高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）課件2 新人教A版必修4

1、1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)1【知識提煉知識提煉】1.1.函數(shù)的周期函數(shù)函數(shù)的周期函數(shù)(1)(1)周期函數(shù)周期函數(shù)條件條件對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)f(x)，存在一個，存在一個_常數(shù)常數(shù)T T當(dāng)當(dāng)x x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有取定義域內(nèi)的每一個值時，都有_結(jié)論結(jié)論函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)叫做叫做_，_T_T叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的_._.非零f(x+T)=f(x)周期函數(shù)非零常數(shù)周期2(2)(2)最小正周期最小正周期條件條件周期函數(shù)周期函數(shù)f(x)f(x)的所有周期中存在一個最小正的的所有周期中存在一個最小正的_._.結(jié)論結(jié)論這個最小這個最小_叫做叫做f(x)f(x)的最小正

2、周期的最小正周期正數(shù)正數(shù)32.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性 函數(shù)函數(shù)y=sinxy=sinxy=cosxy=cosx周期周期2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)最小正周期最小正周期_奇偶性奇偶性_22奇函數(shù)偶函數(shù)4【即時小測即時小測】1.1.判斷判斷(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=2k+ (kZ)x=2k+ (kZ)時，時，sin(x+ )=sin xsin(x+ )=sin x，所以，所以 是函數(shù)是函數(shù)y=y=sin xsin x的周期的周期.( ).( )(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閟in( )=sin sin( )=sin ，所

3、以函數(shù)，所以函數(shù)y=sin y=sin 的周期為的周期為2.( )2.( )(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=3sin 2xy=3sin 2x是奇函數(shù)是奇函數(shù).( ).( )(4)(4)函數(shù)函數(shù)y=-cos xy=-cos x是偶函數(shù)是偶函數(shù).( ).( )422x25 x5x535提示：提示：(1)(1)錯誤錯誤. .對任意對任意xRxR都有都有sin(x+ )=sin xsin(x+ )=sin x，才能說，才能說 是函數(shù)是函數(shù)y=sin xy=sin x的周期，實(shí)際上的周期，實(shí)際上x= x= 時，時，sin(x+ )sin x.sin(x+ )sin x.(2)(2)錯誤錯誤. .因?yàn)橐驗(yàn)閟in(

4、 +2)=sin (x+10)sin( +2)=sin (x+10)，所以設(shè)所以設(shè)f(x)=sin f(x)=sin ，則有，則有f(x+10)=f(x)f(x+10)=f(x)，所以，所以y=sin y=sin 的周期為的周期為10.10.(3)(3)正確正確.f(x)=3sin 2x.f(x)=3sin 2x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R，且，且f(-x)=3sin 2(-x)=f(-x)=3sin 2(-x)=-3sin 2x=-f(x)-3sin 2x=-f(x)，所以，所以f(x)=3sin 2xf(x)=3sin 2x是奇函數(shù)是奇函數(shù). .2262x515x5x56(4)(4)正確正確

5、.g(x)=-cos x.g(x)=-cos x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R且且g(-x)=-cos (-x)=g(-x)=-cos (-x)=-cos x=g(x)-cos x=g(x)，所以，所以g(x)=-cos xg(x)=-cos x是偶函數(shù)是偶函數(shù). .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4)333372.2.下列是定義在下列是定義在R R上的四個函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是上的四個函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是( () )8【解析解析】選選D.D.結(jié)合周期函數(shù)的定義可知結(jié)合周期函數(shù)的定義可知A A，B B，C C均為周期函數(shù)，均為周

6、期函數(shù)，D D不是不是周期函數(shù)周期函數(shù). .93.3.函數(shù)函數(shù)y=3sinx+5y=3sinx+5的最小正周期是的最小正周期是_._.【解析解析】設(shè)設(shè)f(x)=3sinx+5f(x)=3sinx+5，對任意，對任意xR.xR.f(x+2)=3sin(x+2)+5=3sinx+5=f(x)f(x+2)=3sin(x+2)+5=3sinx+5=f(x)，所以所以y=3sinx+5y=3sinx+5的最小正周期是的最小正周期是2.2.答案：答案：22104.4.若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)是周期為是周期為3 3的周期函數(shù)，且的周期函數(shù)，且f(-1)=2015f(-1)=2015，則，則f(2)=_.

7、f(2)=_.【解析解析】因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)f(x)是周期為是周期為3 3的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，所以所以f(2)=f(2-3)=f(-1)=2015.f(2)=f(2-3)=f(-1)=2015.答案：答案：20152015115.5.函數(shù)函數(shù)f(x)=sinxcosxf(x)=sinxcosx是是_(_(填填“奇奇”或或“偶偶”) )函數(shù)函數(shù). .【解析解析】f(x)=sinxcosxf(x)=sinxcosx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R且且f(-x)=sin(-x)f(-x)=sin(-x)cos(-x)=cos(-x)=(-sinx)(-sinx)cosx=-sinxcosx=-f

8、(x)cosx=-sinxcosx=-f(x)，所以所以f(x)=sinxcosxf(x)=sinxcosx是奇函數(shù)是奇函數(shù). .答案：答案：奇奇12【知識探究知識探究】知識點(diǎn)知識點(diǎn)1 1 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：問題問題1 1：所有的函數(shù)都具有周期性嗎？：所有的函數(shù)都具有周期性嗎？問題問題2 2：周期函數(shù)的周期是唯一的嗎？：周期函數(shù)的周期是唯一的嗎？13【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.對函數(shù)周期的三點(diǎn)說明對函數(shù)周期的三點(diǎn)說明(1)(1)存在一個不等于零的常數(shù)存在一個不等于零的常數(shù)T.T.(2)(2)對于定義域內(nèi)的每一個值對于定義域內(nèi)

9、的每一個值x x，都有，都有x+Tx+T屬于這個定義域?qū)儆谶@個定義域. .(3)(3)滿足滿足f(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x).142.2.對周期函數(shù)的三點(diǎn)說明對周期函數(shù)的三點(diǎn)說明(1)(1)并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也不一定唯一不一定唯一. .(2)(2)如果如果T T是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的一個周期，則的一個周期，則nT(nZnT(nZ且且n0)n0)也是也是f(x)f(x)的周期的周期. .(3)(3)在周期函數(shù)在周期函數(shù)y=f(x)y=f(x)中，若中，若xDxD，則，則x+nT

10、D(nZ).x+nTD(nZ).從而要求周期函從而要求周期函數(shù)的定義域一定為無限集，且無上下界數(shù)的定義域一定為無限集，且無上下界. .153.3.對函數(shù)最小正周期的兩點(diǎn)說明對函數(shù)最小正周期的兩點(diǎn)說明(1)(1)最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x x要加上的那個最小要加上的那個最小正數(shù)，這個正數(shù)是對正數(shù)，這個正數(shù)是對x x而言的，如而言的，如y=sin2xy=sin2x的最小正周期是的最小正周期是，因?yàn)椋驗(yàn)閥=sin(2x+2)=sin2(x+)y=sin(2x+2)=sin2(x+)，即，即是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x

11、 x加加上的最小正數(shù)，上的最小正數(shù)，是對是對x x而言的，而非而言的，而非2x.2x.(2)(2)并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，譬如，常數(shù)函數(shù)并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，譬如，常數(shù)函數(shù)f(x)=cf(x)=c，任意一個正實(shí)數(shù)都是它的周期，因而不存在最小正周期任意一個正實(shí)數(shù)都是它的周期，因而不存在最小正周期. .16知識點(diǎn)知識點(diǎn)2 2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性觀察圖形，回答下列問題：觀察圖形，回答下列問題：17問題問題1 1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期是多少？最小正周期是多少？：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期是多少？最小正周期是多少？問題問題2

12、2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)分別是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？其圖象具有什：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)分別是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？其圖象具有什么對稱性？么對稱性？18【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)周期性的兩點(diǎn)說明對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)周期性的兩點(diǎn)說明(1)(1)由正弦函數(shù)的圖象和周期函數(shù)的定義可得：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，由正弦函數(shù)的圖象和周期函數(shù)的定義可得：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都是它的周期，最小正周期為都是它的周期，最小正周期為2.2.(2)(2)余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都是它的周期，最小正都是它的周期，最小正周期為

13、周期為2.2.192.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性(1)(1)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，反映在圖象上，正弦曲線正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O O對稱，余弦曲線關(guān)于對稱，余弦曲線關(guān)于y y軸對稱軸對稱. .(2)(2)正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. .20【題型探究題型探究】類型一類型一 三角函數(shù)的周期問題三角函數(shù)的周期問題【典例典例】1.(20151.(2015重慶高一檢測重慶高一檢測) )函數(shù)函數(shù)y=1-2cos( )y=1-2cos( )的

14、周期為的周期為( () )A.2 B.1 A.2 B.1 C.4 C.4 D.2 D.22.2.求下列函數(shù)的周期：求下列函數(shù)的周期：(1)y=sin(2x+ )(xR).(2)y=|sin2x|(xR).(1)y=sin(2x+ )(xR).(2)y=|sin2x|(xR).x2321【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中，計算函數(shù)的周期可依據(jù)什么公式？中，計算函數(shù)的周期可依據(jù)什么公式？提示：提示：y=Acos(x+y=Acos(x+)+b)+b的周期的周期2.2.典例典例2(2)2(2)除了用周期函數(shù)的定義公式求周期外，還可以用什么方法除了用周期函數(shù)的定義公式求周期外，還可以用什么方法

15、求周期？求周期？提示：提示：還可以采用畫函數(shù)圖象的方法還可以采用畫函數(shù)圖象的方法. .2T.|22【解析解析】1.1.選選C.C.函數(shù)函數(shù) 的周期的周期2.(1)2.(1)方法一：令方法一：令z=2x+ z=2x+ ，因?yàn)椋驗(yàn)閤RxR，所以，所以ZRZR，函數(shù)函數(shù)f(x)=sin zf(x)=sin z的最小正周期是的最小正周期是22，就是說變量，就是說變量z z只要且至少要增加只要且至少要增加到到z+2z+2，函數(shù)函數(shù)f(x)=sin z(ZR)f(x)=sin z(ZR)的值才能重復(fù)取得，的值才能重復(fù)取得，而而z+2=2x+ +2=2(x+)+ z+2=2x+ +2=2(x+)+ ，所以

16、自變量，所以自變量x x只要且至少要增加到只要且至少要增加到x+x+，函數(shù)值才能重復(fù)取得，從而函數(shù)，函數(shù)值才能重復(fù)取得，從而函數(shù)f(x)=sin(2x+ )(xR)f(x)=sin(2x+ )(xR)的周期的周期是是.y12cos(x)2 2T4.2333323方法二：方法二：f(x)=sin(2x+ )f(x)=sin(2x+ )的周期為的周期為 (2)(2)作出作出y=|sin 2x|y=|sin 2x|的圖象的圖象. .由圖象可知，由圖象可知，y=|sin 2x|y=|sin 2x|的周期為的周期為32.2 .224【延伸探究延伸探究】將典例將典例2(2)2(2)中的中的y=|sin 2

17、x|y=|sin 2x|改為改為y=|sin 2x- |y=|sin 2x- |，試求此，試求此函數(shù)的周期函數(shù)的周期. .【解析解析】作出作出y=|sin 2x- |y=|sin 2x- |的圖象的圖象. .由圖象可知，由圖象可知，y=|sin 2x- |y=|sin 2x- |的周期為的周期為.13131325【方法技巧方法技巧】求三角函數(shù)周期的方法求三角函數(shù)周期的方法(1)(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解. .(2)(2)公式法，對形如公式法，對形如y=Asin(x+y=Asin(x+) )或或y=Acos(x+y=Acos(x+)(A)(A，是常是常

18、數(shù)，數(shù)，A0A0，0)0)的函數(shù)，的函數(shù)，(3)(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期. .三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馊N方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼? .2T.|26【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】1.(20151.(2015南京高一檢測南京高一檢測) )函數(shù)函數(shù)y=sin(x- )(w0)y=sin(x- )(w0)的最的最小正周期為小正周期為，則，則的值為的值為_._.【解析解析】周期周期T= =T= =，又，又00，所以，所以=2.=2.答案：答案：2 242|272.(20152.(2015天水高一

19、檢測天水高一檢測) )已知已知f(n)=sin f(n)=sin ，nZnZ，則，則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=_.f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=_.【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=sin xf(x)=sin x的周期的周期2 015=82 015=8251+7251+7，所以原式所以原式=251=251f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(8)+f(8)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)，結(jié)合圖象知結(jié)合圖象知f(1)+f(2)

20、+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=0+f(8)=0，n442T84，28f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)所以原式所以原式=251=2510+0=0.0+0=0.答案：答案：0 03537sinsinsinsin sinsinsin0424424 ，29【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】1.1.下列函數(shù)是以下列函數(shù)是以為周期的函數(shù)的是為周期的函數(shù)的是( () )A.y=sin x B.y=cos2xA.y=sin x B.y=cos2xC.y=1+sin3x D.y=cos3xC.y=1+

21、sin3x D.y=cos3x【解析解析】選選B.B.對對A.A.對對B.T= =B.T= =；對；對C C，T= T= ；對；對D.T= .D.T= .122T412 ；222323302.2.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)滿足滿足求證：求證：f(x)f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個周期是周期函數(shù)，并求出它的一個周期【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閒(x+4)=f(x+2)+2)f(x+4)=f(x+2)+2)所以所以f(x)f(x)是周期函數(shù)，且是周期函數(shù)，且4 4是它的一個周期是它的一個周期1f(x2).f(x) 1f(x)f(x2) ，31類型二類型二 三角函數(shù)的奇偶性三角函數(shù)的奇偶性【典例典例】1.

22、1.關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)的函數(shù)f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+) )有以下說法：有以下說法：對任意的對任意的，f(x)f(x)都是非奇非偶函數(shù)；都是非奇非偶函數(shù)；存在存在，使，使f(x)f(x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；對任意的對任意的，f(x)f(x)都不是偶函數(shù)；都不是偶函數(shù)；不存在不存在，使，使f(x)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù). .其中正確說法的序號是其中正確說法的序號是_._.322.2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=sin x+tan x.(2)f(x)=(1)f(x)=sin x+tan x.(2)f(x)=(3)f(

23、x)=(3)f(x)=3x3sin().4221 sin xcos x.1 sin x33【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中，中，為何值時為何值時，sin(x+sin(x+) )可化為可化為sin x(sin x(或或-sin x)-sin x)的形式？的形式？為何值時，為何值時，sin(x+sin(x+) )可化為可化為cos x(cos x(或或-cos x)-cos x)的形的形式？式？提示：提示：當(dāng)當(dāng)=k=k，kZkZ時，時，sin(x+sin(x+) )可化為可化為sin x(sin x(或或-sin x)-sin x)；當(dāng)當(dāng)=k+ =k+ ，kZkZ時，時，sin(x+s

24、in(x+) )可化為可化為cos x(cos x(或或-cos x).-cos x).2.2.典例典例2 2中，判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟是什么？中，判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟是什么？提示：提示：先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對稱再判斷先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對稱再判斷f(-x)f(-x)與與f(x)f(x)的關(guān)系的關(guān)系. .234【解析解析】1.1.當(dāng)當(dāng)=時，時，f(x)=sin(x+)=-sin xf(x)=sin(x+)=-sin x，是奇函數(shù)，是奇函數(shù). .當(dāng)當(dāng)= = 時，時，f(x)=sin(x+ )=cos xf(x)=sin(x+ )=cos x，是偶函數(shù)，是偶函

25、數(shù). .所以錯誤，正確所以錯誤，正確. .無論無論為何值，為何值，f(x)f(x)不可能恒為不可能恒為0 0，故不存在，故不存在，使，使f(x)f(x)既是奇函數(shù)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故正確又是偶函數(shù)，故正確. .答案：答案：22352.(1)2.(1)定義域?yàn)槎x域?yàn)閤|xk+ x|xk+ ，kZkZ，關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱. .因?yàn)橐驗(yàn)閒(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x)f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x)，所以函數(shù)，所以函數(shù)y=sin x+tan xy=sin x+tan x是奇函數(shù)是奇函數(shù).

26、 .(2)f(x)=sin( )=-cos (2)f(x)=sin( )=-cos ，xR.xR.又又f(-x)=-cos(- )=-cos =f(x)f(-x)=-cos(- )=-cos =f(x)，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)= f(x)= 是偶函數(shù)是偶函數(shù). .23x3423x43x43x43x3sin()4236(3)(3)由由1+sin x01+sin x0解得解得x2k+ x2k+ ，kZkZ，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)= f(x)= 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤R|x2k+ xR|x2k+ ，kZkZ，顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱. .故函數(shù)故函數(shù)f(x)= f(x)=

27、 是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù). .3221 sin xcos x1 sin x3221 sin xcos x1 sin x37【方法技巧方法技巧】判斷函數(shù)奇偶性的思路判斷函數(shù)奇偶性的思路38【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】1.1.函數(shù)函數(shù)y=-xsinxy=-xsinx的部分圖象是的部分圖象是( () )【解析解析】選選C.C.函數(shù)函數(shù)y=-xsinxy=-xsinx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y y軸對稱，可排除軸對稱，可排除B B，D D，當(dāng)，當(dāng)x= x= 時，時，y=- y=- ，故選，故選C.C.22392.2.判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性. .(1)f(x)=(1)f(

28、x)=(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 R，所以所以f(-x)=-7cos (-x)=-7cos x=f(x)f(-x)=-7cos (-x)=-7cos x=f(x)，所以所以f(x)f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù). .2157sin(x).321cos xcos x1.215232f(x)7sin(x)7sin(x)7cosx32323 ，232340(2)(2)由由 得得cos x=1cos x=1，故，故f(x)=0f(x)=0，x=2kx=2k，kZkZ，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)= f(x)= 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是

29、偶函數(shù). .1 cos x0cos x10 ，1cosxcosx141【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】解答本題解答本題2(2)2(2)易在求函數(shù)的定義域時出錯，忽視了由易在求函數(shù)的定義域時出錯，忽視了由cos cos x1x1且且cos x1cos x1可推出可推出cos x=1.cos x=1.42【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性. .(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin4 4x-cosx-cos4 4x+cosx+cos2 2x-sinx-sin2 2x.x.(2)f(x)=(2)f(x)=【解析解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閟insin4 4x-cosx-cos4 4

30、x+cosx+cos2 2x-sinx-sin2 2x=x=(sin(sin2 2x+cosx+cos2 2x)x)(sin(sin2 2x-cosx-cos2 2x)+cosx)+cos2 2x-sinx-sin2 2x=0.x=0.所以該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)所以該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù). .22xcos x.xcos x43(2)(2)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)y=xy=x2 2，y=cos xy=cos x的圖象都關(guān)于的圖象都關(guān)于y y軸對稱，軸對稱，則則x x2 2cos xcos x的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)定義域是一個關(guān)于原點(diǎn)對的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)定義域是一個關(guān)于原點(diǎn)對稱

31、的區(qū)間，稱的區(qū)間，又又f(-x)= =f(x)f(-x)= =f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，所以該函數(shù)是偶函數(shù). .2222( x)cos( x)xcosx( x)cos( x)xcosx44類型三類型三 三角函數(shù)的奇偶性與周期的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的奇偶性與周期的綜合應(yīng)用【典例典例】(2015(2015綿陽高一檢測綿陽高一檢測) )已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)f(x)是以是以為為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x0 x0， 時，時，f(x)=sin xf(x)=sin x，則，則f( )f( )的值為的值為( )( )【解題探究解題探究】本例中，本例

32、中，f(x)f(x)滿足哪些關(guān)系式？滿足哪些關(guān)系式？提示：提示：f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，f(x+)=f(x).f(x+)=f(x).21133A.B.C.D.22225345【解析解析】選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)f(x)是以是以為最小正周期的周期函數(shù)，為最小正周期的周期函數(shù)，所以所以又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(x)f(x)為定義在為定義在R R上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且x0 x0， 時，時，f(x)=sin xf(x)=sin x，所以所以55f()f(2 )f()333 ，253f()f( )sin.3332 46【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件、改變問法變換條件、改變

33、問法) )將本例中周期將本例中周期改為改為4 4，且在，且在0 0，2 2上的解上的解析式為析式為f(x)= f(x)= 其他條件不變，試求其他條件不變，試求x(1x) 0 x1sin x 1x2， ，2941f()f().4647【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)f(x)是以是以4 4為周期的奇函數(shù)，為周期的奇函數(shù)，所以所以所以所以29333333f()f(8)f()f( )(1)44444416 ，4177771f()f(8)f()f( )sin666662 ，2941315f()f().4616216 482.(2.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )將本例中將本例中“以以為最小正周期

34、的周期函數(shù)為最小正周期的周期函數(shù)”改為改為“滿足滿足 ”，其他條件不變，求，其他條件不變，求【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以即即f(x+ )=f(-x)f(x+ )=f(-x)，又因?yàn)椋忠驗(yàn)閒(x)f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，所以所以f(x+ )=f(-x)=-f(x)f(x+ )=f(-x)=-f(x)，所以所以f(x+)=-f(x+ )=-f(x+)=-f(x+ )=-f(x)-f(x)=f(x)=f(x)，所以所以f(x)f(x)是以是以為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)，所以所以f(x)f(x)4423f().6f(x)f(x)44，f(x)f(x)4444，222231f()f(4

35、)f()f( )sin.666662 49【方法技巧方法技巧】三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略(1)(1)探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y=Asin(x+y=Asin(x+) )或或y=Acos(x+y=Acos(x+) )的形式，再利用公式求解的形式，再利用公式求解. .(2)(2)判斷函數(shù)判斷函數(shù)y=Asin(x+y=Asin(x+) )或或y=Acos(x+y=Acos(x+) )是否具備奇偶性，關(guān)鍵是否具備奇偶性，關(guān)鍵是看它能否通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為是看它能否通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y=Asin

36、x(A0)y=Asinx(A0)或或y=Acosx(A0)y=Acosx(A0)其中的一個其中的一個. .50【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015(2015大同高一檢測大同高一檢測) )若若f(x)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)為奇函數(shù)，當(dāng)x0 x0時，時，f(x)=xf(x)=x2 2-sinx-sinx，求當(dāng)，求當(dāng)x0 x0時，時，f(x)f(x)的解析式的解析式. .【解析解析】當(dāng)當(dāng)x0 x0-x0，f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-sin(-x)=x-sin(-x)=x2 2+sinx+sinx，因?yàn)椋驗(yàn)閒(x)f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以所以f(x)=-f(-x)=-xf(x)=

37、-f(-x)=-x2 2-sinx-sinx，即當(dāng)即當(dāng)x0 x0時，時，f(x)=-xf(x)=-x2 2-sinx.-sinx.51【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件) )將本題中將本題中“奇奇”改為改為“偶偶”，其他條件不變，結(jié)果又如，其他條件不變，結(jié)果又如何？何？【解析解析】當(dāng)當(dāng)x0 x0-x0，f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-sin(-x)=x-sin(-x)=x2 2+sinx+sinx，因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)f(x)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，所以所以f(x)=f(-x)=xf(x)=f(-x)=x2 2+sinx+sinx，即當(dāng)即當(dāng)x0 x0 x0”改為改為“x-1x-1，11”，求，求x3x3，55時，時，f(x)f(x)的解析式的解析式. .【解析解析】當(dāng)當(dāng)x3x3，55時，時，x-4-1x-4-1，11，所以所以f(x-4)=(x-4)f