極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限和連續(xù)復(fù)利公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限和連續(xù)復(fù)利極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限和連續(xù)復(fù)利公式公式1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁/共23頁,1 ayNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成

2、立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁/共23頁準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy注注第3頁/共23頁例例1 1).

3、12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第4頁/共23頁x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM第5頁/共23頁例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nx

4、n 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第6頁/共23頁AC)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 圓扇形AOB的面積AOB 的面

5、積AOC的面積1.1sinlim0 xxx第7頁/共23頁,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當(dāng)當(dāng) x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注當(dāng)20 x時，xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx第8頁/共23頁例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第9頁/共23頁定義定義ennn )11(limnnnx)11(

6、設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 2.nnen1lim(1)第10頁/共23頁).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,第11頁/共23頁,1時時當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11

7、()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第12頁/共23頁, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第13頁/共23頁設(shè)本金為 0A，年利率為 r，則 一年末的本利和 )101rAA （二年末的本利和2012)1 ()1rAr

8、AA （k年末的本利和 k0)1 (rAAk如果一年分 n期計息，年利率仍為 r，則每期利率為 nr且前一期的本利和為后一期的本金， 于是一年末的本利和 nnrAA)101 （k年末共計復(fù)利 nk次，其本利和為 第14頁/共23頁nkknrAA)1 (0如果計息期數(shù) n，即利息隨時計入本金（連續(xù)復(fù)利），則k年末的本利和為 rknnknkeArnAnrAA0rknr0011lim)1 (lim上述兩式中： 0A稱為現(xiàn)值， kA稱為將來值（終值），已知0A求 kA，稱為復(fù)利問題， 已知 kA，求 0A稱為貼現(xiàn)問題，這時的利率稱為貼現(xiàn)率。 第15頁/共23頁例例4 4.)11(limxxx 求求解解

9、xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第16頁/共23頁1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 第17頁/共23頁思考練習(xí). 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 選擇選擇C).(1sinlim)1( xxx xxx20lim 1 （2）（ ）.)(; 0)(;)(;)(DCBA e2

10、 e2D第18頁/共23頁._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._arcsinlim30 xxx、第19頁/共23頁xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、第20頁/共23頁 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22,2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 .