數(shù)列基礎知識

1、數(shù)列基礎知識梳理一、數(shù)列1、數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù)， 在函數(shù)的意義下， 數(shù)列是某一定義域為正整數(shù)或它 的有限子集 1,2,3,4 ， n的函數(shù)，即當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值， 其圖像是無限個或有限個孤立的點，數(shù)列的一般形式為a1,a2,a3,L ,an ,L , 通常簡記為 an ，其中 an 是數(shù)列的第 n 項，也叫通項。1）an與an是不同的概念， an 表示數(shù)列 a1,a2,a3,L ,an,L ,而an表示的是這個數(shù) 列的第 n 項2）數(shù)列與集合的區(qū)別 集合中元素性質：確定性，無序性，互異性； 數(shù)列中數(shù)的性質：確定性，有序性，可重復性。2、數(shù)列的通項

2、公式當一個數(shù)列 an的第 n 項 an與項數(shù) n 之間的函數(shù)關系可以用一個公式 an f n 來表 示，就把這個公式叫數(shù)列 an 的通項公式，可根據(jù)數(shù)列的通項公式算出數(shù)列的各項，也可 判斷給定的數(shù)是否為數(shù)列 an 中的項或可確定是第幾項。但不是所有數(shù)列都可以寫出通項 公式，數(shù)列的通項公式也不唯一。3、數(shù)列的表示方法 數(shù)列看成一個特殊的函數(shù)，所有從函數(shù)的觀點出發(fā)，數(shù)列的表示方法有以下三種：1）解析法 :通項公式和遞推公式兩種；2）列表法3）圖像法（數(shù)列的圖像是一系列孤立的點）4、數(shù)列的分類 （1）有窮數(shù)列和無窮數(shù)列 （2）單調數(shù)列，搬動數(shù)列，常數(shù)列5、 an與 Sn的關系S1(n 1)Sn Sn

3、 1 (n 2)6、 等差數(shù)列1）定義：一般地，如果一個數(shù)列從 第 2 項起，每一項與它前一項的差等于 同一個常數(shù) ，d 表示這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 定義的表示為： an an-1 d(n N*,n 2)或者 an 1 an d(n N*) 公差 d 可正可負或為零，為零時，數(shù)列為常數(shù)列。2)等差數(shù)列的通項公式an a1 n 1 d , an am n m d對于第二個公式要求an ,am 是數(shù)列中的項即可，也可表示為an a1n1d an am (n m)nm3) 等差數(shù)列的增減性d 0 等差數(shù)列 an 為遞增數(shù)列； d 0 等差數(shù)列 an 為遞減

4、數(shù)列； d =0 等差數(shù)列 an 為常數(shù)列。ab24) 等差中項任意兩個數(shù) a,b 有且僅有一個等差中項 ，即 AA a 2b a, A,b三個數(shù)構成等差數(shù)列。5) 等差數(shù)列前 n 項和公式(倒序相加法)Snn a1 an2n n 1Sn na1d.n 1 2第 二 個 公 式 Snna1n n 1d 可 整 理 成 Sn2d2n2a1n，設A d ,B a1 d 則 Sn An2 Bn， Sn可看成是關于 n的二次函數(shù)(常數(shù)項為 2 1 2 n那么可以得出一下結論：(1) 當d 0是,S n有最小值；當 d 0是,Sn有最大值 ;(2) an是等差數(shù)列Sn An2 Bn.7、 等比數(shù)列1)

5、定義：一般地，如果一個數(shù)列從 第 2 項起，每一項與它前一項的比等于 同一個常數(shù) ， 這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列， 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公比， 公差通常用字母 q(q 0) 表 示2)等比數(shù)列的通項公式定義的表示為：an q(n N*,n 2) 或者 an 1 q(n N* ) an-1an公比 q 0 ；當 q 1 時，數(shù)列為常數(shù)列。amq3)等比數(shù)列的增減性a110或a10an為遞增數(shù)列；4)等比中項a101或anana1an為遞減數(shù)列；q 為常數(shù)列； 為擺動數(shù)列。n1a1qn 1,nm如果在 a與 b 中間插入一個數(shù)G 使 a,G,b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a與b 的等比中 項。如果

6、 G 是 a與b 的等比中項，那么 G b,即G2 =ab,因此 G= ab ；只有同號的兩 aG個數(shù)才有等比中項。一個等比數(shù)列從第 2 項起， 每一項 (有窮數(shù)列的末項除外) 是它的前一項與后一項的等 比中項。5)等比數(shù)列前 n 項和公式當q1時，Sna1 1qa1 anq1q1q當q1時，Snna1.等比數(shù)列前 n 項和公式的特點：當q0,且q1時可以化為Sna1 -a1 nq1q1-q記A= a1 ，那么 Sn A-Aqn或者 Sn A Bq(n A B=0) 1q二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質1. 等差數(shù)列的性質(1)若公差 d 0 ，此數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差 d 0 ，此數(shù)列為遞減數(shù)列

7、；若 d 0，此數(shù) 列為常數(shù)列。(2)有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；特別地 若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的 2 倍。*(3)若 m,n,p,k N*,且m n p k,則am an ap ak ，特別地若 m n 2p,則 am an 2ap 此條性質可推廣到多項的情形，但要注意等式兩邊下標和相等，并且兩邊和的項數(shù)相同。 (4)等差數(shù)列每隔相同項抽出來的項按照原來的順序排列，構成新數(shù)列依然是等差數(shù)列，但 剩下的項不一定是等差數(shù)列(5)等差數(shù)列連續(xù)幾項之和構成的新數(shù)列依然是等差數(shù)列，即 Sn,S2n Sn,S3n S2n,L 是等差數(shù)列。(6)若數(shù)列 an

8、和數(shù)列 bn 是等差數(shù)列， 則m an kbn 也是等差數(shù)列， 其中 m,k 為常數(shù)。(7)項數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列 an ，有S2nn a1 a2nL n anan 1S奇 =nd;an .an 1an ，有S2n 12n 1 anS偶奇 =anS奇nS偶n 1.項數(shù)為奇數(shù) 2n 1 的等差數(shù)列2. 等比數(shù)列的性質(1)單調性(2) 有窮等比數(shù)列中 , 與首末兩項等距離的兩項積相等， 并且等于首末兩項之積； 特別地若項 數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的平方。(3)若 m,n,p,k N ,且m n p k,則aman apak ，特別地若 m n 2p,則 aman ap2(4) 等比數(shù)列每隔相同項抽出來的項按照原來的順序排列，構成新數(shù)列依然是等比數(shù)列，但 剩下的項不一定是等比數(shù)列 .(5) an0 , an 皆為等比數(shù)列(6) 等比數(shù)列連續(xù)幾項之和構成的新數(shù)列依然是等比數(shù)列，即Sn,S2n Sn,S3n S2n,等比數(shù)列。為常ma(7) 若數(shù)列 an 和數(shù)列 bn 是等比數(shù)列，則 m anbn， n 也是等比數(shù)列，其中 m bn數(shù)。三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法1. 等差數(shù)列的判定方法(1) 定義法 :an an 1 dan 是等差數(shù)列；(2)通項公式法 : an=pn qan 是等差數(shù)列；(3) 中項公式法 : 2an 1=an an