簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)一維單原子鏈ppt課件

1、第三章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)Lattice vibrations and thermal properties of crystals晶格中的格點(diǎn)表示原子的平衡位置晶格振動(dòng)指原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)晶格振動(dòng)的研討，最早是從晶體熱學(xué)性質(zhì)開(kāi)場(chǎng)的 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)對(duì) Dulong-Petit 閱歷規(guī)律的闡明是把熱容量和原子振動(dòng)詳細(xì)聯(lián)絡(luò)起來(lái)的一個(gè)重要成就不能解釋在較低溫度下熱容量隨溫度降低而不斷下降的景象熱運(yùn)動(dòng)在宏觀(guān)性質(zhì)上最直接的表現(xiàn)就是熱容量 Einstein 開(kāi)展了Planck 的量子假說(shuō), 第一次提出了量子熱容量實(shí)際, 得出熱容量在低溫范圍下降, 并在 T 0K 時(shí)趨于 0 的結(jié)論量子實(shí)際的熱容量值和經(jīng)

2、典不同, 它與原子振動(dòng)的詳細(xì)頻率有關(guān), 從而推進(jìn)了對(duì)固體原子振動(dòng)進(jìn)展詳細(xì)的研討 這項(xiàng)在量子實(shí)際開(kāi)展中占有重要位置的成就，對(duì)于原子振動(dòng)的研討也有重要影響晶格振動(dòng)是研討固體宏觀(guān)性質(zhì)和微觀(guān)過(guò)程的重要根底對(duì)晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、構(gòu)造相變 等一系列物理問(wèn)題, 晶格振動(dòng)都有著很重要的作用以后的研討確立了晶格振動(dòng)采取 格波 的方式這一章的引見(jiàn)格波的概念, 并在晶格振動(dòng)實(shí)際的根底上扼要講述晶體的宏觀(guān)熱學(xué)性質(zhì)3-1 簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)從經(jīng)典力學(xué)的觀(guān)念, 晶格振動(dòng)是一個(gè)典型的小振動(dòng)問(wèn)題。凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時(shí), 該力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)都是小振動(dòng)假設(shè)晶體包含 N 個(gè)原子, 平衡位置為 R

3、n , 偏離平衡位置的位移矢量為n(t), 那么原子的位置 Rn(t) = Rn +n(t)1. 簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似處置小振動(dòng)問(wèn)題時(shí)往往選用與平衡位置的偏離為宗量位移矢量n(t) 的 3N 個(gè)分量寫(xiě)成i (i=1,2,3N)23301,10012NNiijii jiijVVVV 高階項(xiàng)下腳標(biāo) 0 標(biāo)明是平衡位置時(shí)所具有的值. 可設(shè) V0=0, 有00iV略去二次以上的高階項(xiàng), 得到23,1012Niji jijVV N 個(gè)原子體系的勢(shì)能函數(shù)可以在平衡位置附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)體系的勢(shì)能函數(shù)只保管至 i 的二次方項(xiàng), 稱(chēng)為簡(jiǎn)諧近似處置小振動(dòng)問(wèn)題普通都取簡(jiǎn)諧近似對(duì)于一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題能否可以采取簡(jiǎn)諧近似, 要

4、看在簡(jiǎn)諧近似下得到的實(shí)際結(jié)果能否與實(shí)驗(yàn)相一致高階項(xiàng)的作用, 稱(chēng)為非諧作用引入簡(jiǎn)正坐標(biāo) (normal coordinates)123,NQ QQ正交變換31Niiijjjma QN 個(gè)原子體系的動(dòng)能函數(shù)為32112NiiiTm2. 簡(jiǎn)正坐標(biāo)與振動(dòng)模簡(jiǎn)正坐標(biāo)與振動(dòng)模使內(nèi)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)化為平方項(xiàng)之和而無(wú)交叉項(xiàng)32112NiiTQ322112NiiiVQ勢(shì)能系數(shù)為正值, 這里寫(xiě)成 j2, 闡明原來(lái)原子在格點(diǎn)上是一穩(wěn)定的平衡形狀由分析力學(xué)的普通方法, 由動(dòng)能和勢(shì)能公式可以直接寫(xiě)出拉格朗日函數(shù) L=TV, 得到正那么動(dòng)量iiiLpQQ并寫(xiě)出哈密頓量3222112NiiiiHpQ運(yùn)用正那么方程得到20,

5、 1,2,3iiiQQiN闡明各簡(jiǎn)正坐標(biāo)描畫(huà)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)這是 3N 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方程恣意簡(jiǎn)正坐標(biāo)的解為sin()iiQAti 是振動(dòng)的圓頻率 i 2i . 原子的位移坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)之間存在著正交變換關(guān)系。當(dāng)只思索某一個(gè) Qj 的振動(dòng)時(shí)sin()ijijiaAtm一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)并不是表示某一個(gè)原子的振動(dòng), 而是表示整個(gè)晶體一切原子都參與的(簡(jiǎn)諧)振動(dòng), 而且它們的振動(dòng)頻率一樣由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的，體系中一切原子一同參與的共同振動(dòng)，經(jīng)常稱(chēng)為一個(gè)振動(dòng)?；蚝?jiǎn)正模根據(jù)經(jīng)典力學(xué)寫(xiě)出的哈密頓量, 可以直接用來(lái)作為量子力學(xué)分析的出發(fā)點(diǎn), 只需把 pi 和 Qi 看作量子力學(xué)中的正那么共軛算符2322212321

6、1231(,)2 (,)NiiNiiNQQ QQQEQ QQ3. 量子描畫(huà)量子描畫(huà)方程表示一系列相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子iiQ按照普通的方法, 把 pi 寫(xiě)成 就得到動(dòng)搖方程對(duì)于其中每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)有222221()()2iiiiiiQQQQ 諧振子方程的解21 2()exp( )2iiiiininnQH表示厄米多項(xiàng)式, inQH系統(tǒng)的本征態(tài)3311312311 2()()iNNiiiiiNNniiEnQQQQ， ，可見(jiàn)只需能找到該體系的簡(jiǎn)正坐標(biāo), 或者說(shuō)振動(dòng)模, 問(wèn)題就處理了下面將結(jié)合簡(jiǎn)單的例子, 把這里的普通性結(jié)論詳細(xì)化3-1 簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)小 結(jié)體系的勢(shì)能函數(shù)展開(kāi)至位移坐標(biāo)的二次方項(xiàng), 稱(chēng)為簡(jiǎn)

7、諧近似由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的, 體系中一切原子一同參與的共同振動(dòng), 經(jīng)常稱(chēng)為一個(gè)振動(dòng)?；蚝?jiǎn)正模簡(jiǎn)正坐標(biāo)是經(jīng)過(guò)正交變換引入的, 使內(nèi)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)同時(shí)化為平方項(xiàng)之和而無(wú)交叉項(xiàng)的坐標(biāo)3-2 一維單原子鏈晶格具有周期性, 因此晶格的振動(dòng)模具有波的方式, 稱(chēng)為格 波格波和普通延續(xù)介質(zhì)波有共同的波的特征，但也有它不同的特點(diǎn)一維原子鏈?zhǔn)顷P(guān)于格波的典型例子, 它的振動(dòng)既簡(jiǎn)單可解, 又能較全面地表現(xiàn)格波的根本特點(diǎn)1. 格波解格波解單原子鏈可以看作一個(gè)最簡(jiǎn)單的晶格平衡時(shí)相鄰原子間距為 a, 每個(gè)原胞內(nèi)含有一個(gè)原子, 質(zhì)量為 m原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動(dòng)，偏離格點(diǎn)的位移用 ,n-1, n, n+1, 表示假設(shè)只需近鄰

8、原子間存在相互作用, 互作用能可以普通地寫(xiě)成21()( )2v av a高階項(xiàng)表示對(duì)平衡表示對(duì)平衡 間隔間隔 a 的偏離的偏離這里相互作用能保管到項(xiàng), 即簡(jiǎn)諧近似, 在這個(gè)近似下，相鄰原子間的作用力為dvFd 闡明存在于相鄰原子間的是正比于相對(duì)位移的彈性恢復(fù)力先根據(jù)牛頓定律用直接求解運(yùn)動(dòng)方程的方法, 求解鏈的振動(dòng)模。這和根據(jù)分析力學(xué)原理, 引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)是等效的。然后再闡明為二者之間的關(guān)系右邊第 (n1) 個(gè)原子與它的相對(duì)位移是n1n, 力為(n1n)第 n 個(gè)原子遭到左右兩個(gè)近鄰原子的作用力左邊第 (n1) 個(gè)原子與它的相對(duì)位移是nn-1,力為(nn-1)思索到兩個(gè)力的作用方向相反, 得到運(yùn)動(dòng)

9、方程1111()() (2)nnnnnnnnm 每個(gè)原子對(duì)應(yīng)有一個(gè)方程, 假設(shè)原子鏈有 N 個(gè)原子, 那么有 N 個(gè)方程, 上式實(shí)踐上代表著 N 個(gè)聯(lián)立的線(xiàn)性齊次方程方程具有“格波方式的解()it naqnAe其中、A 為常數(shù). 由于方程是線(xiàn)性齊次的, 可以用復(fù)數(shù)方式的解，其實(shí)部或虛部部分都代表方程的實(shí)解. 有2()(1)(1)()()2it naqitnaqitnaqit naqm iAeAeAeAe22 2 cos1iaqiaqmeeaq222411 cossin2aqaqmm它與 n 無(wú)關(guān), 闡明 N 個(gè)聯(lián)立的方程都?xì)w結(jié)為同一個(gè)方程通常把 和 q 之間的關(guān)系稱(chēng)為色散關(guān)系dispersio

10、n relation也就是說(shuō), 只需和 q 之間滿(mǎn)足上式的關(guān)系, 前面的解就表示了聯(lián)立方程組的解(2)()xitit qxAeAe有完全一樣的方式, 其中 是波的圓頻率, 是波長(zhǎng), q = 2/稱(chēng)為波數(shù)它與普通延續(xù)介質(zhì)波()it naqnAe的物理意義:區(qū)別于延續(xù)介質(zhì)波中 x 表示空間恣意一點(diǎn)，而在這里只取 na 格點(diǎn)的位置，這是一系列呈周期性陳列的點(diǎn)一個(gè)格波解表示一切原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng), 不同原子之間有位相差。相鄰原子之間的位相差為 aq假設(shè)在 中把 aq 改動(dòng)一個(gè) 2 的整數(shù)倍, 一切原子的振動(dòng)實(shí)踐上完全沒(méi)有任何不同。這闡明 aq 可以限制在下面范圍內(nèi) ()it naqAeaq或qaa

11、這個(gè)范圍以外的 q 值, 并不能提供其它不同的波q 的取值范圍常稱(chēng)為布里淵區(qū) (Brillouin zone)格波與延續(xù)介質(zhì)波一個(gè)重要的區(qū)別在于波數(shù) q 的含義每個(gè)原子的位移畫(huà)在垂直鏈的方向?qū)嵕€(xiàn)表示把原子振動(dòng)看成q=/2a (即波長(zhǎng)=4a 的波)虛線(xiàn)表示完全一樣的原子振動(dòng), 同樣可看成 q=5/2a (即波長(zhǎng)= 4a/5 的波)二者 aq 相差 2, 按前一種方式, 兩相鄰原子振動(dòng)位相差是/2, 后一種方式相當(dāng)于 (2+/2), 效果完全是一樣的問(wèn)題：q=7/2a 波與 q=/2a 的波等價(jià)嗎？不等價(jià)前面所思索的運(yùn)動(dòng)方程只適用于無(wú)窮長(zhǎng)的鏈為了防止這種情況, 玻恩-卡曼(Born-von Kar

12、man) 提出包含 N 個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為一個(gè)有限鏈的模型, 它包含有限數(shù)目的原子, 然而堅(jiān)持一切原胞完全等價(jià), 以前的運(yùn)動(dòng)方程仍舊有效雖然僅少數(shù)原子運(yùn)動(dòng)方程不同，但由于一切原子的方程都是聯(lián)立的，詳細(xì)解方程就復(fù)雜得多 在只需近鄰相互作用時(shí)，最兩端的原子只遭到一個(gè)近鄰的作用，它們將有與其它原子方式不同的運(yùn)動(dòng)方程假設(shè)環(huán)半徑很大, 沿環(huán)的運(yùn)動(dòng)仍舊可以看作是直線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)別只在于必需思索到鏈的循環(huán)性, 原胞的標(biāo)數(shù) n 添加 N, 振動(dòng)情況必需復(fù)原, 這要求()1i Naqe2, (qhhNa整數(shù)）或N 就是一維單原子鏈的自在度數(shù), 這闡明曾經(jīng)得到鏈的全部振動(dòng)模前面指出, q 的取值范圍由 /a 到/a,

13、 h 的取值只能由N/2 到 N/2, 一共有 N 個(gè)不同數(shù)值所以, 由 N 個(gè)原胞組成的鏈, q 可以有 N 個(gè)不同的值, 每個(gè) q 對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的格波, 共有 N 個(gè)不同的格波玻恩-卡曼的模型起著一個(gè)邊境條件的作用, 用這個(gè)模型并未改動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解, 而只是對(duì)解提出一定條件 , 稱(chēng)它為玻恩卡曼條件, 或稱(chēng)為周期性邊境條件色散關(guān)系的兩點(diǎn)討論:222411 cossin2aqaqmm取正根12sin2aqm由于格波的特性, q 的取值在-/a 到 +/a 之間由于周期性邊境條件, q 的允許值為這一區(qū)間中均勻分布的 N 個(gè)點(diǎn)當(dāng) q 遠(yuǎn)小于/a, 相當(dāng)于波長(zhǎng)a, 正比于 q, 即|aqm這類(lèi)似于延