231平面向量基本定理、正交分解與坐標(biāo)表示

1、:力力學(xué)學(xué)中中力力的的分分解解F1F2F 引入引入探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：給定平面內(nèi)任意兩個向量給定平面內(nèi)任意兩個向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2.,2121之間的關(guān)系與試探究一平面的任一向量是這線的向量是同一平面內(nèi)兩個不共設(shè)eeaaeeOABCMNa1e2e 新課新課1e2e1 1e22e .eea2211 a平面向量基本定理平面向量基本

2、定理: : 有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù) 、 使使21向量，那么對于這一平面內(nèi)的任向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量一向量 如果如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個不是同一平面內(nèi)的兩個不共線共線2e1e這一平面內(nèi)所有向量的一組這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底。我們把不共線的向量我們把不共線的向量 、 叫做表示叫做表示1e2e1 12 2aeea研究更一般的情況研究更一般的情況(4)基底基底 給定時，分解形式唯一給定時，分解形式唯一. 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 1 12 2aee探究：探究：(1)我們把我們把不共線不共線向量向量 、 叫做表示這一叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；平

3、面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量由定理可將任一向量 在給出基底在給出基底 、 的條件下進行分解；的條件下進行分解；1e2e1e2e1e2e12, aa是由是由 、 、 唯一確定的數(shù)量唯一確定的數(shù)量平面向量基本定理平面向量基本定理 1 12 2aee探究：探究：（5 5）一組平面向量的基底有多少對？）一組平面向量的基底有多少對？（有無數(shù)對）（有無數(shù)對） (6)若基底選取不同，則表示同一向量的實若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)數(shù) 、 是否相同？是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）(7)特別的，

4、若特別的，若 a = 0 ，則有且只有，則有且只有 ：21= 012000ee (8)特別的，若特別的，若 與與 共線，則有，共線，則有，1ea2 20 01 121 10aeee 使得使得:你理解定理了嗎？1.判斷下列說法是否正確：A、一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；B、一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；C C、零向量不可為基底中的向量。2.設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩對角線交點，下列向量組：AD與AB；DA與BC；CA與DC；OD與OB。其中可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是?的值和求，且，如果ktbaeekbete

5、a21213. 3，K=1,t=-3例例1.已知向量已知向量e1,e2，求作向量，求作向量-2.5e1+3e2作法作法:1、任取一點、任取一點O,作作 .eOB,e.OA21352 1e2eOABC2、作、作 OACB.12.5e23e OC3、 就是求作的向量就是求作的向量例例2 如圖，如圖， 、 不共線，不共線， ， 用用 、 , 表示表示 .OA OB APtAB )(RtOA OB OP OABP解：解：APtAB OPOAAP ABtOA()OA t AO OB OAtOAtOB OBtOAt)1 ( 例例3 3 ABCD ABCD中，中，E E、F F分別是分別是DCDC和和ABA

6、B的中點，的中點，試判斷試判斷AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FBADCE解：2e1e12,ABe ADe 取基底取基底則有則有AEADDE 2112eeFCFBBC 1212eeAE /AEFC 共線，又無公共點共線，又無公共點,AE FC /AEFCFs OABFS 我們學(xué)過功的概念，即一個物體在我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s(如圖如圖):向量的夾角.使兩個向量的起點重合, 0_;,0) 1 (ba與時當(dāng)_;,)2(ba與時當(dāng)._,2)3(ba與時當(dāng)同向反向垂直ab平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，把一

7、個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解叫作把向量正交分解探索探索1:以以O(shè)為起點，為起點， P 為終點的向量能為終點的向量能否用坐標(biāo)表示？如何表示？否用坐標(biāo)表示？如何表示？oPxya），（ 23），（ 234321-1-2-3-2246ij），（ 23P3 2OPij O3i2j(3,2)4321-1-2-3-2246ij），（yxPO P xi yj 向量的坐標(biāo)表示O向量向量 P（x ，y）一一 一一 對對 應(yīng)應(yīng)O P ( , )xyyjxi 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點不在坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點不在坐標(biāo)原點原點O的向量如何用坐標(biāo)來表示的向量如何用坐標(biāo)來表示?探索探索2: Ao

8、xyaa 可通過向量的可通過向量的平移，將向量的起點平移，將向量的起點移到坐標(biāo)的原點移到坐標(biāo)的原點O處處. 解決方案解決方案: :OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j ABCDoxyija平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示 +aaijxyxy 對 對于于該該平平面面內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量 ， ，有有且且只只有有一一對對實實數(shù)數(shù) 、 ，可可使使 這里，我們把（這里，我們把（x,y）叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作）叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作a( , )ax y 其中，其中，x叫做叫做 在在x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)，y叫做叫做 在在y軸上軸上的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示。式叫做向量的坐標(biāo)表示。aa 如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方軸方向相同的單位向量，若以向相同的單位向量，若以 為基為基底，則底，則, i j , i j :向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示xyoijajyixa )y,x(a _;i )( 1_;j )( 2._)( 03(1,0)(0,1)(0,0)例例1.如圖，分別用基底如圖，分別用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它們的坐標(biāo)。它們的坐標(biāo)。ijabcd AA1A2解：如圖可知解：如圖可知122