高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包課件

1、高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包第十一章第十一章積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)區(qū) 間間 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包第一節(jié)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長的曲線積分 第十一章 高等數(shù)學(xué)

2、ACH111軟件外包1.引例引例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量1、分割、分割), 2 , 1(nisnLi 個(gè)個(gè)子子弧弧段段任任意意分分成成將將,),(iiis 任任取取.),(iiiisM .),(1 niiiisM .),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值個(gè)個(gè)子子弧弧段段的的長長度度表表示示第第isi 2、近似、近似3、求和、求和4、取極限、取極限0 is 一、對(duì)弧長的曲線積分的概念一、對(duì)弧長的曲線積分的概念),(yx 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包,),(,),(,),(,.,.)

3、,(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并并作作和和作作乘乘積積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)小小段段上上任任意意取取定定的的一一為為第第又又個(gè)個(gè)小小段段的的長長度度為為設(shè)設(shè)第第個(gè)個(gè)小小段段分分成成把把上上的的點(diǎn)點(diǎn)用用上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)面面內(nèi)內(nèi)一一條條光光滑滑曲曲線線弧弧為為設(shè)設(shè)2.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L,0這和的極限存在這和的極限存在時(shí)時(shí)若當(dāng)各小弧長的最大值若當(dāng)各小弧長的最大值 .),(lim),(,),(,),(10 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即記作記作第一類曲線積分第一類曲線積分積分或積分或上對(duì)弧長

4、的曲線上對(duì)弧長的曲線在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包.),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式1.推廣推廣曲曲線線積積分分為為上上對(duì)對(duì)弧弧長長的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf .),(),(.2 LdsyxfLyxf記記為為上上對(duì)對(duì)弧弧長長的的曲曲線線積積分分在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包.),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 3

5、.存在條件：存在條件：.),(,),(存存在在弧弧長長的的曲曲線線積積分分對(duì)對(duì)上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在光光滑滑曲曲線線弧弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf規(guī)定：規(guī)定：)(,)(21LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf ),(),(),(),(ABLBALdsyxfdsyxf第一類曲線積分與第一類曲線積分與L的方向無關(guān)的方向無關(guān)注意：注意：高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包4. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù))szyxfd),()2( 由 組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧為曲線弧

6、 的長度的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包二、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算二、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算定理定理)()()()(),(),(0)()(,)(),()(),(),(,),(2222 dtttttfdsyxfttttttytxLLyxfL，則則且且具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)上上在在其其中中方方程程為為的的參參數(shù)數(shù)上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)0 基本思路基本思路:計(jì)算定積分計(jì)算定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化求曲線積分求曲線積分xyOxdydsd注意到

7、注意到 22)()(dydxsd tdtt)()(22 x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc )()()()(),(),(22 dtttttfdsyxfL（3）如果方程為）如果方程為極坐標(biāo)極坐標(biāo)

8、形式形式:),()(: rrL則則sdyxfL ),()sin)(,cos)(rrfd)()(22rr高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包(5)可利用區(qū)域?qū)ΨQ與函數(shù)奇偶性化簡一類曲線積分：可利用區(qū)域?qū)ΨQ與函數(shù)奇偶性化簡一類曲線積分： 為為偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若為為奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于若若則則軸軸對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于設(shè)設(shè)分分段段光光滑滑曲曲線線一一類類曲曲線線積積分分)(,),(2)(, 0),(:,)(:1xyfdsyxfxyfdsyxfyxLLL(4)推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf0 y高等數(shù)學(xué)ACH111

9、軟件外包例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLsy其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點(diǎn)與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn)上點(diǎn) O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B.)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包例例2 2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3 3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzaya

10、xxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I)20 , 0(.,sin,cos:, 222 aazayaxdsyxzI的的一一段段其其中中求求練練習(xí)習(xí))328(3a 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包例例4. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包例例5 5 . 0,22222zyxazyxdsxI為為圓圓周周其其中中

11、求求 解解由變量的對(duì)稱性由變量的對(duì)稱性, , 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球球面面大大圓圓周周長長 dsa)0 , 0(.sin,cos:,)( 22 aayaxLdsyxIL的的一一段段其其中中求求練練習(xí)習(xí))(3a 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包三、幾何與物理意義三、幾何與物理意義,),()3(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()1( LdsLyxf弧長弧長時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),(),()2(處處的的高高時(shí)時(shí)柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面

12、面面面積積sL),(yxfz 高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包 對(duì)弧長的曲線積分的概念對(duì)弧長的曲線積分的概念.),(lim),(10iniiiLsfdsyxf .),(lim),(10iniiiisfdszyxf 的的長長度度表表示示曲曲線線 LdsL 幾何意義幾何意義物理意義物理意義 質(zhì)量質(zhì)量小結(jié)小結(jié)對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算(參數(shù)方程，直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系參數(shù)方程，直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系)()()()(),(),()(),(),(:22 dtttttfdsyxfttytxLL.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包計(jì)算法計(jì)算法(將重積分化為累次積分將

13、重積分化為累次積分)二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf （1）直角坐標(biāo)系下）直角坐標(biāo)系下（直線穿刺，擺動(dòng)掃描）（直線穿刺，擺動(dòng)掃描）.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf .)sin,cos()()(21 rdrrrfd,: D).()(21 r（2）極坐標(biāo)系）極坐標(biāo)系（射線穿刺，轉(zhuǎn)動(dòng)掃描）（射線穿刺，轉(zhuǎn)動(dòng)掃描） Ddyxf ),( （X型區(qū)域）型區(qū)域）垂直穿刺，左右擺動(dòng)垂直穿刺，左右擺動(dòng) （Y型區(qū)域）型區(qū)域）水平穿刺，上下擺動(dòng)水平穿刺，上下擺動(dòng)高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包利用對(duì)稱性簡化二重積分的計(jì)算利用對(duì)稱性簡化二重

14、積分的計(jì)算. 的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)是是關(guān)關(guān)于于軸軸對(duì)對(duì)稱稱，則則：關(guān)關(guān)于于、且且設(shè)設(shè)xfxfdxdyyxfdxdyyxfyDDDDDDD0),(2),(,)112121xy 的的奇奇函函數(shù)數(shù)或或關(guān)關(guān)于于是是關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)且且關(guān)關(guān)于于是是關(guān)關(guān)于于軸軸均均對(duì)對(duì)稱稱的的區(qū)區(qū)域域，則則：軸軸、是是關(guān)關(guān)于于設(shè)設(shè)yxfyxfdxdyyxfdxdyyxfyxDDDDDDD0),(4),()214321高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包一一、選選擇擇題題: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(= =( ( ) ) ( (A A) ) 1010),(dxyxfdyx； ( (

15、B B) ) xdxyxfdy1010),(； ( (C C) ) 1010),(dxyxfdy； ( (D D) ) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、設(shè)設(shè)D為為222ayx , ,當(dāng)當(dāng) a( ( ) )時(shí)時(shí), , Ddxdyyxa222. . ( (A A) ) 1 1 ； ( (B B) ) 323 ； ( (C C) ) 343； ( (D D) ) 321 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題DB高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包 3 3、當(dāng)、當(dāng)D是是( )( )圍成的區(qū)域時(shí)圍成的區(qū)域時(shí), ,二重積分二重積分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x軸軸, ,y軸及軸及022 yx；( (B

16、)B)31,21 yx ； (C) (C)x軸軸, ,y軸及軸及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值為的值為( ).( ).其中區(qū)域?yàn)槠渲袇^(qū)域?yàn)镈 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .AA高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包BA高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包 ( (A A) ) 101020zdzrdrdI；( (B B) ) 11020rzdzrdrdI； ( (C C) ) 11020rrdrdzdI； ( (D D) ) zzrdrddzI02010. .BD高等數(shù)學(xué)ACH111軟件外包期末考題期末考題的的值值為為、二二重重積積分分 1221yxxdxdy分分應(yīng)應(yīng)為為在在柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)下下化化為為三三次次積積則則