管道線路布置的優(yōu)化設(shè)計

1、管道線路布置的優(yōu)化設(shè)計摘要管道運輸是輸送石油的一個重要途徑，設(shè)計合理的管線鋪設(shè)方案，不僅可以節(jié)省鋪設(shè)的費用，還可以減少后期運輸?shù)某杀?，提高?jīng)濟效益。本文針對題目中給出的不同情況，設(shè)計了不同情況輸油管線的詳細(xì)方案。針對問題一：根據(jù)兩個煉油廠到鐵路線距離和兩個煉油廠間的不同距離以及共用管線與非共用管線的兩種不同情況，對不共用管線時進行的分析，對共用管線時進行，的分析。最終可以將模型歸納為：運用軸對稱定理建立的非線性優(yōu)化模型。在模型檢驗中運用費馬點對模型進行檢驗，可以證明該模型的正確性。 針對問題二：在已經(jīng)確定了兩個煉油廠的地點一個在郊區(qū)一個在城區(qū)的情況下，由于在城區(qū)的管道鋪設(shè)還需增加拆遷和工程補償

2、等附加費，首先按照各級公司的各項數(shù)據(jù)運用進行綜合評價法分析，得到甲，乙等級公司的評估可信度之比為1:0.426，從而得到拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用的期望值為萬元/千米，。然后根據(jù)問題一中的模型三，運用編程的方法，得出將火車站建在點（4.427985,0) 時費用最少為502.6264萬元，此時的城郊結(jié)合處坐標(biāo)為(15，6.547257)，無共用管線，兩廠管道交匯處坐標(biāo)為(4.427985，0.4435016)。在用求解得到費用最小的線路后，控制變量，保持和的條件不變，對進行靈敏度分析，可以總結(jié)出如下結(jié)論：當(dāng)?shù)闹荡笥?.427985時，隨著值得增大，和的值都在小幅度的減小，以此來保證費用較小。針對

3、問題三：根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)，可以將火車站分為建立在城區(qū)和郊區(qū)兩種情況，根據(jù)通用模型三，運用編程的方法，將已知數(shù)據(jù)代入，得到將火車站建在郊區(qū)坐標(biāo)為（5.323864,0）時費用最少為458.6181萬元。為了檢驗計算的準(zhǔn)確性，利編程進行模擬，得到最小總費用為523.6968萬元，火車站的坐標(biāo)點位（14.9820,0），共用管道的坐標(biāo)為（14.9820,0.0772）.由此可得，我們建立的模型是可行的。針對論文的實際情況，對論文的優(yōu)缺點做了評價，文章最后還給出了其他的方法，以用于參考。關(guān)鍵詞：軸對稱定理 非線性優(yōu)化模型 費馬點 綜合評價法 1、問題重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵

4、路線上增建一個車站，用來運送成品油，成品油由輸油管線運往火車站。問題一，要針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形提出設(shè)計方案，并要考慮是否使用共用管線以及共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。問題二，對于一個具體實例，在所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米9.5萬元時，但鋪設(shè)在城區(qū)的那部分管線，還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用。為對此項附加費用進行估計，聘請了三家工程咨詢公司進行了估算。三家工程咨詢公司的資質(zhì)分別為甲級、乙級、乙級，附加費用的估價分別為每千米24萬元、21萬元、25萬元。要求給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。 問題三，在與問題二相同的實例中，為進一步節(jié)省費用，可以根

5、據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管，這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米7.6萬元，輸送B廠成品油的每千米8.0萬元，共用管線費用為每千米11.2萬元，拆遷等附加費用同上。要求給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。2、問題分析本題中，某油田計劃在鐵路一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路上增建一個車站，用于運送成品油。針對問題一，根據(jù)兩個煉油廠到鐵路線距離和兩個煉油廠間的不同距離以及共用管線與非共用管線的兩種不同情況，在不共用管線時設(shè)一個煉油廠為A,一個煉油廠為B，從煉油廠A到火車站的管線費用為萬元/千米，從煉油廠B到火車站的管線費用為萬元/千米，對不共用管線時進行的分析；在共用管線時，設(shè)

6、共用管線的費用為萬元/千米，對共用管線時進行的分析。最終可以將模型歸納為：運用軸對稱定理建立的非線性優(yōu)化模型。在模型檢驗中運用費馬點對模型進行檢驗，可以證明該模型的正確性。針對問題二，在給定數(shù)據(jù)的條件下鋪設(shè)管線時，因為所有管線均為9.5萬元/千米，因此不考慮共用和非共用管線的價格不同的情況，但因為在城區(qū)的管線需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，設(shè)計學(xué)院聘請了三家不同資質(zhì)的咨詢公司，得到3個估價，因此需要對著3個估價進行數(shù)據(jù)處理，得到一個加權(quán)后的附加費用估計值。確定在郊區(qū)和在城區(qū)的管道長度，就能得到費用的最低值。針對問題三，對于問題二這個實例，為了進一步節(jié)省費用，選用相適應(yīng)的的油管，這就存在有共用管

7、道和沒有共用管道的兩種情況，對模型進行比較，就可以得到最優(yōu)解，最后利用編寫模擬程序進行模擬，得出模擬值與其比較，檢驗計算的準(zhǔn)確性。3、模型假設(shè)與符號說明3.1模型假設(shè)假設(shè)一：城區(qū)和郊區(qū)地形良好，管道在城區(qū)與郊區(qū)都能直線鋪設(shè)；假設(shè)二：在鋪設(shè)管道過程中，不考慮由于河流、山坡等障礙而增加費用；假設(shè)三：共用管道與非共用管道接口處的長度忽略不計；假設(shè)四：管道鋪設(shè)在邊界線上時不算入拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用；假設(shè)五：不考慮由于在鋪設(shè)管道時造成的意外事故所賠償?shù)馁M用；假設(shè)六：管道鋪設(shè)后不會對周圍的環(huán)境造成污染；3.2符號說明符號解釋煉油廠的地點煉油廠的地點鐵路上的火車站點共用管線的起點煉油廠點的縱坐標(biāo)煉油廠的

8、橫坐標(biāo)煉油廠的縱坐標(biāo)鐵路上的火車站點橫坐標(biāo)鐵路上的火車站點縱坐標(biāo)管線建設(shè)的總費用通往煉油廠的管線每千米的費用通往煉油廠的管線每千米的費用共用管線每千米的費用最終估計的附加費用公司可信度估計權(quán)重4、模型的準(zhǔn)備在已經(jīng)確定了兩個煉油廠的地點一個在郊區(qū)一個在城區(qū)的情況下，由于在城區(qū)的管道鋪設(shè)還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，對此項附加費用進行估計。在得到三家工程咨詢公司的估算價格之后，由于三家公司的資質(zhì)情況和估算費用結(jié)果不經(jīng)相同，如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）242125因公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)，我們在查閱中國工程咨詢公司資格認(rèn)定6方法后，按

9、照各級公司的各項數(shù)據(jù)運用進行法分析，得到二者的與最優(yōu)方案接近程度比為1:0.426為我們將附加費用按此照權(quán)重進行再次估計：根據(jù)公司不同賦予不同權(quán)重：計算可得拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用的期望值為（萬元/千米）。5、模型的建立于求解.1問題一：5.1.1.1模型一的建立： 不共用管線的情況 首先考慮沒有共用管線的方案，管線鋪設(shè)總費用主要包括兩部分： 首先設(shè)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，A廠到車站的管線鋪設(shè)費用萬元每千米、B廠到車站管線鋪設(shè)費用。在沒有共用管線情況下，我們應(yīng)該將車站建鐵路線上，不妨令該點的坐標(biāo)為。因為不共線時C點在軸上面，即C點的坐標(biāo)為，所以我們有，從而總建設(shè)費用為：圖（5.1.1）那我

10、們的問題轉(zhuǎn)化為求點的位置（求的值），使得管線建設(shè)費用最少。為此我們可以得到模型一： (5.1.1) 對于模型一： (5.1.2) 下面確定車站位置使得總建設(shè)費用最小。利用費爾馬極值原理，考慮其導(dǎo)數(shù) (5.1.3) 討論：Step1、當(dāng)，即兩煉油廠的每千米的管線鋪設(shè)費用相等，則(5.2)式可轉(zhuǎn)化為： 令，即：(5.1.4)當(dāng)時，如圖5.1.2所示。圖(5.1.2)由于每千米的管線建設(shè)費用相同，且不考慮拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，只需建設(shè)車站使得A廠和B廠到車站的管線總長度最小即可。由光的反射定理，可知將火車站建在直線與軸的交點處（其中點是點關(guān)于軸的對稱點）。解得： 討論這兩個解：在沒有共用管線的情

11、況下，且煉油廠A與煉油廠B的每千米管線建設(shè)費相等時，即。圖(5.1.3) 如圖5.1.3所示：由于煉油廠A與B的管道建設(shè)費用相等，即=，則連接車站到煉油廠A的距離與車站到煉油廠B的距離之和最短，為最優(yōu)。在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸為對稱軸，找一點使得點與點關(guān)于x軸對稱。連接點，與x軸相交于點C。故有：,根據(jù)兩點間直線距離最短可得出點C到點A的距離加上點C到點B的距離為最短。故點C必須在X軸上。根據(jù)兩煉油廠都在鐵路一側(cè)，有且，首先考慮第一個解：，故有意義。將代入(5.1.1)式，則最省的費用為：其中車站應(yīng)建在點處。其次考慮第二個解，特別的，當(dāng)時，點C的坐標(biāo)為；當(dāng)時，(a)、如果，則，(b)、如果，

12、則。故解無意義。Step2、當(dāng)，則其導(dǎo)數(shù)為： (5.1.5)令可得的符號解。5.1.2.1模型二的建立：共用管線的情況a.當(dāng)兩煉油廠的連線所在直線垂直于鐵路線時，如圖5.1.4所示（A，B上下位置可互換）： A (51.4) B O 鐵路線明顯的，從遠(yuǎn)油廠鋪設(shè)非共用管道到近油廠，再從近油廠鋪設(shè)共用管道到增建的車站，費用最少（注：通過相關(guān)資料查得安全距離大致應(yīng)在1000米以上,所以 AB的距離 ）。 此時，總費用為：() 當(dāng)時：=+ 當(dāng)時： b.當(dāng)兩煉油廠的連線所在直線不垂直于鐵路線時，建立模型二，如圖5.1.6所示（其中大小不確定）： 由于兩種管道的單位造價相同，要使總鋪設(shè)費用最小，則應(yīng)使鋪設(shè)

13、距離最短，為求得最小距離，則必須確定兩種管道的結(jié)合點O。 于是問題轉(zhuǎn)化為在四邊形內(nèi)找一點，使最小。據(jù)實際情況判斷，應(yīng)界定在矩形AEDO內(nèi)。鐵路線 E 圖（5.1.5）如圖5.1.5所示，設(shè)車站建在點處，由于兩種管道的單位造價相同，要使總鋪設(shè)費用最小，則應(yīng)使鋪設(shè)距離最短，為求得最小距離，則必須確定兩種管道的結(jié)合點,連接尺寸CC垂直于鐵路線，煉油廠與煉油廠的管線相交于點處，使最小。 煉油廠的管線建設(shè)費用為，煉油廠的管線建設(shè)費用為，共用管線建設(shè)費用為。則總建設(shè)費用為：在此情況下，我們的問題實際上可以轉(zhuǎn)化為模型二：對于模型二： 討論:Step1、當(dāng)時，即所有管道價格一樣 則其對的偏導(dǎo)數(shù)：對的偏導(dǎo)數(shù)令=

14、0，=0 有方程組：解方程組得：把其結(jié)果代入目標(biāo)函數(shù)有： Step2、當(dāng)時.即共管線，且共用管線費用與非共用管線費用不同，其目標(biāo)函數(shù)為： 其對的偏導(dǎo)數(shù)：對的偏導(dǎo)數(shù)令=0，=0 有方程組：利用解方程組得： Step3、當(dāng)，即所有費用都不相同的情況下，管道費用為：對它求的偏導(dǎo)數(shù)：求對的偏導(dǎo)數(shù)：令， 有方程組：，對于給定的數(shù)值，可以求出,然后可以求出目標(biāo)的最優(yōu)值。5.1.3模型三的建立綜合以上的模型一與模型二可以建立一個綜合模型三：當(dāng)時：當(dāng)時：根據(jù)上述思路編寫程序，流程圖如下所示。5.問題二：5.2.1模型四的建立在此種情況下兩煉油廠位置分別處于郊區(qū)和城區(qū)，所以我們分別討論車站建在郊區(qū)和車站建在城區(qū)

15、的情況，分別計算出兩種方案管線所需要的費用。最終確定方案的費用Z為車站位于郊區(qū)的費用和車站位于城區(qū)的費用二者的最小值。按照問題1所簡歷的模型，我們以鐵路為x軸，A點與鐵路的垂線為y軸做出如下圖：郊區(qū)城區(qū)郊區(qū)城區(qū)S（x1,0）S（x1,0）ab 圖（5.21）當(dāng)火車站位于郊區(qū)時（如上圖a），位于城區(qū)的管道線路就只有段，：當(dāng)火車站位于城區(qū)時（如上圖b），位于城區(qū)的管道有、和三段，所以對于模型四為5.2.2模型四求解：由題目可求得(萬元/千米)。根據(jù)題意，。帶入題目可得當(dāng)火車站建在郊區(qū)時： 當(dāng)火車站建在城區(qū)時： 運用軟件編程求解（程序見附錄）可以得到以下兩種情況下的結(jié)果如下表：車站建在郊區(qū)車站建在城

16、市總費用（萬元）502.6264 568.4405城郊結(jié)合處坐標(biāo)（x,y）(15，6.547257) (15,0)鐵路坐標(biāo)(x,y)(4.427985,0)(15,0)兩廠管道交匯處坐標(biāo)（x,y）(4.427985，0.4435016) 無共用管線則有所以最優(yōu)方案總花費為502.6264萬元，車站建在距離坐標(biāo)遠(yuǎn)點4.427985千米的火車道上。，兩油廠的管線在坐標(biāo)(4.427985，0.4435016)處交接，然后使用公共管線垂直到達(dá)鐵路線上的車站。用做出其準(zhǔn)確圖形如下：5.3問題三5.3.1 模型五的建立在問題二中，我們已經(jīng)建立了近似情況下的一般模型。本問題和問題二相比，正好是管線鋪設(shè)費用的

17、數(shù)值不一樣了的情況，根據(jù)問題2模型具有的推廣性質(zhì)，我們完全可以用問題二的模型來解決問題三。5.3.2模型五的求解根據(jù)題意，我們將數(shù)據(jù)，代入模型得將火車站建立在郊區(qū)時：將火車站建立在城區(qū)時：用編程求解（程序見附件）可解出結(jié)果如下：車站建在郊區(qū)車站建在城市總費用（萬元）458.6181520.1667管線的城郊處坐標(biāo)（x,y）（15，6.561749）（15，0.2040007E-07）鐵路坐標(biāo)(x,y)（5.323864,0）（15,0）兩廠管道交匯處坐標(biāo)（x,y）無共用管線無共用管線所以最優(yōu)方案總花費為458.6181萬元，車站建在距離坐標(biāo)遠(yuǎn)點5.323864千米的火車道上。，兩廠無共用管道。

18、用做出其準(zhǔn)確圖形如下：6、模型結(jié)果分析與檢驗對于問題一，當(dāng)管線費用相同我們出了用以上方法證明之外，我們也可以根據(jù)費馬點來來證明此點為管線交接的最優(yōu)點有且僅有此點三角形的內(nèi)角都小于120的情況：首先證明三條線交于一點。 設(shè)為線段和的交點。注意到三角形和三角形是全等的，三角形可以看做是三角形以點為軸心順時針旋轉(zhuǎn)60度得到的，所以角等于60度，和相等。因此，四點共圓。同樣地，可以證明四點共圓。于是：從而。于是可以得出：四點共圓，即,三點共線。也就是說 三條線交于一點。接下來證明交點就是到三個頂點距離之和最小的點。 在線段上選擇一點，使得。由于，所以等腰三角形是正三角形。于是。同時、，于是可以得出三角

19、形和三角形是全等三角形。所以。綜上可得出：對于平面上另外一個點，以為底邊，向下作正三角形。運用類似以上的推理可以證明三角形和三角形是全等三角形。因此也有：平面上兩點之間以直線長度最短。因此 也就是說，點是平面上到點距離的和最短的一點。最后證明唯一性。 如果有另外一點使得，那么因此點和也在線段之上。依照和的定義，可以推出因此也是三條線的交點。因此點也就是點。因此點是唯一的。一內(nèi)角大于120的情況。 如右圖，大于120，為三角形內(nèi)一點。以為底邊，向上作正三角形；以為底邊，向上作正三角形。于是三角形和三角形是全等三角形。所以. 延長交于點，則. 即. 所以A點到三頂點的距離比三角形內(nèi)任意一點到三頂點

20、的距離都小，即A點為費馬點。對于問題2的模型，我們使用的是賦權(quán)值進行機選取得加權(quán)平均數(shù)的方法來確定估計值，但是在實際的工程中，人們常使用其它經(jīng)濟學(xué)方法來進行分析討論，例如樂觀決策法（好中求好，附近費用為21萬元/千米），悲觀決策法（小中取大,附加費用為25萬元/千米）等方法來確定附近費用的值，但由于存在較大的誤差。所以我們選用了加權(quán)平均數(shù)來確定附加費用。有較強的說服力。在用求解得到費用最小的線路后，控制變量，保持和的條件不變，對進行靈敏度分析，可以總結(jié)出如下結(jié)論：當(dāng)?shù)闹党^我們求出來的費用最小的值，即4.427985時，隨著值得增大，和的值都在小幅度的減小，以此來保證費用較小。 對于問題三的模

21、型，雖然對于假設(shè)車站在城區(qū)的情況下計算出之后兩廠有2CM的共用管道距離，但是在現(xiàn)實生活中，考慮到鏈接管道時需要的額外費用，此距離是可以忽略不計的，所以我們可以認(rèn)為在問題三的第二種情況下是沒有共用管道的，所以模型仍有其的合理性。7、模型推廣與改進在此模型中，我們的假設(shè)條件在現(xiàn)實使用中有一定困難，在實際運用上的提高還有待提高。同時模型可以應(yīng)用到在鐵路線一側(cè)建立多個煉油廠的設(shè)計中，若只在鐵路線上建設(shè)一個車站，則依然設(shè)共用管線與非共用管線的交點，若建立多個車站就不適用了，應(yīng)建立更好的模型。另外，考慮煉油廠建設(shè)在鐵路線的兩側(cè)，則不需要考慮共用管線的問題，即只需假設(shè)出車站的位置即可。8、模型的優(yōu)缺點模型的

22、優(yōu)點：模型的可操作性強，運用我們提供的模型，在直接修改數(shù)據(jù)的情況下就可以計算出全局最優(yōu)解，具有一定的普遍性；運用的模型和理論都很淺顯易懂，且具有較強的說服力。模型的缺點：為了建模的方便，對一些非主要的因素做了合理的假設(shè)，這就造成結(jié)果上的一定誤差；運用得方法較單一，可比性不強。參考文獻(xiàn)1謝金星、薛毅編著；優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件,北京：清華大學(xué)出版社,2005年7月。2姜啟源、謝金星、葉??；數(shù)學(xué)建模(第三版),北京：高等教育出版社,2004年。3趙靜、但琦；數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗,高等教育出版社 施普林格出版社,2000年。4姜啟源等編著；大學(xué)數(shù)學(xué)實驗,北京：清華大學(xué)出版社,2005年2

23、月。5 皮耶德費馬；費馬點，6中華人民共和國國家發(fā)展和改革委員會令第29號工程咨詢單位資格認(rèn)定辦法，附錄問題二模型及結(jié)果：TOPISISa=500 60 18 9 6 5 2 10 200 30 9 5 3 5 2 8 50 15 3 2 2 5 1 5;m,n=size(a);b=;for i=1:m for j=1:n b(i,j)=a(i,j)/ sqrt(sum(a(:,j).2); endendc=;d=;for j=1:n for i=1:1 c(i,j)=max(b(:,j) ; d(i,j)=min(b(:,j); endende=;f=;g=;for i=1:m e(i,1)

24、=sqrt(sum(b(i,:)-c)2); f(i,1)=sqrt(sum(b(i,:)-d)2); g(i,1)=f(i,1)/(e(i,1)+f(i,1);endg:min=(sqrt(x2+(3-y)2)+y+sqrt(y1-y)2+(15-x)2)*9.5+(sqrt(25-15)2+(8-y1)2)*(9.5+23.54);x=0;x=0;y1=0;y1=15;x=0;y1=0;y1=0;x=0;y=0;y1=15;x=0;y1=0;y1=8; Global optimal solution found. Objective value: 520.1667 Objective bound: 520.1667 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 288 Total solver iterations: 52939 Variable Value Reduced Cost Y1 0.2040007E-07 0.000000