D8_6空間直線及方程

1、第六節(jié)空間直線及其方程一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA12L一般方程一般方程1 1. 一般方程一般方程 空間直線可視為兩平面交線(不唯一)2. 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程),(0000zyxM(,)sm n pxyzosL0M M 設(shè)直線L:過(guò)點(diǎn)平行于非零非零向量( (方向向量方向向量) )則該直線方程為mxx0nyy0pzz0直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程(或點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則),(zyxMsMM/02. 對(duì)稱

2、式方程對(duì)稱式方程),(0000zyxM(,)sm n pxyzosL0M M 設(shè)直線L:過(guò)點(diǎn)平行于非零非零向量( (方向向量方向向量) )則該直線方程為mxx0nyy0pzz0直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程(或點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)說(shuō)明說(shuō)明: (1)某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.00yyxx直線方程為例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm(2)方向向量不唯一.例例1求經(jīng)過(guò)求經(jīng)過(guò)),(),(22221111zyxMzyxM兩點(diǎn)的直線方程兩點(diǎn)的直線方程解解由題知由題知21MM為直線的方向向量為直線的方向向量21MMs 212121(,)xx yy zz則所求直線方程為

3、則所求直線方程為121121121zzzzyyyyxxxx 直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程 M1 M2s3. 參數(shù)方程參數(shù)方程設(shè)得參數(shù)方程 :tpzznyymxx000為參數(shù)為參數(shù)ttpzztnyytmxx 000求直線與平面的交點(diǎn)時(shí)常用求直線與平面的交點(diǎn)時(shí)常用參數(shù)方程參數(shù)方程 ),(pnms 注：注：241312 zyx令令241312 zyx代入得代入得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t代入平面方程代入平面方程,求直線求直線例例2與平面與平面的交點(diǎn)的交點(diǎn).t 得得, 1 x, 2 y. 2 z例例3 3.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先找直

4、線上一點(diǎn)先找直線上一點(diǎn). .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得已知兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns ,ns21nns) 3, 1, 4(312111kji故對(duì)稱方程為41x1y32z故參數(shù)式方程為tztytx32 41t1 2 Ls2L1L二、兩直線的夾角二、兩直線的夾角1.兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 ：兩方向向量的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm2222

5、22pnm),(, ),(22221111pnmspnms1212cosssss1s2s2.兩直線位置關(guān)系兩直線位置關(guān)系:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例4. . 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis L1.1.直線與平面的夾角直線與平面的夾角：當(dāng)直線與平面斜交時(shí),設(shè)直線 l 的方向向

6、量為 平面的法向量為則直線與平面夾角直線與平面夾角 滿足222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影所夾銳角),(pnms ),(CBAn sin| cos(,) |snnsns sn三、直線與平面的位置關(guān)系三、直線與平面的位置關(guān)系2.2.特別有特別有: :(1)l (2) /l0pCnBmApCnBmAns/nsL 直線 l 的方向向量為 平面的法向量為),(pnms ),(CBAn sn解解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角解解: :平面的法

7、向量421zyx則直線方程為0432zyx直的直線方程. 即為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例6. 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面四、例題四、例題)5, 2, 3( 34 zx152 zyx例例7 7 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)且與兩平面且與兩平面和和的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.解解由題知兩平面的法向量分別為1(1, 0,4),n 2(2,1,5)n 設(shè)直線的方向向量為s且,1ns ,2ns 則21nns 104215ijk( 4, 3, 1), 325431xyz所求直線的方程 )4 , 3, 2( A例例8 8 設(shè)直線過(guò)點(diǎn)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且和，且和y軸垂直相交，軸垂

8、直相交，求其方程求其方程.解解交點(diǎn)為交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程 22x. A. Bs 03y.44 zxyzO)3 , 1 , 2(M12131 zyx例例9 9 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)且與直線且與直線垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.解解先過(guò)點(diǎn)M作與已知直線垂直的平面： 再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得73 t即得交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為MN12 624(,),777 故所求直線方程為.431122 zyx32 1 )2( x)1( y)3( z0

9、. M N(1)與與直線直線及及112211 zyx都平行且過(guò)原點(diǎn)的都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程平面方程為為( ).例例10 tztyx2110 zyx提示提示平面過(guò)原點(diǎn)平面過(guò)原點(diǎn)由點(diǎn)法式方程即可得由點(diǎn)法式方程即可得.法向量法向量)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n(2).垂直的垂直的且與直線且與直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平面方程是平面方程是043 zyx(3).130211:1 zyxL過(guò)直線過(guò)直線且且平平行行于于).(11122:2的平面方程為的平面方程為直線直線zyxL 023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(點(diǎn)點(diǎn))1

10、 , 3, 1()1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn)1 , 3 , 1( n 提示提示 ,031020123 zyxzyxL為為設(shè)設(shè)直直線線).(, 0224則則為為平平面面 zyx 平行于平行于LA. .上上在在 LB 垂垂直直于于LC.斜交斜交與與 LD.C),(pnms / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( )10, 1, 2()2 , 3 , 1( (4).平面束的方程平面束的方程設(shè)有兩塊設(shè)有兩塊不平行不平行的平面的平面其中系數(shù)不互相其中系數(shù)不互相成比例成比例交成一條直線交成一條直線L過(guò)直線過(guò)直線L的所求全體平面的所求全體平面 平面束平面束)1(0:

11、11111 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA作作(3)表示過(guò)直線表示過(guò)直線L的平面的平面)(2 除除0)(2222 DzCyBxA1111DzCyBxA )3()2(0:22222 DzCyBxA 解解的的和和點(diǎn)點(diǎn)求求過(guò)過(guò)直直線線)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平面方程平面方程)1(0)1( zyxzyx 將點(diǎn)將點(diǎn) 代入代入(1)中中,得得)1, 1 , 1( 0)1111(111 23 將將代入代入(1)中中,得得23 035 zyxn例例過(guò)過(guò)已知直線的平面束方程已知直線的平面束方程為為的的兩兩個(gè)個(gè)互互相相求求通通過(guò)過(guò)直直線線 020:zyxyxL.

12、,zyx 線線其其中中一一個(gè)個(gè)平平面面平平行行于于直直垂垂直直的的平平面面解解 設(shè)設(shè)平面束方程平面束方程02)1()1( zyx,1 的的平平面面為為設(shè)設(shè)平平行行于于直直線線zyx 0)1()1( 2 方程方程平面平面1 ,21 的的平平面面方方程程為為又又設(shè)設(shè)垂垂直直于于由由即即; 0423 zyx由由02)1(3)1( 31 ),1,1(1 n. 02242 zyx方方程程平平面面 1 2 0)2( zyxyx1. 空間直線方程空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：2