專題橢圓的離心率解法大全

1、WORD格式.資料專題：橢圓的離心率，利用定義求橢圓的離心率e =-或- i )ala丿1，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率 e =,32專業(yè).整理222，橢圓=1的離心率為4m解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),.4 - m2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m-415 丁16m -，3綜上m 或333,已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是4，已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m n，mn成等比數(shù)列，則橢圓尸2，橢圓n =42n =2m n解析由n2 = m2 n 二mn式02 2=1的離心率為m n2 2務(wù)每=1的的離心率為m n5,已知 丄=1(m0. n .0)則當(dāng)mn取得最小值時(shí)，

2、橢圓m n2 2Xy6,設(shè)橢圓 亍=1 (a b0)的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為11,若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)ab1距離，則橢圓的離心率是一。2，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率e1,在Rt ABC中， A =90 , AB二AC =1，如果一個(gè)橢圓過(guò) A B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 C,另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，求這個(gè)橢圓的離心率e二.6 - .32,如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn)，直線AB1與BF交于D,且/ BDB1 則橢圓的離心率為()解析b (_b) _ T 二 a2 _ c2 = ac 二 e = 5-a c2M N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1,直線3,以橢圓的右焦

3、點(diǎn) F2為圓心作圓，使該圓過(guò)橢圓的中心并且與橢圓交于MF與圓相切，則橢圓的離心率是,3 -1變式(1):以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過(guò)橢圓的中心I MFI = I MO，則橢圓的離心率是2 2x y4,橢圓 尹 + -=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為橢圓的離心率e?Fi、F2，以FlF2為邊作正三角形，O并且與橢圓交于M N兩點(diǎn)，如果若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則解：TI F1F2 I =2c I BF1 I =c I BF2 I = 3c c+2 2Xy變式(1):橢圓 君 + b=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 F1、 寸3c=2a - - e= aF2，點(diǎn)P在橢圓上，使厶OPF為正三角

4、形，求橢圓離心率?解：連接 PF2 ,貝,OF I = I OF I = I OP| , / F1PF2 =902 2x y變式(2) 橢圓-ar + b丁=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1、PF2 / AB,求橢圓離心率？b2PF1 I = I F2 F1 I =2c I OB I =b I OA I =a ae=-5將上題中的條件“ PF2 / AB”變換為“ PO / 2-2. a =5c變式(3):圖形如上圖，e= 3-1F2 , AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 PF丄X軸,PF 2 / AB .1 = I F2 F1 I a又/ b=/a2-c 2AB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))”2 2x

5、y相似題：橢圓廠+ 2-=1(ab 0) , A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，a b解 ：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I ABa2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 兩邊同除以 a2B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，/ABF=90，求 e?2+e-仁0 e= -1 + 2 5 e= =2(舍去)22廠變式(1)：橢圓才 + yb=1(ab 0) , e= 1 + 2 5 , A 是左頂點(diǎn),F是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求/ ABF?點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問(wèn)題。答案：90引申：此類e=2=

6、的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：(1)/ ABF=90(2) 假設(shè)下端點(diǎn)為 B ,則ABFB四點(diǎn)共圓。(3) 焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。變式(2):2 2橢圓x . y =1(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)為 A、B C、D,若四邊形 ABCD勺內(nèi)切圓恰好過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則 a2 b2橢圓的離心率e=提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于c,又等于直角三角形AOB斜邊上的高，.由面積得：ab二r. a2b2,但r =c2 24,設(shè)橢圓筈與=1(a .b V)的左、右焦點(diǎn)分別為 R、F2，如果橢圓上存在點(diǎn) 卩，使F1PF2 -90，求離心率e a2 b2的取值范圍。解：設(shè) Px,y ,F1 -c,0 , F2

7、 c,0法1:利用橢圓范圍。由RP_F2P得x2 y2 =c2，將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,可解得x2a2c2 _a2b2a2(c2a2)a2 -b2由橢圓的性質(zhì)知0乞x2 : a2，得以e 三,1) o2附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍(與法1類似)法2:判別式法。由橢圓定義知 | PF11 | PF21 = 2a = | PF112 -1 PF2|2 - 2| PF1 |PF21 = 4a2，又因?yàn)镕fF290 ，可得 I PF1I2 - | PF2 I2=| F1F2 I2=4c2，則 I PF1 II PF2 I=2(a2 -c2) =2b2，二PF1， PF2是方程z

8、2 -2az 2b2 =0的兩個(gè)根，U A = 4a2 -8(a2-c2) _0 =e22 c 2 a1旨一二2解法3:正弦定理設(shè)記.PF1F .IPF1 |PF 一由正弦定理有sin!IF1F2Isin :sin 90 I PF1 | | PF21sin：亠sin := IF1F2 I又因?yàn)?I | - | PF2 | = 2a, I 耳 F2 |= 2c，且?-90 則g si cos；：2si nc1)4ji0 :2二二 3 二， a + b 0)的兩焦點(diǎn)為點(diǎn)，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求橢圓的離心率 分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。I F1F2 |I F1P

9、I解：由正弦定理：sin丹sin F 1F2PPF2sin PF1F2根據(jù)和比性質(zhì):丨F1F2丨=sin F iPF =I FiP | + | PF2 IsinF 1F2P+S in PF 1F2變形得:I F1F2 |I PF. | + | FiP |sin F 1PF2sin F 1F2P +si n PF1F22c二=e2ae=/ PF1F2 =75 Z PF2F1 =15sin 90=寸6sin75 +sin15 3點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知sin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2變式：橢圓2 2討 + =1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1(

10、-c, 0)、F2 (c,0) , P 是橢圓上一點(diǎn)，且Z F1PF2 =60，求橢圓離心率e的取值范圍？ 分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)Z F1F2P=a，則Z F2F1P=120 - a1 11。 w e12sin( a +30 ) 22e=sin F 1PF= sin60 =sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 - a )22xv變式(3):過(guò)橢圓r 2 =1( a b 0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P , F2為右焦點(diǎn)，若ab-F1PF2 =60，則橢圓的離心率e的值K解析：因?yàn)镻(-c, 士一)a，再由.F1PF2 = 60有空二2a,從而

11、得e = c 3aa 3變式：若代B為橢圓占十b 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使 AQ12。0，求此橢圓離心率的最小值。丄 豈e ： 13x22變式：8、橢圓-V21 a b 0上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B, F為其右焦點(diǎn)，若a bAF _ BF，設(shè)r ji ji ABF，且：五，4，則橢圓的離心率的取值范圍為AFBF為平行四邊形且為矩形,AF =2csin ： , BF =2ccos： , 2csin 二 11 Necos： = 2a ,所以e = asiw+c。曲應(yīng)sin 4I Tt Tt a I_12 4Ze。23解析：設(shè)F 為橢圓左焦點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)角線互相平分，所以四邊形6,如圖，在

12、平面直角坐標(biāo)系 xoy中，A2, B1, B2為橢圓22 a焦點(diǎn)，直線AB2與直線EF相交于點(diǎn)t,線段OT與橢圓的交點(diǎn) 圓的離心率為WORD格式.資料=1 ,專業(yè).整理直線A1B2的方程為 -1，直線B1F的方程為-a b 丄=1 ，兩式聯(lián)立得T的坐標(biāo),b(a c), c -ba-c a-c所以中點(diǎn) M的坐標(biāo)為acb(a c)2(a-c)丿，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，代人方程得 4c2 (a c)2 = 4 a - c 22e210e -3=0* 0,12 27，橢圓a+-的取值范圍？分析： MF - MF =0 .以F1F2為直徑作圓,解： cb 0)的兩焦點(diǎn)為,畫圖可知點(diǎn) M的軌跡是以2.222

13、Va =b +c 2c 0eb 0)恰過(guò)F2點(diǎn)，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找 思路2:根據(jù)圖形中的邊長(zhǎng)之間的不等關(guān)系，求2x8,橢圓弋a(chǎn)的兩焦點(diǎn)為Fi(-c , 0)、F2 (c,0) , P為右準(zhǔn)線2ax= 上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線c解法一:b2既(2T，竺)2丿2b2T-c，2ME =-(a、b、c的不等關(guān)系。e2F1(-c , 0) F 2 (c,0) P(2 f a貝 y PF1 =-(+c, yc2a,y 0 ) cM(a(-+c)-(b22T-c)+0 )2PF1 ME =0(旦+c,c2y022=0a -3c 一 c2a| PF? |

14、-cc2 a2 則二3 eb 0)，過(guò)左焦點(diǎn)2x10，橢圓ra橢圓的離心率e的值解：設(shè) | BF1 | =m 貝U| AF | =2a-am |Fi且傾斜角為60的直線交橢圓與 AB兩點(diǎn)，若丨FiA | =2 | BFi | ,求在厶AFF2及厶BF1F2中，由余弦定理得:| =2a-m-c2=m(2a-c)2 22(a -c )=m(2a+c)BF2f 2Ja:2ac 12兩式相除：+T =廠e=3練習(xí)題:2 21,橢圓篤 爲(wèi)-1(a b 0)上有一點(diǎn)b解析：M Fi,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF 1 MF2二2b2，求橢圓的離心率.由橢圓的定義，可得 MF j + MF2 =2a又MF 1

15、 MF2=2b2 ,所以 MF 1 ,MF2是方程2 2 2 2x -2ax 2b =0 的兩根，由& =(-2a) -4 2b22-0,可得 a -2b ,2 2 2即a - 2(c -a )所以ce =一a所以橢圓離心率的取值范圍是,1)2f32,在厶 ABC 中，A=90”, tanB 若以 A,4AB 解析AB =4k, AC =3k,BC =5k,e 二AC +BCB為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)c,則該橢圓的離心率23,已知F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若.PF1F2 : PF2F1 :. F1PF2 =1:2:3,貝毗橢圓的離心率 為-解析.3 -1三角形三邊的比是1:、.3:

16、24,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓作圓的兩切線互相垂直，則離心率a2廠逅解析 一 2a = e =c222xy22 = 1(abe =a b 0)的焦距為2，以o為圓心，a為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)2a,0c5,在厶ABC 中，A =30,| AB|=2,S ABC = .3 若以A B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，則該橢圓的離心率【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率1S abc 二? 1 AB Z AC 1 sin A = . 3.| AC |=2 .3|BC h ,1 AB 廠I AC |訂2 | ABAC |cosA = 2_T3i| AC| |BC2、3 2 _2-|AB|26,已知橢

17、圓2 =1(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi i c,0 , F2 c,0，若橢圓上存在一點(diǎn)P使a b則該橢圓的離心率的取值范圍為sin PF1F2sin PF2F1解析在樣1F2中，由正弦定理得為;PFisinPF2F1，則由已知，得a c ，即 aPF1 cPF2PF2 PF1cPF2|-|PF2=2a，=cPF2，由橢圓的定義知a22，由解法三知 ca ： PF2 = 2 ： a c二21 ： e ：1 橢圓的離心率5 21,1。c ac a2 27,已知橢圓M :篤 2 -1(a b，0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi j c,0 , F2 i c,0 j, P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且PFLPF2a bPFi即 PF2 二PF +PF2 =2a ,a2*22“2小22一21.,2c _a c 3c = 2c a 4ce -2/ 2 、ab0)的焦距為2,以0為圓心，a為半徑作圓，過(guò)點(diǎn) ,0作 ce = 1，右焦點(diǎn)為F (c,0)，方程ax2 bx - c = 0的兩個(gè)實(shí)根分別2，其中c = .a2 -b