信號(hào)與系統(tǒng)2008第2章23

1、Signal and system1dtetfFtj)()( deFtftj)(21)(復(fù)習(xí)傅立葉正變換傅立葉反變換Signal and system2第二章第二章 傅立葉變換傅立葉變換2.1 2.1 周期信號(hào)的頻譜分析（傅立葉級(jí)數(shù)）周期信號(hào)的頻譜分析（傅立葉級(jí)數(shù)）2.2 2.2 典型周期信號(hào)的頻譜典型周期信號(hào)的頻譜2.3 2.3 非周期信號(hào)的頻譜（傅立葉變換）非周期信號(hào)的頻譜（傅立葉變換）2.4 2.4 典型非周期信號(hào)的頻譜典型非周期信號(hào)的頻譜2.5 2.5 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)2.6 2.6 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換2.7 2.7 抽樣信號(hào)的頻譜抽樣信號(hào)的頻譜S

2、ignal and system32.4 典型非周期信號(hào)的頻譜典型非周期信號(hào)的頻譜（一）、矩形脈沖信號(hào)（一）、矩形脈沖信號(hào) 0)(Etf2 t2 t)(tft2 2 E )( F)2( SaESignal and system4矩形脈沖的矩形脈沖的幅度頻譜幅度頻譜和和相位頻譜相位頻譜為：為：)()()( jeFF （一）、矩形脈沖信號(hào)（一）、矩形脈沖信號(hào))( F E 2 2 與與周期矩形脈沖周期矩形脈沖（圖（圖2.22d)比較比較cn 01 2 4TE 2 Signal and system5不同：不同：1、 cn的值比的值比F( )的值多乘了系數(shù)的值多乘了系數(shù)T12、 cn式中為不連續(xù)的變量

3、式中為不連續(xù)的變量n 1 ,F( )為連續(xù)變量為連續(xù)變量 相同：相同：1、周期周期矩形脈沖信號(hào)的矩形脈沖信號(hào)的頻譜包絡(luò)線頻譜包絡(luò)線與與非周期非周期 矩形脈沖信號(hào)的矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)曲線頻譜函數(shù)曲線形狀相同形狀相同2、頻譜都具有收斂性頻譜都具有收斂性3、占有頻帶寬度為、占有頻帶寬度為 2（一）、矩形脈沖信號(hào)（一）、矩形脈沖信號(hào)Signal and system6（二）、單邊指數(shù)信號(hào)（二）、單邊指數(shù)信號(hào)0)()( tuetft)(tft10由傅立葉變換公式得由傅立葉變換公式得 dtetfFtj )()( 0dteetjt j 1Signal and system7（二）、單邊指數(shù)信號(hào)（二）、單

4、邊指數(shù)信號(hào)其其幅度頻譜幅度頻譜和和相位頻譜相位頻譜分別為分別為221)( F arctg )()( F 0 1 )( 2 2 0Signal and system8（三）、鐘形脈沖信號(hào)（三）、鐘形脈沖信號(hào)2)()( tEetf E eE)(tft其頻譜函數(shù)為其頻譜函數(shù)為2 24()FEe 其其幅度頻譜幅度頻譜和和相位頻譜相位頻譜為為)()( FF 0)( 鐘形脈沖的鐘形脈沖的頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)也是也是鐘形鐘形Signal and system9下面介紹下面介紹奇異函數(shù)奇異函數(shù)的傅立葉變換的傅立葉變換（四）、單位沖激函數(shù)（四）、單位沖激函數(shù) (t)其傅立葉變換：其傅立葉變換： dtetFtj )(

5、)(1 相位：相位：0)( (1) (t)t1F( ) 單位沖激函數(shù)的單位沖激函數(shù)的頻譜頻譜在整個(gè)頻率范圍內(nèi)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布均勻分布。這種頻譜常稱作這種頻譜常稱作“均勻頻譜均勻頻譜”或或“白色頻譜白色頻譜”Signal and system10（五）、單位階躍函數(shù)（五）、單位階躍函數(shù)u(t) dtetuFtj )()( 0dtetj 當(dāng)當(dāng)T時(shí)，時(shí)，tje 不存在不存在，不能直接用傅立葉變換式，不能直接用傅立葉變換式改用間接法改用間接法u(t)可以看作可以看作單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)在在0時(shí)的情況時(shí)的情況)()()(limlim00tuetftute 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜：的頻

6、譜： jFe 1)()()( eejBA Signal and system11（五）、單位階躍函數(shù)（五）、單位階躍函數(shù)u(t)令令0，分別求上式中的實(shí)部和虛部的極限，分別求上式中的實(shí)部和虛部的極限A( )和和B( )，即，即)(lim)(0 eAA 220lim 00 并且：并且： dA )(20)(1limd|)(lim0 arctg 這說明這說明A( )是一個(gè)沖激函數(shù)，沖激點(diǎn)位于是一個(gè)沖激函數(shù)，沖激點(diǎn)位于 =0處處， 沖激強(qiáng)度為沖激強(qiáng)度為 ，即即)()( ASignal and system12又有：又有：)(lim)(0 eBB 220lim 1 所以，單位階躍函數(shù)的頻譜為：所以，單位

7、階躍函數(shù)的頻譜為：)()()(jBAF j1)( 1)()(F2)(（五）、單位階躍函數(shù)（五）、單位階躍函數(shù)u(t)Signal and system13（六）、符號(hào)函數(shù)（六）、符號(hào)函數(shù)sgn(t) 0101)sgn(ttt或或)()()sgn(tutut 利用階躍函數(shù)的傅立葉變換思想利用階躍函數(shù)的傅立葉變換思想 000lim)(tjttjteeeeF jj11lim0 j2 設(shè)設(shè))()(lim)sgn(0tuetuetttSignal and system14（七）、直流信號(hào)（七）、直流信號(hào) ttf1)(可以看作雙邊指數(shù)函數(shù)可以看作雙邊指數(shù)函數(shù)tetf )(1中中0的極限情況的極限情況)(2

8、)( F)( F)2( )(tf1t可見：在時(shí)域是直流（直線），在頻域是沖激可見：在時(shí)域是直流（直線），在頻域是沖激對(duì)照對(duì)照沖激函數(shù)沖激函數(shù)的傅立葉變換：的傅立葉變換：在時(shí)域是沖激，在時(shí)域是沖激，在頻域是直線在頻域是直線Signal and system152.5 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)（一）（一） 線性（齊次性和迭加性）線性（齊次性和迭加性）若若)()(11 Ftf)()(,22 Ftf則有則有)()()()(22112211 FaFatfatfa Signal and system16（二）（二） 奇偶虛實(shí)性奇偶虛實(shí)性一般情況下一般情況下，F(xiàn)( )是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù)因此可以將因此可

9、以將F( )分成分成模與相位模與相位或或?qū)嵅颗c虛部實(shí)部與虛部兩部分，兩部分， dtetfFtj )()()()(jeF)()( jXR 無論無論f(t)f(t)是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，根據(jù)傅立葉變換可以證明：是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，根據(jù)傅立葉變換可以證明：)()()()()()(*FtfFtfFtfSignal and system17（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性1、f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)一般情況下，一般情況下，信號(hào)信號(hào)f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)( )是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù)因此可以將因此可以將F( )分成分成模與相位模與相位或或?qū)嵅颗c虛部實(shí)部與虛部兩部分，兩部分， dtetfFtj )()( dttjt

10、tf)sin)(cos( tdttfjtdttf sin)(cos)()()( jXR 其中其中 tdttfR cos)()( tdttfX sin)()(Signal and system18 )()()()()()( FFXXRR同時(shí)，可得如下關(guān)系式：同時(shí)，可得如下關(guān)系式： 的偶函數(shù)的偶函數(shù) 的奇函數(shù)的奇函數(shù)于是，于是，22)()()( XRF )()()( RXarctg 的偶函數(shù)的偶函數(shù) 的奇函數(shù)的奇函數(shù)（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性Signal and system19（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性即：即：f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù))( F)( R和和是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)

11、)( X是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)和和)( Signal and system202、f(t)是實(shí)偶函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)即即)()(tftf 0sin)()( tdttfX 0cos)(2)()(tdttfRF f(t)是是實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)，F(xiàn)( )必為必為 的的實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性Signal and system210cos)()( tdttfR 3、f(t)是實(shí)奇函數(shù)是實(shí)奇函數(shù)即即)()(tftf 0sin)(2)()(tdttfjjXF （二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性f(t)是是實(shí)奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)，F(xiàn)( )必為必為 的的虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)Signal and s

12、ystem22（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性4、f(t)是虛函數(shù)時(shí)，是虛函數(shù)時(shí)，此時(shí)此時(shí))()()()(XXRR設(shè)設(shè))()(tjgtf代入傅立葉變換式代入傅立葉變換式)( F是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù))( 是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)若若f(t)f(t)是是虛函數(shù)虛函數(shù)，則，則Signal and system23（三）（三） 時(shí)移特性時(shí)移特性若若)()( Ftf則則)()(00 Fettftj )()(00 Fettftj 可見：可見：信號(hào)在時(shí)域中信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移沿時(shí)間軸右移t0 （延時(shí)（延時(shí)t0），等效），等效于于在頻域中乘以因子在頻域中乘以因子0tje 00)()()(tjtjeFF

13、e Signal and system24例例 2.512.51已知矩形脈沖已知矩形脈沖f1(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù))2/()(1 SaEF 試畫出試畫出)2()(12 tftf的相位頻譜的相位頻譜解：根據(jù)時(shí)移特性，解：根據(jù)時(shí)移特性，212)()( jeFF 2)2( jeSaE （ 三）、時(shí)移特性三）、時(shí)移特性)(1tft2 2 E)(2tft ESignal and system25結(jié)論：結(jié)論：1 1、信號(hào)的、信號(hào)的幅度頻譜幅度頻譜是是由信號(hào)的波形形狀決定由信號(hào)的波形形狀決定的，的， 與信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置無關(guān)；與信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置無關(guān)；2、信號(hào)的、信號(hào)的相位頻譜相位頻譜則是則

14、是由信號(hào)的波形形狀由信號(hào)的波形形狀和和在時(shí)在時(shí) 間軸上出現(xiàn)的位置間軸上出現(xiàn)的位置共同決定的共同決定的（ 三）、時(shí)移特性三）、時(shí)移特性 00)()()(tjtjeFFe 信號(hào)延時(shí)后，其信號(hào)延時(shí)后，其幅度頻譜不變，相位頻譜產(chǎn)生附加幅度頻譜不變，相位頻譜產(chǎn)生附加相位值相位值(- t0)Signal and system26可見，幅度頻譜不變，相位頻譜比原來滯后可見，幅度頻譜不變，相位頻譜比原來滯后2)(1tft2 2 E)(2tft E)(1 2 4 )(2 2 （ 三）、時(shí)移特性三）、時(shí)移特性2)(2)2()( jeSaEF即即Signal and system27（四）（四） 頻移特性頻移特性若

15、若)()( Ftf則則)()(00 Fetftj)()(00 Fetftj把時(shí)域信號(hào)把時(shí)域信號(hào)f(t)乘以因子乘以因子tje0 等效于頻譜等效于頻譜F( )沿沿頻率軸右移頻率軸右移 0這種技術(shù)稱這種技術(shù)稱頻譜搬移頻譜搬移課堂練習(xí)：求課堂練習(xí)：求tjce的傅立葉變換的傅立葉變換)(21)(21ctjceSignal and system28將信號(hào)將信號(hào)f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 就可以就可以引起信號(hào)的頻譜搬移。這個(gè)過程如下：引起信號(hào)的頻譜搬移。這個(gè)過程如下：頻譜搬移頻譜搬移也稱為也稱為信號(hào)的調(diào)制，廣泛應(yīng)用于通信技術(shù)中信號(hào)的調(diào)制，廣泛應(yīng)用于通信技術(shù)中（ 四）、頻移特性四）、頻移特性

16、時(shí)域：時(shí)域：f(t)改變正弦（或余弦）信號(hào)的幅度改變正弦（或余弦）信號(hào)的幅度頻域：頻域：f(t)的頻譜產(chǎn)生平移的頻譜產(chǎn)生平移調(diào)制調(diào)制)()(21cos)(000tjtjetfetfttf根據(jù)歐拉公式，有根據(jù)歐拉公式，有)()(21sin)(000tjtjetfetfjttfSignal and system29設(shè)設(shè)f(t)的頻譜為的頻譜為F( )，利用頻移特性可知，利用頻移特性可知)()(21cos)(000 FFttf)()(21sin)(000 FFjttf可見，將信號(hào)可見，將信號(hào)f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 等效于等效于將將f(t)的頻譜為的頻譜為F( )一分為二，即幅度減

17、小一半，沿一分為二，即幅度減小一半，沿頻率軸頻率軸向左向左和和向右向右各各平移平移 0。（ 四）、頻移特性四）、頻移特性Signal and system30（ 四）、頻移特性四）、頻移特性例例2.5-3求矩形調(diào)幅信號(hào)求矩形調(diào)幅信號(hào)ttGtf0cos)()( 的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)解：已知門函數(shù)解：已知門函數(shù))(tG 的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為)(tG t2 2 E)2()( SaEG 又有又有21)()(00tjtjeetGtf 根據(jù)頻移特性根據(jù)頻移特性)(21)(21)(00 GGF)(221)(22100 SaESaESignal and system31)(tG t2 2 E)( G E

18、2 2 0)(tft2 2 E)( F 2 E00 0 （ 四）、頻移特性四）、頻移特性Signal and system32（五）（五） 尺度變換特性尺度變換特性若若)()( Ftf則則0)(1)( aaFaatf 特例：當(dāng)特例：當(dāng)a=-1時(shí)時(shí))()( Ftf結(jié)論：結(jié)論：、信號(hào)在時(shí)域中壓縮（、信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a1)，等效于在頻域中擴(kuò)展，等效于在頻域中擴(kuò)展、信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（、信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（0a1)，等效于在頻域中壓縮，等效于在頻域中壓縮3、當(dāng)當(dāng)a=-1時(shí)，時(shí)，f(-t)F(- )信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶，等效于在頻域中也沿信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶，等效于在頻域中也沿 縱軸反褶縱軸反褶Sig

19、nal and system33（六）（六） 對(duì)稱特性對(duì)稱特性若若)()( Ftf則則)(2)( ftF若若 f(t)為偶函數(shù)，且為偶函數(shù)，且 )()( Ftf則則)(2)(ftFSignal and system34證明：證明： deFtftj)(21)(于是可知于是可知 deFtftj)(21)( deFtftj)()(2（ 六）、對(duì)稱特性六）、對(duì)稱特性將式中的變量將式中的變量t和和變量變量 互換，可以得到互換，可以得到 )(2 f dtetFtj )(Signal and system35即即F(t)的傅立葉變換為的傅立葉變換為2 f(- )(2)( ftF若若f(t)為偶函數(shù)，且為偶函

20、數(shù)，且)()( Ftf)(2)( ftF則則或或)()()21( ftF對(duì)稱特性表明：當(dāng)對(duì)稱特性表明：當(dāng)f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，時(shí)域時(shí)域與與頻域頻域完全完全對(duì)稱對(duì)稱（ 六）、對(duì)稱特性六）、對(duì)稱特性Signal and system36例：求抽樣函數(shù)例：求抽樣函數(shù)Sa(t)的頻譜的頻譜)(tft2 2 1)( F 2 2 0)2()( SaF )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2Signal and system37)(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2當(dāng)當(dāng) =2，)(2)2()(tSatSatF)(tFt20)(2 f 11 2所以，

21、所以，Sa(t)的頻譜為的頻譜為Signal and system38（七）（七） 微分特性微分特性、時(shí)域微分特性、時(shí)域微分特性若若)()( Ftf則則)()( Fjdttdf)()()( Fjdttfdnnn說明：在說明：在時(shí)域時(shí)域中中f(t)對(duì)對(duì)t取取n階導(dǎo)數(shù)，等效于在階導(dǎo)數(shù)，等效于在頻頻域域中頻譜中頻譜F( )乘以因子乘以因子(j )n Signal and system39、頻域微分特性、頻域微分特性若若)()( Ftf則則)()()(tfjtddF )()()(tfjtdFdnnn Signal and system40例例.求如圖所示梯求如圖所示梯形脈沖的傅立葉變換形脈沖的傅立葉變換)(tftba Eab （ 七）、微分特性七）、微分特性解：解：f(t)的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)f(t) 是幅值為是幅值為abE 的兩個(gè)脈沖的兩個(gè)脈沖其二階導(dǎo)數(shù)是四個(gè)正負(fù)其二階導(dǎo)數(shù)是四個(gè)正負(fù)沖激函數(shù)沖激函數(shù))(tf tba abE ab )(tf tba )(abE ab Signal and system41)(tf tba )(abE ab )()()()()(btatatbtabEtf )()()(2bjajajbjeeeeabEFj（ 七）、微分特性七）、微分特性22)cos(cos2)cos(cos)(2)(baabEabjabEFSignal and s