)比RMS反

23、演中嚴(yán)重。在RMS反演中，核函數(shù)對一切時間來說振幅值是常數(shù)。在大多數(shù)地球物理問題中核函數(shù)隨深度或時間衰減，也就是說隨深度添加，對地層的觀測才干越差。這種核函數(shù)的衰減所引起的反演問題的不穩(wěn)定性大于上面所舉例子。第三節(jié) 離散化和線性化 地球物理模型普通用延續(xù)函數(shù)來描畫，例如：地球質(zhì)量與慣性動量和密度的關(guān)系： 質(zhì)量= 慣性動量= R: 地球半徑；徑向間隔r處的密度。上面兩式可用通式表示為: 上式為積分，很容易用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算。這涉及離散數(shù)學(xué)。 令 為m.，令 ，得到非常有用的公式： 此時我們稱實(shí)際問題被離散化。 drrrR)(402drrrR)(3804drrrKdiRi)()(0drr)(iiGK 為jjijimGd第三節(jié) 離散化和線性化由于