小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題問題與答案

1、第一章 行程問題1、相遇問題 2、追及問題 3 行船問題 4 列車問題 5 時(shí)鐘問題第二章 分?jǐn)?shù)問題1 工程問題 2 百分?jǐn)?shù)問題 3 存款利率問題 4 溶液濃度問題 5 商品利潤(rùn)問題第三章 比例問題1、歸一問題 2、歸總問題 3 正反比例問題 4 按比例分配問題 5、盈虧問題第四章 和差倍比問題1 和差問題 2和倍問題 3. 差倍問題 4 倍比問題 5 年齡問題第五章 植樹與方陣問題1 植樹問題 2 方陣問題第六章 雞兔同籠問題第七章 條件最值問題1 公約公倍問題 2 最值問題第八章還原問題 第九章 列方程問題第十章“牛吃草”問題 第十一章 數(shù)學(xué)游戲1 構(gòu)圖布數(shù)問題 2 幻方問題 3 抽屜原則

2、問題第一章 行程問題1、相遇問題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】 相遇時(shí)間總路程（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）相遇時(shí)間【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？例2 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。 解 “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中

3、可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇時(shí)間（32）（1513）3（小時(shí)） 兩地距離（1513）384（千米） 答：兩地距離是84千米。2、追及問題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時(shí)間【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天

4、走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？例2 甲、乙二人練習(xí)跑步，若甲讓乙先跑10米，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙.問：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲讓乙先跑10米，則10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為105=2（米/秒）；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為4秒，因此路程差就等于24=8（米），也即乙在2秒內(nèi)跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.綜合列式計(jì)算如下：解： 乙的速度為：10542=4（米/秒）甲的速度為：105+4=6（米/秒）答：甲的

5、速度為6米/秒，乙的速度為4米/秒.例3 幸福村小學(xué)有一條200米長(zhǎng)的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時(shí)從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問冬冬第一次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少米，第2次追上晶晶時(shí)兩人各跑了多少圈？分析 這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時(shí)同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時(shí)，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個(gè)周長(zhǎng)（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根據(jù)追及問題的基本關(guān)系就可求出追及時(shí)間以及他們各自所走的路程.解： 冬冬第一次追上晶晶所需要的時(shí)間：200（6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶時(shí)他所跑的路程應(yīng)為：6100=600（米）晶

6、晶第一次被追上時(shí)所跑的路程：4100=400（米）冬冬第二次追上晶晶時(shí)所跑的圈數(shù)：（6002）200=6（圈）晶晶第2次被追上時(shí)所跑的圈數(shù)：（4002）200=4（圈）答：略.解答封閉路線上的追及問題，關(guān)鍵是要掌握從并行到下次追及的路程差恰是一圈的長(zhǎng)度.3 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速.【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?船速 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速順

7、水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2順?biāo)夙標(biāo)偎?船速 水速 順?biāo)俣?逆水速度，其中三個(gè)的關(guān)系【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？例2 .已知一條小船，順?biāo)叫?0千米需5小時(shí)，逆水航行72千米需9小時(shí)?，F(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是96千米，開船時(shí)，船夫扔了一塊木板到水里，當(dāng)船到乙城時(shí)，木板離乙城還有多遠(yuǎn)？ 順?biāo)叫?0千米需5小時(shí) 順?biāo)俣龋?05=12 逆水航行72千米需9小時(shí) 逆水速度：729=8 水流速

8、度：（12-8）2=2 現(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是96千米，開船時(shí)，船夫扔了一塊木板到水里，當(dāng)船到乙城時(shí)，木板離乙城還有多遠(yuǎn)？ 96-2（9612）=80 小船從上游甲城到下游乙城：（9612） 木板行的距離2（9612） 例3.一摩托車頂風(fēng)行40千米用了2小時(shí)，風(fēng)速為每小時(shí)2千米，則這輛摩托車行駛時(shí)每小時(shí)行多少千米？4 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度?！緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時(shí)間（車長(zhǎng)橋長(zhǎng)）車速 火車追及： 追及時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）（甲車速乙車速） 火車相遇： 相遇時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）（甲車速乙車速）【解題思路

9、和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。將列車簡(jiǎn)縮為一個(gè)點(diǎn)例1 一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。 （1）火車3分鐘行多少米？ 90032700（米） （2）這列火車長(zhǎng)多少米？ 27002400300（米） 列成綜合算式 90032400300（米） 答：這列火車長(zhǎng)300米。例2 一列火車穿越一條長(zhǎng)2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長(zhǎng)1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少？解 車速和車長(zhǎng)都沒有變，但通過隧道和大橋

10、所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)。可知火車在（8858）秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 （20001250）（8858）25（米） 進(jìn)而可知，車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為（2558）米， 因此，車長(zhǎng)為 25581250200（米） 答：這列火車的車速是每秒25米，車身長(zhǎng)200米。例3 一列快車長(zhǎng)184米，一列慢車長(zhǎng)168米，兩車相向而行，從相遇到離開需4秒鐘，如果同向而行，從快車追及慢車到離開，需16秒種，問快車和慢車速度各是多少？解、由于兩車兩車相向而行，從相遇到離開所行的距離為兩車的長(zhǎng)度和184+168=352米，用時(shí)4秒，則兩車的速度和為3524=88米/秒；

11、如果同向而行，從快車追用慢車到離開的追及距離同為兩車的長(zhǎng)度為352米，用時(shí)16秒，則兩車的速度差為35216=22米/秒根據(jù)和差問題公式可知，快車的速度為：（88+22）2=55米/秒慢車為55-22=33米/秒例4 一列長(zhǎng)225米的慢車 以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時(shí)間為 （225140）（2217）73（秒） 答：需要73秒。5 時(shí)鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針

12、成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時(shí)針的12倍， 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對(duì)待，也可以按差倍問題來計(jì)算。鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，分針的速度是1；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/601/12格。速度是【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1. 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所

13、以分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20（11/12） 22（分） 答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（54）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走 （5415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。 （5415）（11/12） 6（分） （5415）（11/12） 38（分） 答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)3

14、8分時(shí)兩針成直角。例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（56）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。（56）（11/12） 33（分） 答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合例4 一只鐘的時(shí)針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時(shí)針與分針的正中央，問這時(shí)是什么時(shí)刻？分析 由于現(xiàn)在可以是4點(diǎn)多，也可以是5點(diǎn)多，所以分兩種情況進(jìn)行討論：先設(shè)此時(shí)是4點(diǎn)多：4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指4，分針指12.從4點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于25，少于30，時(shí)針走不足5格.由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù)，所以時(shí)針與分針在這段

15、時(shí)間內(nèi)共走30格.時(shí)針和分針的路程和是30，除以速度和，可得時(shí)間。再設(shè)此時(shí)是5點(diǎn)多： 5點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指5，分針指12.從5點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于20格少于25格，時(shí)針走的格數(shù)不足5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù)，所以時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走25格.因此，時(shí)針和分針的路程和是25，除以速度和，可得時(shí)間。第二章 分?jǐn)?shù)問題1 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)

16、量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間工作量工作效率工作時(shí)間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式例1 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例

17、如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （6052）（64）5（小時(shí)） 答：還需要5小時(shí)才能完成。例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/61/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？ 7（

18、1/61/8）168（個(gè)） 答：這批零件共有168個(gè)。解二 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的1/7所以，這批零件共有 241/7168（個(gè)）例3 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要

19、使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（145），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1215），從而可知每小時(shí)的排水量為 （1215145）（155）1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 12，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？ （1512）（12） 8.59（個(gè)）答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。2 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一

20、個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)比較量標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量比較量百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1） 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾； （2） 已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少； （3） 已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)

21、。例1.紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，這是桶內(nèi)的水正好是原來整桶水的一半，原來一桶水有多少千克？ 例3.果品公司儲(chǔ)存一批蘋果，售出這批蘋果的30后，又運(yùn)來160箱，這時(shí)比原來儲(chǔ)存的蘋果多1/10 ，這時(shí)有蘋果多少箱？3 存款利率問題【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。

22、【數(shù)量關(guān)系】 年（月）利率利息本金存款年（月）數(shù)100% 利息本金存款年（月）數(shù)年（月）利率 本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）數(shù)【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 李大強(qiáng)存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長(zhǎng)。解 因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（14881200）元，所以總利率為 （14881200）1200 又因?yàn)橐阎吕?，所以存款月?shù)為 （14881200）12000.8%30（月） 答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%

23、。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰的收益多？多多少元？解 甲的總利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%31584115848.28%34461.47（元）乙的總利息 100009%54500（元）45004461.4738.53（元） 答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。4 溶液濃度問題【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶

24、液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】 溶液溶劑溶質(zhì) 濃度溶質(zhì)溶液100%【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？ 解 （1）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克） （2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）50 10（克） 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假設(shè)全用30%的糖水溶

25、液，那么含糖量就會(huì)多出 600（30%25%）30（克）這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會(huì)減少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600200400（克） 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，

26、混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解 由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會(huì)知所求的濃度。下面列表推算： 甲容器乙容器原 有鹽水500鹽50012%60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水5002250鹽60230鹽水500250750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250375625鹽301545鹽水7502375鹽30215第三次使甲乙中鹽水同樣多 鹽水500 鹽45936 鹽水500 鹽45361524 由以上推算可知， 乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 2450

27、04.8% 答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。5 商品利潤(rùn)問題【含義】 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關(guān)系】 利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)貨價(jià)利潤(rùn)率（售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）進(jìn)貨價(jià)100% 售價(jià)進(jìn)貨價(jià)（1利潤(rùn)率） 虧損進(jìn)貨價(jià)售價(jià) 虧損率（進(jìn)貨價(jià)售價(jià)）進(jìn)貨價(jià)100%【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解 要知虧還是盈，得知實(shí)際售價(jià)52元比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。因?yàn)?

28、2元是原價(jià)的80%，所以原價(jià)為（5280%）元；又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的，所以成本為 5280%（130%）50（元）可以看出該店是盈利的，盈利率為 （5250）504% 答：該店是盈利的，盈利率是4%。例2 成本0.25元的作業(yè)本1200冊(cè)，按期望獲得40%的利潤(rùn)定價(jià)出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤(rùn)是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？解 問題是要計(jì)算剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)實(shí)際售價(jià)是原定價(jià)的百分之幾。從題意可知，每?jī)?cè)的原定價(jià)是0.25（140%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每?jī)?cè)的實(shí)際售價(jià)，為此要知道剩下的每?jī)?cè)盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)

29、際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即 0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.25（140%）80% 答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。例3 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%，甲店按30%的利潤(rùn)定價(jià)，乙店按20%的利潤(rùn)定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。解 設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1，則甲店的進(jìn)貨價(jià)為 110%0.9 甲店定價(jià)為 0.9（130%）1.17 乙店定價(jià)為 1（120%）1.20 由此可得 乙店進(jìn)貨價(jià)為 6（1.201.17

30、）200（元） 乙店定價(jià)為 2001.2240（元） 答：乙店的定價(jià)是240元。第三章 比例問題1、歸一問題【含義】 在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量份數(shù)1份數(shù)量 1份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量 另一總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1 一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克，3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？例2 某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是

31、又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？例3 學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？2、歸總問題【含義】 解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量份數(shù)總量 總量1份數(shù)量份數(shù) 總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量例1 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？例2 食

32、堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？3 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是

33、解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程與時(shí)間路程一定，速度與時(shí)間路程一定，已走的路程與未走的路程總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商同時(shí)同地，竿高和影長(zhǎng)半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù)圓的半徑和面積(11)長(zhǎng)方體體積一定，底面積和高(12)正方形的邊長(zhǎng)

34、和它的面積(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià)(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)(15)汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量分析 以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個(gè)兩種形式，或只能寫出加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例例如零件數(shù)總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每個(gè)零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13)例2 一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、

35、下坡三段，各段路程長(zhǎng)的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是456，已知他上坡的速度是每小時(shí)3千米，問此人走完全程用了多少時(shí)間？分析 要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時(shí)間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時(shí)行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程例3 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解 由條件知，公路總長(zhǎng)不變。 原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（13）14312 現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)

36、度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長(zhǎng)為 300（43）123600（米） 答： 這條公路總長(zhǎng)3600米例4 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。a252036b16解 由面積寬長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此， a362016 25b2016 解這兩個(gè)比例，得 a45 b20 所以，大矩形面積為 453625202016162答：大矩形的面積是1624 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分

37、成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？解 總份數(shù)為 474845140 一班植樹

38、 56047/140188（棵） 二班植樹 56048/140192（棵） 三班植樹 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵例2 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/21/31/9962 96217 179/179176/176 172/172 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。5、盈虧問題

39、【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1.一筐蘋果分給一些學(xué)生吃，如果每人吃4個(gè)，要多出48個(gè)蘋果；如果每人吃6個(gè)，則又（多）少8個(gè)蘋果.那么有多少人，多少蘋果？例2 少先隊(duì)員去植樹.如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵

40、，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完.問有多少少先隊(duì)員參加植樹，一共種多少樹苗？分析 這是一道較難的盈虧問題，主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完.這組條件中包含著兩種種樹的情況2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么，就可以多種樹（6-4）24（棵）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種；如果每人種6棵樹苗，還缺4棵.問有多少少先隊(duì)員，一共種多少樹苗？解：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或67-438（棵）答：有7個(gè)少先隊(duì)員，一共種38棵樹。例3 參加美術(shù)小組的同

41、學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組10人，則多25支，如果小組有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個(gè)人多出20支，一個(gè)人分得10支。列式為（25-5）（12-10）=10（支）1012+5=125（支）。第四章 和差倍比問題1 和差問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】 大數(shù)（和差） 2 小數(shù)（和差） 2【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1 小明期末考試時(shí)語文和數(shù)學(xué)的

42、平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？例2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。例3. 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？2 和倍問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】 將兩個(gè)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換成比，按照比的關(guān)系來解決。 總和 （幾倍1）較小的數(shù) 總和 較小的數(shù) 較大的數(shù) 較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜

43、的題目變通后利用公式。例1 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？例2 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？例3 一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是30厘米，寬是長(zhǎng)的，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。3 差倍問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】將兩個(gè)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換成比，按照比的關(guān)系來解決。兩個(gè)數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù) 較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

44、1班的圖書角里故事書的本書是文藝書的4倍，故事書比文藝書多48本，兩種書各有多少本？例2有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍（第一根長(zhǎng)度是第二根長(zhǎng)的），兩根繩子原來各長(zhǎng)多少米？例3 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是

45、3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此 剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸） 運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸） 運(yùn)糧的天數(shù)7298（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍 4 倍比問題【含義】 有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。【數(shù)量關(guān)系】 總量一個(gè)數(shù)量倍數(shù) 另一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？

46、48000300160（倍） （2）共植樹多少棵？40016064000（棵） 列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）例2 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 8004200（倍） （2）800畝收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000畝是800畝的幾倍？ 1600080020（倍） （4）16000畝收入多少元？ 22222002044444000（元）5 年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)?！窘忸}思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問：幾年前父親年齡是女兒的5倍？例2 在一個(gè)家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲.家庭成員中有父親、母親、一個(gè)女兒和一個(gè)兒子.父親比母親大3歲，