(完整版)八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版).doc

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑, 三棱錐與長方體的外接球相同）PPPPO2ccccAbCCCBbabaCbAAaBBaAB圖 1圖 2圖 3圖 4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2a2b2c2 ，即 2Ra2b2c2 ，求出 R例 1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4 ，體積為 16，則這個(gè)球的表面積是（）A 16B 20C24D 32（ 2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ，則其外接球的表面積是（ 3）在正三棱錐 SABC 中， M 、 N 分別是棱 SC、BC 的中點(diǎn)，且 A

2、MMN ,若側(cè)棱 SA 23 , 則正三棱錐 SABC 外接球的表面積是。解：引理： 正三棱錐的對棱互垂直，證明如下：如圖（ 3） -1 ，取 AB, BC 的中點(diǎn) D, E ，連接 AE ,CD ， AE, CD 交于 H ，連S接 SH ，則 H 是底面正三角形ABC 的中心，SH平面 ABC ， SHAB ，AC BC， ADBD ，CDAB ，AB平面 SCD ， ABSC ，同理： BCSA， AC SB ，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（ 3） -2 ，AMMN ， SB/ MN ，AMSB，ACSB ，SB 平面 SAC ，SBSA， SBSC， SBSA， BCSA，ACH

3、DEB(3) 題 -1SA平面SBC，SASC，故三棱錐SABC的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直，(2R)2(2 3)2(23)2(23)236 ，即 4R236 ，外接球的表面積是36SMACNB(3)題 -21（ 4）在四面體 S ABC 中， SA平面 ABC ， BAC120 , SA AC 2, AB 1, 則該四面體的外接球的表面積為（）A.11B.7C.10D. 4033（ 5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、 4、 3，那么它的外接球的表面積是（ 6）已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長為1 的等腰直角三角形和邊長為1 的正方形，則該幾何體外接球的體積為類型二

4、、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1題設(shè)：如圖5， PA平面 ABC解題步驟：第一步：將 ABC 畫在小圓面上， A 為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑 AD ，連接 PD ，則 PD 必過球心 O ；PO第二步： O1 為ABC 的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出小圓 O1 的半CAD1O徑 O1Dr （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得Babc1 PA；圖 52r ）， OO1sin Asin Bsin C2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2PA 2(2r )22RPA2(2r )2； R2r 2OO12Rr 2OO1222題設(shè)： 如圖 6，7，8， P

5、的射影是ABC 的外心三棱錐 PABC 的三條側(cè)棱相等三棱錐 PABC 的底面ABC 在圓錐的底上，頂點(diǎn)P 點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)PPPPOOOOCCCCAO1DAAO1O1O1BABBB圖 6圖 7-1圖 7-2圖 8PPPAAAO2O2BO2CDBCBDOOO圖 8-1圖8-2圖8-3解題步驟：第一步：確定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，則 P,O , O1 三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O1 的半徑 AO1r ，再算出棱錐的高PO1h （也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：OA 2O1 A2O1O2R 2( h R) 2r 2，解出 R.方法二： 小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例 2 一個(gè)幾何

6、體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A 3B 2C 16D以上都不對3類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）PPPPOOOO1ACAO1CACAO1CBBBB圖 9-1圖 9-2圖 9-3圖 9-41題設(shè)：如圖 9-1 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 為小圓的直徑）第一步：易知球心O 必是PAC 的外心，即PAC 的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC2r ；第二步：在abc2R，求出 R。PAC 中，可根據(jù)正弦定理sin Bsin Csin A32如圖 9-2 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 為小圓的直徑）OC 2O1C 2O1O 2

7、R2r 2O1O 2AC 2R2O1O23如圖 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 為小圓的直徑） ，且 P 的射影是ABC 的外心三棱錐 PABC 的三條側(cè)棱相等三棱 P ABC 的底面ABC 在圓錐的底上，頂點(diǎn)P 點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心O 的位置，取ABC 的外心 O1 ，則 P,O, O1 三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O1 的半徑 AO1r ，再算出棱錐的高PO1h （也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1O2R2( h R) 2r 2，解出 R4如圖 9-3 ，平面 PAC平面 ABC ，且 ABBC （即 AC 為小圓

8、的直徑） ，且 PAAC ，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2PA 2(2r )22RPA2( 2r ) 2 ； R2r 2OO12Rr 2OO12例 3 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為 23 ，則該球的表面積為。（ 2）正四棱錐 SABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為2 ，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（ 3）在三棱錐 PABC 中， PAPBPC3 , 側(cè)棱 PA 與底面 ABC 所成的角為 60，則該三棱錐外接球的體積為（）AB.C. 4D.433SO1SCO（ 4）已知三棱錐ABC的所有頂點(diǎn)都在球的求面上 ,ABC是邊長為,為球的直的

9、正三角形徑,且SC2; 則此棱錐的體積為（）A2B3C2D266324類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）C1C1C1A 1A1O 2A 1O2O 2B1B 1B 1OOOCCCAAO1AO 1BBO1B圖 10-1圖 10-2圖10-3題設(shè)：如圖10-1 ，圖 10-2 ，圖 10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心O 的位置， O1 是ABC 的外心，則 OO1平面 ABC ；第二步：算出小圓O1的半徑 AO1r ， OO1 1 AA1 1 h （ AA1h 也是圓柱的高） ；22第三步：勾股定理：OA2O1 A2O1

10、O2R2( h)2r 2Rr 2( h) 2 ，解出 R22例 4 （1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9 ，底面周長為3 ，則這個(gè)球的體積為8（ 2）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ABACAA12, BAC120 ，則此球的表面積等于。（ 3）已知EAB 所在的平面與矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EAEB3, AD2,AEB 60 ，則多面體 EABCD 的外接球的表面積為。（ 4）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB4, AC6, A, AA14 則直三棱柱 ABCA1B1C1

11、的外接球3的表面積為。5類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊( 如圖 11)AOH 2DAH 1ECB圖 11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD 畫在小圓上，找出BCD 和A BD的外心 H1和 H2；第二步：過 H 1 和 H 2 分別作平面 BCD 和平面 A BD 的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O ，連接 OE,OC ；第三步：解OEH 1 ，算出 OH 1 ，在 Rt OCH 1 中，勾股定理： OH 12CH 12OC 2例 5 三棱錐 P ABC 中，平面 PAC平面 ABC ， PAC 和 ABC 均為邊長為2 的正三角形， 則三棱錐 PABC

12、外接球的半徑為.類型六、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體） 中，已知三組對棱分別相等， 求外接球半徑 （ ABCD ，AD BC ，AC BD ）第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步： 設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b, c ， AD BC x ， AB CDy ， ACBD z ，列方程組，a 2b 2x2c2x2y 2z2b2c2y2(2R)2a2b2，c2a2z22AxDyyczz補(bǔ)充： VA BCDabc1 abc 41 abcxCBab63第三步：根據(jù)墻角模型，2Ra2b2c2x 2y 2z2，圖122R2x2y 2z2， Rx2y2z2，求出

13、R，88例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例 6（ 1）棱長為 2 的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形( 正四面體的截面) 的面積是.(1) 題6（ 2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A3 3B 3C3D 343412（ 3）在三棱錐ABCD 中，若 ABCD2, ADBC3, ACBD4, 則三棱錐 A BCD 外接球的表面積為。（ 4）在三棱錐ABCD 中， ABCD5, ACBD6, ADBC7, 則該三棱錐外接球的表面積為.（ 5）正四面體的各條棱長都為2 ，則該正

14、面體外接球的體積為類型七、兩直角三角形拼接在一起( 斜邊相同 , 也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐) 模型PBCOA圖 13題設(shè)： APBACB90 ，求三棱錐 PABC 外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O ，連接OP,OC ，則 OAOBOC OP1AB ，O 為三棱錐 PABC 外接球球心，然后在OCP 中求出2半徑）例 7（ 1）在矩形 ABCD 中， AB4， BC3 ，沿 AC 將矩形 ABCD 折成一個(gè)直二面角B ACD ，則四面體 ABCD 的外接球的體積為（）A 125B 125C 125D 12512963（ 2）在矩形 ABCD 中， AB 2， BC3，沿 BD 將

15、矩形 ABCD 折疊，連接 AC ，所得三棱錐 ABCD的外接球的表面積為7類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設(shè)：如圖14，三棱錐 PABC 上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E, H 分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求 DH1BD ，PO PHr ， PD 是側(cè)面ABP 的高；3PDH ，建立等式： OEPO ，解出 r第三步：由POE 相似于DHPD2題設(shè)：如圖15，四棱錐 PABC 上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P, O, H 三點(diǎn)共線；第二步：求 FH1 BC ， PO PH r ， PF 是側(cè)面PCD 的高；2第三步：由POG 相似于

16、PFH ，建立等式： OGPO ，解出HFPF3題設(shè)：三棱錐P ABC 是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑PEOACDHB圖 14PGOADEHFBC圖 15方法：等體積法， 即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ，建立等式： VPABCVOABCVO PABVO PACVO PBCVP ABC1S ABC r11SPAC1SPBCr1S PAB SPAC S PBC ) r3SPABrr(S ABC3333第三步：解出 r3VPABCSOSOSOPACSO PBCABCPAB習(xí)題：SABCSA2 SBSC41若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直， 且，則該三棱錐的外接球半徑為 （），A. 3B. 6C.36D. 92 三棱錐 SABC 中，側(cè)棱 SA平面 ABC ，底面 ABC 是邊長為3 的正三角形， SA2 3 ，則