極限存在準則與兩個重要極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1極限存在準則與兩個重要極限極限存在準則與兩個重要極限1.夾逼準則(兩邊夾定理）定理定理 如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件: ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列nx的極限存在, , 且axnn lim. . 證,azaynn因為因為使得使得, 0, 0, 021 NN 一 極限存在準則第1頁/共20頁,1 ayNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取, ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立,恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxn

2、n 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁/共20頁準則 如果當(dāng))(00 xUx ( (或Mx ) )時,有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末)(lim)(0 xfxxx 存在, 且等于A . . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準則求極限關(guān)利用夾逼準則求極限關(guān)nnnnzyzy準則準則 和和準則準則 稱為稱為夾逼準則夾逼準則. .II第3頁/共20頁例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112

3、222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準則得由夾逼準則得. 1)12111(lim222 nnnnn第4頁/共20頁x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM第5頁/共20頁證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的n

4、x.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx.)n例2(的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列333 nx第6頁/共20頁AC1、1sinlim0 xxxxoBD)20(, xxAOBO圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 第7頁/共20頁,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立

5、也成立上式對于上式對于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又10 xxxsinlim第8頁/共20頁24681 0- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81- 1 0- 8- 6- 4- 2- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81的的圖圖象象xxsin述述極極限限的的一一般般形形式式：利利用用變變量量代代換換可可導(dǎo)導(dǎo)出出上上; 1)()(sinlim0)( xxx 第9頁/共20頁例3 （1 1）.cos1lim

6、20 xxx 求求解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 （2 2）.tanlim0 xxx求求第10頁/共20頁2、exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 第11頁/共20頁,1時時當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)1

7、11(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第12頁/共20頁).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,第13頁/共20頁, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1

8、tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第14頁/共20頁述述極極限限的的一一般般形形式式：利利用用變變量量代代換換可可導(dǎo)導(dǎo)出出上上exxx )(10)(1lim （注意這個極限的特征：注意這個極限的特征： 底為兩項之和，第一項為底為兩項之和，第一項為1，第二項，第二項是是 無窮小量，指數(shù)與第二項互為倒數(shù)無窮小量，指數(shù)與第二項互為倒數(shù) 。第15頁/共20頁例4.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例5.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第16頁/共20頁1.兩個準則兩個準則夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 .2.兩個重要極限兩個重要極限; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無