雙曲線的漸近線及離心率問(wèn)題

1、完美.格式.編輯第30練 雙曲線的漸近線和離心率問(wèn)題題型分析 高考展望雙曲線作為圓錐曲線三大題型之一，也是高考熱點(diǎn)，其性質(zhì)是考查的重點(diǎn)，尤其是離心率與漸近線.考查形式除?？嫉慕獯痤}外，也會(huì)在填空題中考查，一般為中等難度.熟練掌握兩種性質(zhì)的求法、用法是此類問(wèn)題的解題之本?？碱}型精析題型一雙曲線的漸近線問(wèn)題2 2X y例1 (1)(2015重慶)設(shè)雙曲線孑b2= 1(a 0, b 0)的右焦點(diǎn)是F,左，右頂點(diǎn)分別是 Ai,A2,過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于 B, C兩點(diǎn)，若AiB丄A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為.2X2(2014江西)如圖，已知雙曲線 C: T y2= 1(a0)的右焦點(diǎn)為

2、F.點(diǎn)A, B分別在C的兩條a漸近線上，AF丄x軸，AB丄OB, BF/ OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).專業(yè).資料.整理.由y=bx?ab2 2予bS 1（a0，b0）中的 “1用(2)已知雙曲線漸近線方程：bx2 2y = ，可設(shè)雙曲線方程為 字器=X(疋Q)求出入即得雙曲線所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程0替換即可得出漸近線方程方程. 求雙曲線C的方程；X0x3 過(guò)C上一點(diǎn)P(X0, y)(y0M 0的直線I :孑y0y= 1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x = ?相MF 交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.NF點(diǎn)評(píng)(1)在求雙曲線的漸近線方程時(shí)要掌握其簡(jiǎn)易求法變式訓(xùn)練12 2 Xy(201

3、4 山東改編)已知ab0,橢圓Ci的方程為孑+=1,雙曲線C2的方程為2 2 令1 a b，Ci與C2的離心率之積為 習(xí)，則C2的漸近線方程為.題型二雙曲線的離心率問(wèn)題例2 (1)(2015湖北改編)將離心率為ei的雙曲線G的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(a曲)同時(shí)增加m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2,則下列命題正確的是 . 對(duì)任意的a， b， eie2； 當(dāng) ab 時(shí)，eie2;當(dāng) ab 時(shí)，eie2； 對(duì)任意的a， b， ei b 時(shí)，eie2；當(dāng) ae2.2 2x y已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線 孑一2= i(a0, b0)的右焦點(diǎn)為F,以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)

4、的兩點(diǎn)點(diǎn)評(píng)在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí),A、B,若(AO+ AF) OF= 0,則雙曲線的離心率 e為實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要c內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e = c是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于 a、ao o ob、c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2= c2- a2消去b，然后變形求e,并且需注意 ei.同時(shí)注意雙 曲線方程中x, y的范圍問(wèn)題.J2 2 變式訓(xùn)練2 (20i4湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓 G : %+ 2 a b=i(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,離心率為 ei;雙曲線2 2X yC2： r 2= i的左、右焦點(diǎn)分別為F3、F4,離心率為

5、e2.已知eie2 a b=于，且 F2F4= , 3 i.(i)求Ci, C2的方程;過(guò)Fi作Ci的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P, Q兩點(diǎn)時(shí), 求四邊形APBQ面積的最小值.題型三雙曲線的漸近線與離心率的綜合問(wèn)題例3(2014福建)已知雙曲線E:為 li: y= 2x, I2： y=- 2x.(1) 求雙曲線E的離心率；(2) 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線2 2分別在第一、四象限)，且厶O(píng)AB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線I有且只有一個(gè) 公共點(diǎn)的雙曲線 E?若存在，求出雙曲線 E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題：一是利用離心率公式，漸近線方

6、程，斜率關(guān)系等列方程組.二是數(shù)形結(jié)合，由圖形中的位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)的范圍2 2變式訓(xùn)練3 (2014浙江)設(shè)直線x 3y+ m = 0(m豐0與雙曲線X2 占=1(a0, b0)的兩條漸a b近線分別交于點(diǎn) A, B.若點(diǎn)P(m, 0)滿足PA= PB,則該雙曲線的離心率是 .高考題型精練2X 21. (2015課標(biāo)全國(guó)I改編)已知M(X0, y。)是雙曲線C: 2 y = 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1 MF20,則y0的取值范圍是 .2 2 2 22. (2。15鎮(zhèn)江模擬)已知0e0, b0)的兩條漸近線均和圓 C： x + y 6x + 5 = 0相切，且雙曲線的右

7、焦點(diǎn)為圓 C的圓心，則該雙曲線的方程為 .2 2 2 24. 以橢圓169+44 = 1的右焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線 6= 1的漸近線相切的圓的方程是2 2 2 25. 已知雙曲線器=1(a0, b0)以及雙曲線 字一餌1的漸近線將第一象限三等分，則雙2 2曲線x2 = 1的離心率為a b2 26. (2015鎮(zhèn)江模擬)已知雙曲線C:字一= 1 (a0, b0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過(guò)F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線 C的離心率為.2 22XV7. 已知拋物線y= 8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線 孑一b2= 1(a0, b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線

8、的離心率為2，則該雙曲線的方程為 .8. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,以F1F2為底邊作正三角形，若雙曲線C與該正三角形兩腰的交點(diǎn)恰為兩腰的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為.2 2x y9. 已知Fi, F2分別是雙曲線 孑一b= 1 (a0 , b0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是 X 2 y12. (2015鹽城模擬)已知雙曲線x2 b= 1 (a0, b0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).22 1 2、10. 過(guò)雙曲線 孑一孑=1 (a0, b0)的左焦點(diǎn)F作

9、圓x + y = 4a的切線，切點(diǎn)為 E,直線EF交雙曲線右支于點(diǎn) p,若OE= |(Of+Op)，則雙曲線的離心率是 .2 211. 已知雙曲線02 X(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y = x且c= 2,求雙曲線的方程；= 1 (a0, b0)的一條漸近線方程為 2x + y= 0,且頂點(diǎn)到漸近線的距離為25以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A,過(guò)A作圓的切線，斜率為一.3，求雙曲線的離心率.-(1) 求此雙曲線的方程；(2) 設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A, B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若 AP=鬲，求厶AOB的面積.答案精析第30練 雙曲線的漸近

10、線和離心率問(wèn)題常考題型典例剖析2 2x yA1（ a, 0）, A2（a,0），易求解析 雙曲線孑一詁=1的右焦點(diǎn)F(c,O)，左，右頂點(diǎn)分別為心C a，C2b_akA2C=,a ca 廠kAiB=arc，又AiB 與A2C 垂直，a a則有 kAiB kA2C= 1，即 = 1 ,a + c a cb42a2222 = 1, /. a = b，即 a = b,c a漸近線斜率k=a =1- 解 設(shè)F(c,0)，因?yàn)閎 = 1，所以c= .a2+ 1,1直線OB的方程為y= x,1直線BF的方程為y = (x c),a解得b(2 ,舊).1又直線OA的方程為y=-x,ac_c_小ca2a 3則

11、 A(c, a), kAB=c = jc 231又因?yàn)锳B丄OB,所以一(一一)=1 ,a、 a，解得a2 = 3,2x 2故雙曲線C的方程為y2= 1.由知a = .3,則直線I的方程為X0Xyoy= l(yo 豐 0,即 y=X0X 33yo因?yàn)橹本€AF的方程為x= 2,所以直線1與AF的交點(diǎn)為2xo 3M(2，3yo)；3“、3xo-332直線1與直線x=的交點(diǎn)為Ng?。?X02MF2 叵x(chóng)o-3 2 則 NF=32 9y2 9212xo十 + 4 xo 24+ L4xo =3 喬X -2X02因?yàn)镻(xo, yo)是C上一點(diǎn)，則yo= 1,代入上式得MF2 4xo-3 2NF2 = 3

12、 X2 3 +X024xo 3 2 43 4xo 12xo + 9 3， 即所求定值為第=23 =罕 變式訓(xùn)練1 x 2y= o 解析由題意知e! = C1, e2= C2,aa:eie2 = a aci C2C1C22 aa2 b22 2CiC2 4a又 a2 = b2 + c2，c2= a2+ b2,444=1（；）a b4 a即 1 (b)4= 3a丿4” m b2解得a = r，2 2令字-*=,解得bx旬=o, x 2y = o.例 2(1)(2) 2解析(1)由題意ei =22a + b2 -ai + b 2；雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a+ m，虛半軸長(zhǎng)為 b + m,離心率e2 =-

13、2 2 a+ m + b + ma + ma0, b0,因?yàn)橹衎 = 1，且 a+ m a a a + m所以當(dāng)ab時(shí)，九腎0,b + m b即arm訂又o, ao, a+ m a 所以由不等式的性質(zhì)依次可得詈2 ab + ma+ m21+ I?，ib + mi + a+ m即e2ei;同理，當(dāng)ab時(shí),m a b a a + m0,可推得 e2b時(shí)，ei e2;當(dāng)ae2. = my i, 由恰y2= i22得（m + 2）y 2my i = 0.(2)如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T(mén),由(AO+ AF) OF= 0可知AT丄OF, 又A在以O(shè)F為直徑的圓上， A |, | ,b又A在直線y = -x 上

14、,a- a = b , - e = - , m ),m + 2 m + 2 八故直線PQ的斜率為一羅,PQ的方程為y= Tx.y =-，由2得(2 m* 2)x2 = 4,所以2 m m2 m 0,且x2 24 2 mPQ= 2 x2+ y2從而2d =m +2 I yi y2|從而 設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d , 則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d ,所以2d =| mxi + 2yi | + | mx2 + 2y2|m2+ 4因?yàn)辄c(diǎn)A, B在直線mx + 2y = 0的異側(cè), 所以(mxi+ 2yi)(mx2+ 2y2)0 ,于是 | mx i + 2yi| + | mx2+ 2y?| =| m

15、xi+ 2yi mx2 2y2| ,又因?yàn)?|yi y2| = . yi + y2 4yiy22 ;2 1 + m= 2 . 2 ,m + 2所以2d =1故四邊形APBQ的面積S=322 m 而02 m22 或 k 2,貝U C( , 0).記 A(X1, y1), B(x2, y2).,ry = kx + m , 由|y = 2x,得y1 =2m2 k,同理，得2my2=.由 oab= | OC| I y1 y2|，得1 m 2m 2m2| k | “ k 2 + k| = 8,即 m2= 4|4 kj = 4(k2 4).y = kx + m , 由卜16 = 1, 得(4 k2)x2

16、2kmx m2 16= 0.因?yàn)?4 k20,所以= 4k2m2+ 4(4 k2)(m2 + 16)2 2=16(4k m 16).又因?yàn)?m2= 4(k2 4),所以= 0,即I與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).因此，存在總與2 2l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的萬(wàn)程為4 - 16= 1.2 2方法二 由(1)知，雙曲線E的方程為九=1.a 4a設(shè)直線 I 的方程為 x= my +1, A(x1, y1), B(x2, y2).1 1依題意得1m1；.得y1 =2t1 2mrx = my +1 , 由ty = 2x,2t 同理，得y2= E.設(shè)直線I與x軸相交于點(diǎn)C,則C(t, 0).1由

17、 Saoab= 2 OC y1 y2| = 8，得12it|2t2t1 2m 1 + 2m所以 t2= 4|1 4m2| = 4(1 4m2).x = my +1 ,亠t丿22由x_衛(wèi)一42 2= 1.a 4a ， 得(4m2 1)y2+ 8mty + 4(t2 a2) = 0.因?yàn)?m2 10 ,直線I與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)= 64m2t2 16(4m2 1)(t2a2) = 0,即 4m2a2 +12 a2= 0,即 4m2a2 + 4(1 4m2) a2= 0,即(1 - 4m2)(a2 4) = 0,所以a2 = 4,因此，存在總與I有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,2 2且

18、E的方程為-花=1.變式訓(xùn)練3三52X解析雙曲線弋a(chǎn)2話=1的漸近線方程為y=b x.af b,y = x,由ax 3y + m = 0am得A匸bm3b a)，r =b由 y= aX，x 3y + m = 0am得B(冇bma+ 3b)，23b m2a m所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ 一， 一）.9b a 9b a 八設(shè)直線 I: x 3y+ m = 0(m 豐 0)因?yàn)镻A= PB,所以PCX I, 所以kpc= 3,化簡(jiǎn)得a2= 4b2. 在雙曲線中，c2= a2+ b2= 5b2, 所以e=乙專.a 21.-.3.33，3解析由題意知a=話2, b = 1, c= 3,常考題型精練-F1

19、( .3, 0), F2( 3, 0),MF 1 =(岑3 X。，一 y), MF2= C,3 x。，一 y).T MF1 MF20, ( 3 xo)(V3 xo) + y00, 即 x 3 + y0.點(diǎn)M(X0, y0)在雙曲線上，2 x2 y0 = 1，即 卩 x2 = 2 + 2yo, 2 + 2y94. x + y 10x + 9= 0 3+ yo0, b0)的漸近線方程為y =，設(shè)直線方程為y = b(x c)，與a baay= ?x聯(lián)立求得M, bc j,因?yàn)镸在圓外，所以滿足MF1 MF20,可得一3c2 +詹f0,c解得e=-2.a10.解析 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 F1,連結(jié)PF1. 1 -由OE= 2(OF+ OP)知，E是FP的中點(diǎn).又O是FF1的中點(diǎn)， OE/ PF1,且 OE= 1PF1，易知 OE 丄 FP, PR 丄 FP, PF2+ 卩冃=FFi, PF1 = a , PF= 2a + PF1 = 3a,JQ2c 22、2 9a + a = (2c),解得嚴(yán)2,b = 1 ,代=2,11 .解(1)依題意得|2