積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應用論文

1、湖北大學題 目： 積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應用 學 院： 數(shù)學與統(tǒng)計學院 年 級： 研一 專業(yè)方向： 幾何與方程 作者姓名： 陳 勇 學號： 00639 出生年月： 1990年05月性別 男 籍 貫： 湖南省漢壽縣 指導老師： 陳立 2015 年 05 月 目 錄摘 要.IIAbstract .II1引言.12積分上限函數(shù)的性質(zhì).12.1積分上限函數(shù)的初等性質(zhì).1 2.2積分上限函數(shù)的分析性質(zhì).13積分上限函數(shù)的應用.2 3.1利用積分上限函數(shù)證明積分等式與不等式.2 3.2利用積分上限函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù).2 3.3利用積分上限函數(shù)求解函數(shù)方程.3 3.4利用積分上限函數(shù)確定全微分.3 3.5

2、利用積分上限函數(shù)求解導數(shù).3 3.6利用積分上限函數(shù)計算重積分.4 3.7利用積分上限函數(shù)證明中值定理.4 3.8利用積分上限函數(shù)求函數(shù)關系式.5 3.9利用積分上限函數(shù)證明方程根的存在性.54結(jié)束語.5致謝語.5參考文獻.6積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應用數(shù)學學院2014級2班 陳 勇摘 要：積分上限函數(shù)是微積分學中一類具有特殊形式的函數(shù),對于積分上限函數(shù)的初等性質(zhì)及分析性質(zhì)的研究,能夠深入了解其特性,并廣泛用于解決一些微積分問題.本文例舉了積分上限函數(shù)的若干應用,對初學者具有指導意義. 關鍵詞：積分上限函數(shù);初等性質(zhì);分析性質(zhì);應用 The Nature and Its Application

3、of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calcu

4、lus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners. Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications 1引言 積分上限函數(shù)是微積分學中一類具有特殊形式的函數(shù)，對積分上限函數(shù)的初等性質(zhì)及分析性質(zhì)進行研究，深入了解其特性,對于證明積分等式與不等式、求冪級數(shù)的和函數(shù)、求解函數(shù)方程、確定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌

5、握積分上限函數(shù)的性質(zhì)和恰當?shù)倪\用顯得尤為重要. 本文通過分析積分上限函數(shù)的性質(zhì), 得到幾類典型的應用.2積分上限函數(shù)的性質(zhì)2.1積分上限函數(shù)的初等性質(zhì) 定義1 如果函數(shù)在上可積，那么函數(shù)()稱為積分上限函數(shù). 下面討論與之有關的性質(zhì)及其應用. (1) 單調(diào)性 若在上可積, 且0 (0), 則積分上限函數(shù)在上單調(diào)遞增（遞減). (2) 奇偶性 若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，則積分上限函數(shù)是偶函數(shù)；若連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，則積分上限函數(shù)奇函數(shù).(3) 周期性 若是連續(xù)函數(shù)且周期為, 則積分上限函數(shù)是周期函數(shù), 或是一線性函數(shù)和一周期函數(shù)之和.(4) 有界性 若在上可積，則積分上限函數(shù)在上有界.2.2積分上

6、限函數(shù)的分析性質(zhì)(1) 凹凸性 若在上單調(diào)遞增(遞減), 則對, 積分上限函數(shù)是凸函數(shù)(凹函數(shù)).(2) 連續(xù)性 若在上可積, 則積分上限函數(shù)在上連續(xù)(3) 可導性 若在上連續(xù), 則積分上限函數(shù)在上可導, 并且. (4) 可積性若函數(shù)在上連續(xù),則函數(shù)在區(qū)間上可積.特別是,若函數(shù)連續(xù),則有.3積分上限函數(shù)的應用3.1利用積分上限函數(shù)證明積分等式與不等式例1 設和在上連續(xù),證明:至少存在一點,使.證明 令.由于,在上連續(xù),所以在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,由羅爾定理,至少存在一點,使得,而,從而,即.例2 若和在上連續(xù),則.證明 令,則 .所以在上單調(diào)增加,從而.3.2利用積分上限函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)

7、例3 求和函數(shù). 解 設 則,設 則求導得 因為 再求導, 得3.3利用積分上限函數(shù)求解函數(shù)方程 例4 設在任意有限區(qū)間上可積且滿足方程 (1)試證：，其中.證明 要證，當時即要證=常數(shù).或，, 即在已知方程 兩邊對取積分但故此式右端，以對稱的形式出現(xiàn).互換知，從而 （當時） (2)在(1)中令,得.可見(2)對于也成立.最后(2)中,令,可得.3.4利用積分上限函數(shù)確定全微分例5 驗證是全微分,其中是連續(xù)函數(shù). 證明 令,由于是連續(xù)函數(shù),故,且它們都是的連續(xù)函數(shù),因此 .即證是全微分.3.5利用積分上限函數(shù)求解導數(shù) 例6 設在的某個領域內(nèi)連續(xù),驗證當時,函數(shù)的各階導數(shù)都有,且 證明 由于被積

8、函數(shù)及偏導數(shù)在上連續(xù), 于是由定理可得 同理由此繼續(xù)下去,求得階導數(shù)為特別的當時有 于是3.6利用積分上限函數(shù)計算重積分 例7 設函數(shù)在連續(xù),則 證明 3.7利用積分上限函數(shù)證明中值定理例8 微分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點,使.證明 把換成,則.即 , ,將上式兩邊取積分,即.令,顯然,且在內(nèi)連續(xù),在可導,由羅爾定理,則至少存在一點,使,而,故 .例9 積分中值定理:若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在內(nèi)至少存在一點,使得.證明 設,由于在閉區(qū)間連續(xù),則在上連續(xù),由拉格朗日中值定理,則至少存在一點,使,即.3.8利用積分上限函數(shù)求函數(shù)關系式 例10 已知函數(shù)當時

9、為, 當時為, 求積分上限函數(shù)在上的表達式. 解 因為被積函數(shù)是分段函數(shù), 所以通常計算定積分而確定的表達式時也要分段考察.當時, 當時, 所以當時為 當時為3.9利用積分上限函數(shù)證明方程根的存在性例11設在上連續(xù),且0, 又.證明:在內(nèi)有且僅有一個實根.證明 因為 ,而 ,所以 .故在內(nèi)單調(diào)增加,所以在內(nèi)至多有一個實根.又 , ,且在上連續(xù),故根據(jù)的存在定理,在內(nèi)至少有一個實根.綜上所述, 在內(nèi)有一個且僅有一個實根.4.結(jié)束語綜上所述，深刻理解積分上限函數(shù)的定義，準確掌握相關性質(zhì)，是解決各種積分上限函數(shù)有關問題的關鍵，為解決實際問題提供了更多的方法,優(yōu)化了解題途徑,同時也存在著局限性,對適應范圍存在著各種條件,這還有待于進一步研究.致謝語感謝陳立老師在論文過程中對我的悉心指導, 也感謝曾幫助我的同學們!參考文獻1同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學(第5 版)M.北京:高等教育出版社,1999.2 高智民.原函數(shù)存在定理在不等式證明題中的應用M.湖南師范大學學報,1997,16(2):14-15.3華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析(第2 版)M.北京:高等教育出版社,1999.4徐虎.積分上限函數(shù)的應用研究,內(nèi)肛科技M.中南大學學報,1997,17(2):