關(guān)于銀行貸款問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)

1、目錄 摘要 11. 問(wèn)題重述 22. 問(wèn)題分析 23. 模型假設(shè) 24. 符號(hào)說(shuō)明 25. 模型建立與求解 3 5.1建立模型 3 5.1.1每月等額本息還款法 3 5.1.2利隨本清等本不等息還款法 3 5.1.3等本等息等額還款法 4 5.2建立模型 4 5.2.1每月等額本息還款法 4 5.2.2利隨本清等本不等息還款法 4 5.2.3等本等息等額還款法 5 5.3模型求解 5 5.3.1問(wèn)題1 5 5.3.2問(wèn)題2 5 5.5.3問(wèn)題3 66. 模型評(píng)價(jià)與推廣 97. 參考文獻(xiàn) 98. 附錄 10 關(guān)于貸款問(wèn)題的研究 數(shù)學(xué)系 ： 米甜 曹瑛 羅義梅 摘 要隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，我國(guó)國(guó)民生

2、產(chǎn)總值也在不斷提高，人們?nèi)找嬖鲩L(zhǎng)的物質(zhì)需求也不斷升高，可是對(duì)于大部分人來(lái)說(shuō)，要想完成一些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，需要向銀行貸款，比如貸款創(chuàng)業(yè)、貸款買房、貸款買車等等，但是貸款利息及每月還款額是怎樣計(jì)算的呢?如果假設(shè)采用等額貸款，若一直貸款總額、月利率、總額貸款時(shí)間，如何計(jì)算每月還款呢？更一般地，若已知貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間、每月還款額這四個(gè)變量中的任意三個(gè)，能否求出另一個(gè)呢？本文通過(guò)一個(gè)實(shí)例建立了數(shù)學(xué)模型，它是根據(jù)每月還款之后還欠銀行的錢數(shù)并利用了數(shù)學(xué)歸納法和二分法列出等式，再用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)該等式，從而建立出數(shù)學(xué)模型，并對(duì)它進(jìn)行了深入的分析和研究。模型：對(duì)于問(wèn)題一、二、三各銀行現(xiàn)金貸款問(wèn)題建立

3、還款模型，本模型由貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間這三個(gè)量建立求解每月還款額的模型。通過(guò)建立的模型我們可以知道在貸款時(shí)每個(gè)月的還款額。我們先設(shè)出利率，并列出每個(gè)月還款之后還欠銀行的錢數(shù)，利用采用遞推的思想（數(shù)學(xué)歸納法）總結(jié)出了第個(gè)月還欠銀行的錢數(shù)。利用等比數(shù)列求和公式以及二分法，應(yīng)用matlab7.0軟件得出結(jié)果。 模型：我們建立利息模型，并利用和上面的問(wèn)題相同地思路，得出各種方案的總利息，列表作圖比較各種方案的優(yōu)缺點(diǎn)。在模型的建立過(guò)程中，主要得出以下公式：我們遵循每月等額本息償還法，并利用現(xiàn)金貸款問(wèn)題的思想和方法，最終得到每月還款額的計(jì)算公式： 央行的“利隨本清等本不等息償還法”的每月還款額根據(jù)

4、它的還款原則，我們利用數(shù)學(xué)歸納法得出公式： 針對(duì)市建行的“等本、等息、等額還款法”通過(guò)利隨本清等本不等息償還法，算出總利息，然后平均分配，再將總貸款額平均分配，相加之后得到每月還款額的計(jì)算公式： 本文最大的優(yōu)點(diǎn)在于建立的模型目標(biāo)明確，便于解決問(wèn)題。我們利用數(shù)學(xué)上常用的方法和思想，針對(duì)每一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究和分析，并且得出在利率和總貸款額及貸款時(shí)間相等的情況下，出現(xiàn)還款總額不一樣的現(xiàn)象的原因，并針對(duì)不同貸款方法列表和作圖進(jìn)行清晰的比較，得出它們的優(yōu)缺點(diǎn)，能為大家在貸款問(wèn)題上提供一些幫助，讓廣大群眾可以根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇適合自己的還款方式。關(guān)鍵詞：銀行貸款 還款方式 二分法 數(shù)學(xué)歸納法 1

5、、問(wèn)題重述 現(xiàn)代社會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)，經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高，人們的經(jīng)濟(jì)需求越來(lái)越高。越來(lái)越多的工薪階層都在以銀行貸款。貸款時(shí)人們普遍的心理是想弄清楚其中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，但很多人卻不知道怎樣計(jì)算這些貸款利率以及每期付款該付多少。對(duì)于貸款的利息及每月貸款額到底該怎樣計(jì)算？若采用等額貸款，已知貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間的情況下，我們?cè)撊绾斡?jì)算每月還款額呢？更一般的情況下，在已知貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間，每月還款額這四個(gè)變量中的任意三個(gè)，就能計(jì)算出另一個(gè)，若能求出，該如何求呢？是否在利率、總貸款時(shí)間和總貸款金額都一樣的情況下，每月還款額也一樣呢？2、問(wèn)題分析由于現(xiàn)代人們生活質(zhì)量不斷上升，人們經(jīng)常需

6、要利用貸款來(lái)進(jìn)行一些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，所以關(guān)于貸款的利息以及每月還款額是必須考慮的，對(duì)于某銀行低息現(xiàn)金貸款廣告問(wèn)題，已知總貸款額、貸款時(shí)間、每月還款額，為了計(jì)算銀行月利率，我們需要找到一個(gè)方法，設(shè)出未知量并建立等式。對(duì)于問(wèn)題一已知貸款額、年利率、貸款時(shí)間，為了計(jì)算月還款額，我們需要知道每月還款之后還欠銀行的金額，并利用最后一個(gè)月還清之后的欠款金額為零，可以列出等式，進(jìn)而解出月還款額。對(duì)另一家公司的方案，我們?nèi)岳蒙鲜鏊枷虢⒛Ｐ瓦M(jìn)而分析出這家銀行是否會(huì)賺錢以及能提前多少時(shí)間還清貸款。對(duì)于問(wèn)題二我們針對(duì)三種不同的貸款方式進(jìn)行分析，根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到三種貸款方式的月還款額的計(jì)算方法。并且需要對(duì)這三種問(wèn)題進(jìn)行

7、比較，從而需要得出合適的結(jié)論，使廣大群眾能夠清楚的理解這三種貸款方式的利弊，從而對(duì)廣大群眾貸款提供幫助。3、模型假設(shè) 基于對(duì)前面問(wèn)題的分析，我們做出如下的假設(shè):3.1.在貸款期間銀行利率保持不變；3.2.在貸款期間貸款人有能力償還每月還款額；3.3.在貸款期間貸款人能按時(shí)償還每月貸款額，不會(huì)拖欠；3.4.在這段時(shí)間內(nèi)不考慮經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的影響。4、符號(hào)說(shuō)明 : 每月還款額 ：月利率 ：總貸款額 ：總利息 ：第期結(jié)束時(shí)還欠的借款 ：總共借款個(gè)月 ：公積金貸款的月利率 ：商業(yè)性貸款的月利率 ：公積金貸款的每月還款額 ：商業(yè)性貸款的每月還款額 ：第個(gè)月還款額 ：第個(gè)月的利息為 : 第個(gè)月還了之后還欠銀行的

8、金額，顯然有 5.模型建立與求解 從所要解決的問(wèn)題和所作的假設(shè)出發(fā)，我們建立了兩個(gè)模型。模型 還款模型本模型由貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間這三個(gè)量建立求解每月還款額的模型。通過(guò)建立的模型我們可以知道在貸款時(shí)每個(gè)月的還款額。模型 最優(yōu)化模型本模型綜合考慮各種因素，在固定總貸款額、利率、總貸款期數(shù)不變的情況下，建立總還款額最少（即總利息最少）的模型，并分析等額本息還款法、利隨本清等本不等息還款法、等本等息等額還款法這三種還款方式的利弊，提供給貸款者更適合自己的還款方式。5.1建立模型由于各種貸款方式的不同，決定了我們?cè)谟?jì)算月還款額的方法也不通，下面進(jìn)行分析：5.1.1每月等額本息還款法 先還利息后

9、還本金，每個(gè)月還的本金在逐漸增多，每個(gè)月還的利息在逐漸減少，但每月還款額相同。 第1月還款后還欠的借款: 第2月還款后還欠的借款： 第月還款后還欠的借款: 其數(shù)學(xué)模型 ， 利用數(shù)學(xué)歸納法和等比級(jí)數(shù)求解公式可求解 得到 從可得 從中可以解得時(shí)的， 其中 為每月等額本息還款法的每月還款額5.1.2利隨本清等本不等息還款法 每月還款的本金相同，利息不等，每月還款額=每月所還本金+每月所還利息，則每月還款額不等。每月所還本金為第一個(gè)月還利息：第二個(gè)月還利息： 第個(gè)月還利息：則第個(gè)月還款額為 5.1.3等本等息等額還款法 每個(gè)月還的本金相同，每個(gè)月還的利息相等，則每個(gè)月還款額相等，本方法相當(dāng)于把利隨本清

10、還款法的總利息均分到每一個(gè)月。由5.1.2中利息的計(jì)算方法得 總利息 年均利息為每月所還本金為則 每月的還款額為 5.2 建立模型5.2.1等額本息還款法第1個(gè)月的利息：第2個(gè)月的利息：第3個(gè)月的利息： 第個(gè)月的利息：其數(shù)學(xué)模型 ， 總利息為 5.2.2利隨本清等本不等息償還法 由式可知 總利息 5.2.3等本等息等額還款法 總利息 比較上述三種還款法的總利息就可得出哪種方法最優(yōu)。5.3 模型求解 5.3.1問(wèn)題1. 某銀行低息現(xiàn)金貸款廣告問(wèn)題，此貸款用的是每期等額本息還款法，因?yàn)橐呀?jīng)知道了總貸款額、總貸款時(shí)間、和每月還款額，需要求月利率。把,，代入得 要求解方程才可求解出由我們對(duì)利率的了解，

11、利率一般是大于小于的。令 （顯然是連續(xù)函數(shù)，而且有，其中） 由二分法有下表： 0-0.2 0.1 +0 -0.05 0.025 +0 -0.025 0.0125 +0 -0.0125 0.00625 -0.00625 -0.0125 0.09375 +0.00625 -0.09375 0.0078125 -0.0078125 -0.09375 0.0085938 -0.0085938 -0.09375 0.0089844 -0.0089844 -0.09375 0.0091797 +0.0089844 -0.0091797 0.0090821 -0.0090821 -0.0091797 0.0

12、091309 -0.0091309 -0.0091797 0.0091553 - 銀行的貸款月利率為. 5.3.2問(wèn)題2. .本題用的是每期等額還款法，本題是已知總貸款額、總貸款時(shí)間、年利率，需要求解每月還款額。把,由年利率為有:月利率，代入 中得每月還款額： 解之得： （美元）甲每月大概還美元。 .對(duì)于另一家公司，我們有半個(gè)月為一期，而且已經(jīng)知道了總貸款額、月利率、每半個(gè)月還款額（因?yàn)檫@里是半個(gè)月為一期),需求總貸款時(shí)間的問(wèn)題。 由得：可以解得： 把,由年利率為有:月利率每一期的利率為，代入 中可得：還款期 （月）提前還款時(shí)間為：（年）所以另一家公司仍然可以賺錢，相對(duì)于讓甲還年來(lái)說(shuō)，此公司可

13、以多賺兩年的錢，即（美元）5.3.3問(wèn)題3. .對(duì)于省建行的“每月等額本息償還法”中，我們已將知道總貸款額、總貸款時(shí)間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。要知道月還款額，首先需要知道月利率。對(duì)于公積金貸款：把，代入中有： 同樣令 (顯然它也是連續(xù)函數(shù)，并且有，其中) 仍可由二分法有下表： 0 -0.2 0.1 0 -0.1 0.05 0 -0.05 0.025 0 -0.025 0.0125 0 -0.0125 0.00625 0 -0.00625 0.003125 -0.0031250 -0.00625 0.0046875 -0.0046875 -0.00625 0.0054687 0.0

14、046875 -0.0054688 0.0050781 0.0046875 -0.0050781 0.0048828 0.0046875 -0.0048828 0.0047852 0.0046875 -0.0047825 0.0047363 0.0046875 -0.0047363 0.0047119 -0.0047119 -0.0047363 0.0047241 -0.0047241 -0.0047363 0.0047302 0.0047241 -0.0047302 0.0047272 0.0047241 -0.0047272 0.0047256 0.0047241 -0.0047256 0

15、.0047248 由此可得 .同理對(duì)于商業(yè)性貸款也可用上述方法先有，令用二分法可求得： .現(xiàn)在再將，代入中有： （元）同樣將，代入中有: (元)省建行的每月還款額為（元）. .對(duì)于央行推出的“利隨本清等本不等息償還法”中，我們已經(jīng)知道了總貸款額、總貸款時(shí)間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。由模型中的5.1.2我們能推得： 即：每月還款額=（貸款本金貸款期月數(shù)）+（本金-已還本金累計(jì)額）月利率還款總額為 (用到了等差級(jí)數(shù)求和公式）由5.2.2知市建行總利息為公積金貸款的總利息為（元）商業(yè)性貸款的總利息為（元）兩類貸款的總利息為（元）對(duì)省建行兩類貸款的總利息為（元）兩建行的總還款差為（元）這個(gè)

16、結(jié)果很接近元. .對(duì)于市建行的“等本、等息、等額還款法”我們已知總貸款額、總貸款時(shí)間、和一定的月利率，需要求解每月還款額。由模型中的5.1.3可得出它的還款法為每月還款額 .這三種還款方式的不同之處及利弊比較： 等額本息還款法：這是目前最為普遍，也是大部分銀行長(zhǎng)期推薦的方式，先還利息再還本金。作為還款人，每個(gè)月還給銀行固定金額，所以計(jì)算比較方便，但這種還款方式每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。采用這種還款方式，它的特點(diǎn)是：每月還相同的數(shù)額，作為貸款人，操作相對(duì)簡(jiǎn)單。尤其是收入處于穩(wěn)定狀態(tài)的家庭，經(jīng)濟(jì)條件不允許前期投入過(guò)大，可以選擇這種方式。公務(wù)員、教師等職業(yè)屬于收入相對(duì)穩(wěn)定的群

17、體，很適合這種還款方式。但是，它也有缺陷，由于利息不會(huì)隨本金數(shù)額歸還而減少，銀行資金占用時(shí)間長(zhǎng)，還款總利息較大，利息總支出也幾乎是所有還款方式中最高的。 利隨本清等本不等息還款法：貸款人將本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，但是每個(gè)月的利息不同，計(jì)算比較麻煩。但這種還款方式相對(duì)等額本息而言，總的利息支出較低，是可以節(jié)省大量利息支出，它的特點(diǎn)是：前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減。使用利隨本清還款，開(kāi)始時(shí)每月負(fù)擔(dān)比等額本息重。尤其是在貸款總額比較大的情況下，相差可能達(dá)千元。但是，隨著時(shí)間推移，還款負(fù)擔(dān)逐漸減輕。這種方式很適合目前收入較高，但是已經(jīng)預(yù)計(jì)到將來(lái)收入會(huì)減少的人群。實(shí)際上，很多中年以上的人群，經(jīng)

18、過(guò)一斷時(shí)間事業(yè)打拼，有一定的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)，考慮到年紀(jì)漸長(zhǎng)，收入可能隨著退休等其他因素減少，就可以選擇這種方式進(jìn)行還款。 等本、等息、等額還款法：是將本金和總利息都取平均值，即把它們平攤到每個(gè)月中，計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單，這種還款方式的特點(diǎn)是：平均每一個(gè)月所還的本金和利息都相等，即每月還款額也是一定的，它也適用于收入較穩(wěn)定的人群，因?yàn)樗總€(gè)月的還款數(shù)是一個(gè)常數(shù)，而且在同樣的前提條件下，總利息較少。 .根據(jù)以上的分析，我們將數(shù)據(jù)代入可得下表：（圖見(jiàn)附錄）名稱省建行公積金省建行商業(yè)基金央行公積金央行商業(yè)基金市建行公積金市建行商業(yè)基金108209.45694.7803.5444638.6493634.49444

19、81.8420204201.42937.8782.5444619.1701634.4944481.8420302866.42020.1761.5444599.6910634.4944481.8420402199.71562.1740.5444580.2118634.4944481.8420501800.21288.1719.5444560.7326634.4944481.8420601534.41106698.5444541.2535634.4944481.8420701344.9976.483677.5444521.7743634.4944481.8420801203.2879.792365

20、6.5444502.2951634.4944481.8420901093.3804.9901635.5444482.8160634.4944481.84201001005.7745.5078614.5444463.3368634.4944481.8420110934.2504697.1648593.5444443.8576634.4944481.8420120874.9646657.1736572.5444424.3785634.4944481.8420130825.0209623.6046551.5444404.8993634.4944481.8420140782.4163595.07895

21、30.5444385.4201634.4944481.8420150745.6820570.5856509.5444365.9410634.4944481.8420160713.7160549.3660488.5444346.4618634.4944481.8420170685.6758530.8400467.5444326.9826634.4944481.8420180660.9060514.5562446.5444307.5035634.4944481.8420 根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，我們可以很清楚的了解到每一種方案的每月還款額的變化趨勢(shì)。從而可以根據(jù)自己現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)狀況選擇最適合自己的方案進(jìn)行還

22、款。 三種還款方式不存在劃算不劃算的問(wèn)題，而是要看是否適合自己的經(jīng)濟(jì)狀況。選擇還款方式的關(guān)鍵是要與自己的收入趨勢(shì)相匹配，盡量使收入和供款相一致。 如何選擇適合自己的方式，并且需要考慮下面幾個(gè)方面： 要考慮現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)實(shí)力。 借款人在完成購(gòu)房首期付款后，如果還剩有一定積蓄，且在一段時(shí)期內(nèi)沒(méi)有合適的投向、用途或投資理財(cái)能力欠強(qiáng)，那么專家提議可選擇“本金法”。充足的積蓄既可以自如應(yīng)付還款前期較大的壓力，又可降低借款的利息支出，好處看得見(jiàn)。對(duì)于一些臨近退休收入遞減的中老年職工家庭，這是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。 要把握未來(lái)收入預(yù)期。 長(zhǎng)期穩(wěn)定的職業(yè)是保障穩(wěn)定收入的基礎(chǔ)，由于“本息法”前期還款壓力較小，更適合于就業(yè)時(shí)間短、收入處于上升期的年輕人。而且，由于每個(gè)月還款金額是固定的，在借款人家庭收入相對(duì)固定的情況下，一般不會(huì)感到太大的壓力。 要合理設(shè)定還款期限。 借款期限長(zhǎng)意味著還款總額高，但月還數(shù)額小又降低還款壓力。對(duì)青年家