波動方程(優(yōu)質(zhì)課件)

1、平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)波動方程波動方程定量地描述前進(jìn)中的波動定量地描述前進(jìn)中的波動（也稱行波也稱行波） ，用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)形式描述介質(zhì)中各個質(zhì)點的位移隨時間而變化形式描述介質(zhì)中各個質(zhì)點的位移隨時間而變化的規(guī)律的規(guī)律。這樣的函數(shù)式稱為行波的波動方程這樣的函數(shù)式稱為行波的波動方程。Equation of wave 簡諧波簡諧波：在均勻的在均勻的、無吸收的介質(zhì)中無吸收的介質(zhì)中，波源作簡諧波源作簡諧振動時振動時，其振動狀態(tài)在介質(zhì)中傳播過程中所形成的波其振動狀態(tài)在介質(zhì)中傳播過程中所形成的波。一一 . . 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波平面簡諧波：波面為平面的簡諧波波面為平面的簡

2、諧波。 6-2 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 介質(zhì)中任一質(zhì)點介質(zhì)中任一質(zhì)點（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 x）相對其平衡位置的位移相對其平衡位置的位移（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y）隨時間隨時間t 的變化關(guān)系的變化關(guān)系，稱為波函數(shù)稱為波函數(shù)。y （）x、ty各質(zhì)點相對平各質(zhì)點相對平衡位置的位移衡位置的位移波線上各質(zhì)波線上各質(zhì)點點平衡平衡位置位置各種不同各種不同的簡諧波的簡諧波復(fù)雜波復(fù)雜波合成合成分解分解合成合成復(fù)雜波復(fù)雜波xy0簡諧波簡諧波2xy0任何復(fù)雜的波都可以看成是由若干個頻率不同簡諧波疊任何復(fù)雜的波都可以看成是由若干個頻率不同簡諧波疊加而成到的加而成到的，所以研究簡諧波仍具有特別重要的意義所以研究簡諧波仍

3、具有特別重要的意義。簡諧波簡諧波的波形圖的波形圖簡諧波簡諧波1xy01. 平面簡諧波波動方程的推導(dǎo)平面簡諧波波動方程的推導(dǎo)推導(dǎo)的方推導(dǎo)的方法有兩種法有兩種：時間推遲方法時間推遲方法相位比較方法相位比較方法xxuyoPA已知振源已知振源（波源波源）的振動方程為的振動方程為：注意注意： 波動圖的縱橫坐標(biāo)波動圖的縱橫坐標(biāo)分別為分別為x、y。它們表示它們表示振動振動狀態(tài)傳到的地方狀態(tài)傳到的地方和和振動質(zhì)振動質(zhì)點離開平衡位置的距離點離開平衡位置的距離。在此時間在此時間t 是隱函數(shù)是隱函數(shù)，不在波形圖上不在波形圖上。1.時間推遲方法時間推遲方法j=t+cos()yA01.時間推遲方法時間推遲方法xxuyo

4、PA已知振源已知振源（波源波源）的振動方程為的振動方程為：振源的振動狀態(tài)從振源的振動狀態(tài)從0點以傳播速度點以傳播速度u傳送到傳送到P 點點，顯然時間要顯然時間要落后落后： uxtuxj=t+cos()Aj=t+cos()yA0tj=t+cos()yAP 介質(zhì)中任一質(zhì)點介質(zhì)中任一質(zhì)點（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 x）相對其平衡位相對其平衡位置的位移置的位移（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y）隨時間隨時間t 的變化關(guān)系的變化關(guān)系。2.相位比較方法相位比較方法xxuyoPA已知振源已知振源（波源波源）的振動方程為的振動方程為：j=t+cos()yA0P點的相位比點的相位比 0點的相位點的相位落后落后: :j=jP-j=jP-jl

5、x2-公式可查處：公式可查處：教材教材P153=t+cos()yAPjP=jP+jlx2-=jP+jx2-u=T-xu+jul=T2 T=2.相位比較方法相位比較方法xxuyoPAP點的相位比點的相位比 0點的相位點的相位落后落后: :j=jP-j=t+cos()yAPjP=jP-jlx2-=jP+jlx2-=jP+jx2-u=T-xu+jul=T2 T=t+cos()yAPjP 介質(zhì)中任一質(zhì)點介質(zhì)中任一質(zhì)點（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 x）相對其平衡位相對其平衡位置的位移置的位移（坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y）隨時間隨時間t 的變化關(guān)系的變化關(guān)系。uxj=t+cos()A波向波向x 軸正方向軸正方向傳播也稱傳播也稱右

6、行波右行波當(dāng)波向當(dāng)波向x 軸正方向傳播軸正方向傳播而且已知而且已知距離距離0點為點為xo的的Q點振動方程為點振動方程為：uxj=t+cos()Ay波波函函數(shù)數(shù)波波動動方方程程uxj=t+cos()Ay波向波向x 軸負(fù)方向軸負(fù)方向傳播也稱傳播也稱左行波左行波 物理意義物理意義：波線上任一點波線上任一點（距原點為距原點為 x）處處的質(zhì)點任一瞬間相對其平衡位置的位移的質(zhì)點任一瞬間相對其平衡位置的位移。=t+cos()yAQjP=tcos(uxj+)Ayx0-波函數(shù)波函數(shù): :可理解為將可理解為將Q點點作為計時原點作為計時原點。uxj=t+cos()Ayul=T2 T=xj=t+cos()Ay2 Tl

7、平面簡諧波波動方程的平面簡諧波波動方程的標(biāo)準(zhǔn)像標(biāo)準(zhǔn)像必必須須牢牢記記做做題題對對照照uxj=t+cos()Ayxj=t+cos()Ay2 Tl=tcos(uxj+)Ayx0-角波數(shù)角波數(shù): :表示單位長度上波的相位變化表示單位長度上波的相位變化，在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于2長度上的完整波數(shù)目長度上的完整波數(shù)目。另外幾種形式另外幾種形式波動方程的波動方程的xj=t+cos()Ay2 lkxj=t+cos()Ay2 k=l角波數(shù)角波數(shù)k 例題例題：平面簡諧波的波函數(shù)為平面簡諧波的波函數(shù)為：式中式中A、B 、C 為正常數(shù)為正常數(shù)，求波長求波長、波速波速、波波在傳播方向上相距為在傳播方向上相距為d 的兩

8、點間的相位差的兩點間的相位差。)cosCBtAy=（x解解：以上式對照波動方程的以上式對照波動方程的標(biāo)準(zhǔn)像標(biāo)準(zhǔn)像振幅振幅A ，角頻率角頻率B例題例題：平面簡諧波的波函數(shù)為平面簡諧波的波函數(shù)為：式中式中A、B 、C 為正常數(shù)為正常數(shù)，求波長求波長、波速波速、波波在傳播方向上相距為在傳播方向上相距為d 的兩點間的相位差的兩點間的相位差。)cosCBtAy=（xuxj=t+cos()Ay)cosCBtAy=（x)cosCBA=（xtB周期周期T B22BCu波速波速初相位初相位j0BCu波長波長lTB2C2xy0EuABCDF波傳播方向上相距為波傳播方向上相距為d 的兩點間的相位差的兩點間的相位差:

9、 :與波源相距為與波源相距為d 處的振動表達(dá)式為處的振動表達(dá)式為：例題例題：有一列橫波向右有一列橫波向右傳播傳播， 畫出波形曲線上畫出波形曲線上A、B 、C 、D 、E 、F 各各點的點的運動方向運動方向和四分之和四分之一周期后的波形曲線一周期后的波形曲線。2dljxC22Cd)cosCBtAy=（x)cosCBtA=（d(本題結(jié)束本題結(jié)束)判斷各點運動判斷各點運動方向的方向的技巧技巧上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行特別要注意特別要注意：波的傳播方向波的傳播方向，這是關(guān)鍵這是關(guān)鍵。4T例題例題：圖圖（a）中所表示的中所表示的x 0 處質(zhì)點振動的初相位處質(zhì)點振動的初相位與圖與圖（b）所表示的振動

10、的初相位分別為所表示的振動的初相位分別為：uxy0ty0t0時的波形圖時的波形圖（a）質(zhì)點的振動曲線圖質(zhì)點的振動曲線圖（b）（C）（D）（E）（A）均為均為零零（B）均為均為均為均為與與2222與與22提示提示：分清波動圖和振動圖上各點運動的方向分清波動圖和振動圖上各點運動的方向。uxy0t0時的波形圖時的波形圖（a）ty0質(zhì)點的振動曲線圖質(zhì)點的振動曲線圖（b）判斷波動圖上各判斷波動圖上各點運動的方向點運動的方向：上坡下行上坡下行、下坡上行下坡上行 （a）是波形圖是波形圖，注意到它注意到它的傳播方向的傳播方向，x 0處質(zhì)點振處質(zhì)點振動是過平衡位置動是過平衡位置 ，向向y 軸負(fù)軸負(fù)方向運動的方向

11、運動的（理由理由：上坡下上坡下行行、下坡上行下坡上行）t 稍稍0時的時的波形圖是紅色曲線波形圖是紅色曲線由此畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖由此畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖。y02.ty0質(zhì)點的振動曲線圖質(zhì)點的振動曲線圖（b）（b）是振動圖是振動圖 ，t 0處處質(zhì)點振動是過平衡位置質(zhì)點振動是過平衡位置，向向y 軸正方向運動的軸正方向運動的。由此畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖由此畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖: :y02.（C）（D）（E）（A）均為均為零零（B）均為均為均為均為與與2222與與22所以取所以取解題體會解題體會：做此類做此類題目題目，切不可盲目切不可盲目判斷判斷，要加以分析要加以分析! !Q0abct =0yAxu-A例題例題：如圖所示簡諧如

12、圖所示簡諧波以余弦函數(shù)表示波以余弦函數(shù)表示，求求：Q、a、b、c 各點各點振動振動相位相位。t=T/4上坡下行上坡下行 下坡上行下坡上行按照按照的原則的原則0AyQ點=oj0Aya點=aj20Ayb點0=bj0AyC點=cj2求出初相位是求出初相位是解題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵。例題例題：如圖所示如圖所示，為為t=0時刻的簡諧波形時刻的簡諧波形，試求試求 （1）0點的振動方程點的振動方程 （2）波動方程波動方程 （3）標(biāo)出標(biāo)出a 、b 兩點的運動方向兩點的運動方向（4）x 0.2m 質(zhì)點的振動方程質(zhì)點的振動方程。（練習(xí)冊練習(xí)冊P16計算題計算題1版書版書）x (m)y(m)bu0.08 m/s0.0.

13、040.040.20.4a.例題例題：一列沿一列沿x 正向傳播的簡諧波正向傳播的簡諧波，已知已知t1=0和和t2=0.25s時的波形如圖時的波形如圖。試求試求：（1）振動方程振動方程 （2）波動方程波動方程 （3）作出波源振動曲線作出波源振動曲線。（練習(xí)冊練習(xí)冊P32計算題計算題3版書版書）x (m)y(m)0.45 mP0.ut2t10.02m.例題例題：一平面簡諧波一平面簡諧波，振幅振幅A5m , ,向向x 軸軸負(fù)方向負(fù)方向傳傳播播，波速為波速為u =120m/s , ,波長為波長為60m , ,以原點處質(zhì)點以原點處質(zhì)點在在y =A/2處并處并向向y 軸正方向運動軸正方向運動作為計時零點作

14、為計時零點。試寫試寫出波動方程出波動方程。解解：u =12060l=A=5u=lTT=lu=由由：21（s）1=T=2=2 =4由標(biāo)準(zhǔn)方程由標(biāo)準(zhǔn)方程：uxj=t+cos()Ay對照后除了對照后除了 ，其它的特征量都知道了其它的特征量都知道了，所以關(guān)鍵所以關(guān)鍵是要求出初相位是要求出初相位，這也是解波動題目的難點這也是解波動題目的難點。j根據(jù)題意根據(jù)題意：在在t = 0時刻質(zhì)點在時刻質(zhì)點在y =A/2處并處并向向y 軸正方向運動軸正方向運動cosj=21(究競?cè)∧囊粋€究競?cè)∧囊粋€值作為初相位值作為初相位？)j=3+-分析法分析法：2j=t+cos()AA根據(jù)題意根據(jù)題意：在在t = 0時刻質(zhì)點在時

15、刻質(zhì)點在y =A/2處并處并向向 y 軸正方向運動軸正方向運動旋轉(zhuǎn)矢量方法旋轉(zhuǎn)矢量方法：y03u =12060l=A=5得波動方程得波動方程：120 x=tcos()y543（m）x (m)y(m)5u120.解解：上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行0點在點在t 稍稍0 時時過平衡位置向過平衡位置向y 負(fù)方向運動負(fù)方向運動ul=1250600s=1()例題例題：有一列向有一列向x 軸正方向傳播的平面簡諧波軸正方向傳播的平面簡諧波，它在它在t = 0 時刻的波形如圖所示其波速為時刻的波形如圖所示其波速為：u = 600m/s 。試寫出波動方程試寫出波動方程。=5mA24ml=從波形圖中可知從波形圖

16、中可知：=2=50()rad. s1原點處質(zhì)點的振動方程為原點處質(zhì)點的振動方程為：波動方程為波動方程為：y02由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法：ul=1250600s=1()=5mA24ml=從波形圖中可知從波形圖中可知：0點在點在t 稍稍0 時時過平衡位置向過平衡位置向y 負(fù)方向運動負(fù)方向運動=t+cos()y5050 2m=tcos()y5502+x600(）(本題結(jié)束本題結(jié)束)x (m)y (m)12.0A2APu.Q例題例題：有一列向有一列向 x 軸正方向傳播的平面簡諧波它在軸正方向傳播的平面簡諧波它在解解：根據(jù)根據(jù)上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行的規(guī)律的規(guī)律Q點向下運動點向下運動，P點往上運

17、動點往上運動。t 0 時波形圖為虛線狀時波形圖為虛線狀t0時刻時刻 分析法分析法：t 0 時刻的波形如圖所示時刻的波形如圖所示，試求其波長試求其波長。A=tcosA)(j+cosAj2=j0=cos-1224=j0-x (m)y (m)12.0A2APu.Q旋轉(zhuǎn)矢量法判定旋轉(zhuǎn)矢量法判定y04A4=j0=yP0同理同理： 過平衡過平衡位置向位置向 y 正方向運動正方向運動 yo2A2=jP-由由ljx= =2 l2 = =2（-）-412l= =32 m(本題結(jié)束本題結(jié)束).xAu20 m/s.B5 m（練習(xí)冊練習(xí)冊P30填充題填充題9版書版書）例題例題：平面簡諧波在某種媒介質(zhì)中以平面簡諧波在某

18、種媒介質(zhì)中以u=20m/s沿沿x 軸軸ty4cos3=（SI）（1）以以A點為坐標(biāo)原點點為坐標(biāo)原點，寫出波動方程寫出波動方程（2）若以距離若以距離A點點負(fù)方向負(fù)方向5m處的處的B點為坐標(biāo)點為坐標(biāo)原點原點，再寫出波動方程再寫出波動方程。負(fù)方向負(fù)方向傳播傳播，已知已知：A點的振動方程為點的振動方程為：例題例題：平面簡諧波在某種媒介質(zhì)中以平面簡諧波在某種媒介質(zhì)中以u=20m/s沿沿x 軸軸正方向正方向傳播傳播，如如（a）所示所示。如果波線上如果波線上A點的振動曲線點的振動曲線如圖如圖（b）所示所示。求求：（1）A點的振動方程點的振動方程（2）分別以分別以A、B、0為原點的波動方程為原點的波動方程。

19、u20 m/s0BA10m5m（a）x（b）t (s)y(m)o50.551.5（練習(xí)冊練習(xí)冊P14計算題計算題2）分析分析：解這類題目時要用波函數(shù)中的第三個標(biāo)準(zhǔn)方程解這類題目時要用波函數(shù)中的第三個標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)像標(biāo)準(zhǔn)像）x)(cosjw+-=tAyu-xo（b）t (s)y(m)o50.551.5（1） A點的振動方程點的振動方程：從圖（b）中可知中可知t =0時，質(zhì)點在正時，質(zhì)點在正的最大位移處并向的最大位移處并向y 軸的負(fù)方向運動軸的負(fù)方向運動j00從圖（b）中可知中可知T =2.0(s)由w2 T（2）分別以分別以A、B、0為原點的波動方程為原點的波動方程: :對照振動方程標(biāo)準(zhǔn)像對照振

20、動方程標(biāo)準(zhǔn)像：cosy=tA（）j u20 m/s0BA10m5m（a）x=tcosy+50A（)=tcos5（m）A為原點的波動方程為原點的波動方程: :=tcosyxuA)(j+由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)像標(biāo)準(zhǔn)像）x=tcosy520A u20 m/s0BA10m5m（a）x因為是右行波因為是右行波，B點的振動相位比點的振動相位比A點的振動相位落后點的振動相位落后，而且相距而且相距5m B為原點的波動方程為原點的波動方程: :x=tcosy520B+5x=tcos520+5x=tcos5204（2）分別以分別以A、B、0為原點的波動方程為原點的波動方程: :初相位初相位j0

21、B為原點的波動方程為原點的波動方程: :0為原點的波動方程為原點的波動方程: :因為是右行波因為是右行波，0點的振動相位超點的振動相位超前前A點的振動相位點的振動相位，而且相距而且相距10m 結(jié)結(jié) 論論 (本題結(jié)束本題結(jié)束)yBx=tcos5204x=tcos5204（)（m）x=tcosy520A10 x=tcos52010 x=tcos520+2x=tcos520+2（)（m）B點的振動相位點的振動相位比比A點的振動相點的振動相位落后位落后0點的振動相位點的振動相位比比A點的振動相點的振動相位超前位超前42 二、波動方程的物理意義波動方程的物理意義uxj=t+cos()Ay 1.=x1x

22、(常數(shù)常數(shù))即考察該點處的質(zhì)點情況即考察該點處的質(zhì)點情況。則位移則位移y只是時間只是時間t 的周期函數(shù)的周期函數(shù)。ux1j=t+cos()Ay 波函數(shù)表示距離原點為波函數(shù)表示距離原點為x1處處的質(zhì)點在各個不同時刻的位的質(zhì)點在各個不同時刻的位移移 。顯示了該質(zhì)點在作周期顯示了該質(zhì)點在作周期為為T 的的簡諧振動的情況的的簡諧振動的情況。yt0 x1并給出該點與點并給出該點與點0振動的相位差振動的相位差。由由jx= =2 ux= =ly （）x、ty+T（波具有時間的周期性波具有時間的周期性） 2.=t1t(常數(shù)常數(shù))即考察該時刻各個質(zhì)點離開即考察該時刻各個質(zhì)點離開平衡位置的位移情況平衡位置的位移情

23、況。即即此刻此刻的波形的波形。uxj=t+cos()Ayuxj=t1+cos()Ay猶比拍快照猶比拍快照yx0定時刻的各質(zhì)點離開定時刻的各質(zhì)點離開平衡位置的位移情況平衡位置的位移情況y （）xty+（波具有空間的周期性波具有空間的周期性）l、經(jīng)過一個周期的時間經(jīng)過一個周期的時間，波向波向前傳播了一個波長的距離前傳播了一個波長的距離。兩質(zhì)點相位差和它們的兩質(zhì)點相位差和它們的波程差波程差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系之間的數(shù)學(xué)關(guān)系jx= =2 l3、事實上簡諧波事實上簡諧波：x 和和t 均在變化均在變化。波函數(shù)表示波形沿波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運動情況傳播方向的運動情況（行波行波）即振動狀態(tài)的傳播情況即振動狀態(tài)

24、的傳播情況。0yxxxut 時刻時刻t時刻時刻txj=t+cos()Ay2 Tlx=t()2 Tl(2 Tttxxl)波的傳播是相位的傳播波的傳播是相位的傳播是振動狀態(tài)的傳播是振動狀態(tài)的傳播。 波速波速是相位或波形向前是相位或波形向前傳播的速度傳播的速度。波函數(shù)描波函數(shù)描述了波的傳播過程述了波的傳播過程。xut三三、波動方程的一般形式波動方程的一般形式（了解了解）uxj=t+cos()Ay質(zhì)點的振動速度質(zhì)點的振動速度：ty=v uxj=t+sin()A質(zhì)點的振動加速度質(zhì)點的振動加速度：ty=a 22uxjt+cos()A=2（1）=xy 22uxjt+cos()A2u2（2）由式由式(1)、(

25、2)得得：ty 22xy 22=u21可證明在可證明在無吸收無吸收的的各向同性各向同性的的均勻介質(zhì)中均勻介質(zhì)中質(zhì)點的位移質(zhì)點的位移平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程三維空間傳播的三維空間傳播的一切波動過程一切波動過程都滿足下列方程都滿足下列方程：ty 22xy 22=u21=+1u222x 22y 22z 22t +例題例題：一平面簡諧波以速度一平面簡諧波以速度u20m/s 沿直線傳播沿直線傳播，波線上點波線上點 A 的簡諧運動方的簡諧運動方程程：2y 3 10 cos（4t）m0ABCD5m9m8mxu（1）以以A 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,寫出波函數(shù)寫出波函數(shù)（2）以以B 為坐標(biāo)原點

26、寫出波函數(shù)為坐標(biāo)原點寫出波函數(shù)（3）寫出傳播方向上點寫出傳播方向上點C 、點點D 的簡諧運動方程的簡諧運動方程（4）分別求出分別求出 BC ，CD 兩點間的相位差兩點間的相位差。解解： （1）以以 A 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)寫出波函數(shù)2y 3 10 cos（4t）m0ABCD5m9m8mxu解解： （1）以以 A 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)寫出波函數(shù)從題給的振動方程可以看出從題給的振動方程可以看出：代入標(biāo)準(zhǔn)方程代入標(biāo)準(zhǔn)方程：角頻率角頻率4原點的初相位原點的初相位j0uxj=t+cos()Aymxtcos()23 10420=yAmxtcos()23 1045=yA或或：（2）以

27、以B 為坐標(biāo)原點寫出波函數(shù)為坐標(biāo)原點寫出波函數(shù)0ABCD5m9m8mxuul=T2 T=2 T=2 4=21ul=T=2021=10由于是右行波由于是右行波B 點的相位點的相位超前超前A點的相位點的相位jx= =2 l= =xA2 lxB（ ） = =2 10（50)= =由由A點波動方程的基礎(chǔ)上點波動方程的基礎(chǔ)上mxtcos()23 10420=yAmxtcos()23 1045=yA或或：由于是右行波由于是右行波B 點的相位點的相位超前超前A點的相位點的相位jx= =2 l= =xA2 lxB（ ） = =2 10（50)= =以以B 為坐標(biāo)原點的波函數(shù)為為坐標(biāo)原點的波函數(shù)為：mxtcos

28、()23 10420=yBmxtcos()23 1045=yB或或：（3）寫出傳播方向上點寫出傳播方向上點C 、點點D 的簡諧振動方程的簡諧振動方程0ABCD5m9m8mxu2y 3 10 cos（4t）m點點 A 的簡諧運動方的簡諧運動方程程：由于點由于點C 的相位比點的相位比點A 超前超前2y 3 10cos（4 t）C+AC20m2 3 10cos（4 t）+513由于點由于點D 的相位落后于點的相位落后于點A，所以有所以有：（3）寫出傳播方向上點寫出傳播方向上點C 、點點D 的簡諧振動方程的簡諧振動方程0ABCD5m9m8mxu由于點由于點D 的相位的相位落后于落后于點點A，所以有所以

29、有：2y 3 10cos（4 t）D-AD20m2 3 10cos（4 t）-59（4）分別求出分別求出 BC ，CD 兩點間的相位差兩點間的相位差。jx= =2 ljBC= =1.6jCD= =4.4BC = =8CD = =22代入后得代入后得：l= =10例題例題：平面簡諧波沿平面簡諧波沿x 軸正方向軸正方向傳播傳播，已知振幅為已知振幅為1.0m 、周期為周期為2.0s 、波長為波長為2.0m 。在在t =0 時時坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點處的質(zhì)點位于平衡位置沿處的質(zhì)點位于平衡位置沿y 軸的正方向運動軸的正方向運動。 求求（1）波動方程波動方程（2）t1.0s時各質(zhì)點的位移分布時各質(zhì)點的位移分布，

30、并并畫出該時刻的波形圖畫出該時刻的波形圖（3）x0.5m處質(zhì)點的振動規(guī)律處質(zhì)點的振動規(guī)律，并畫出該質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線并畫出該質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線。解解：（1）波動方程波動方程x（m）y0uA2.0根據(jù)題意可以由旋轉(zhuǎn)矢量法根據(jù)題意可以由旋轉(zhuǎn)矢量法確定坐標(biāo)原點質(zhì)點的初相位確定坐標(biāo)原點質(zhì)點的初相位根據(jù)題意先根據(jù)題意先畫出波形圖畫出波形圖OAy0=j2-x（m）y0uA2.0解解：（1）波動方程波動方程xj=t+cos()Ay2 Tl對照波動方程的對照波動方程的標(biāo)準(zhǔn)像標(biāo)準(zhǔn)像：振幅振幅 A1.0m 周期周期 波長波長 2.0m=j2-T2.0 slx=tcos()y2 1.02.02.02

31、m（2）求求：t1.0s 時各質(zhì)點的位移時各質(zhì)點的位移分布分布，并畫出該時刻的波形圖并畫出該時刻的波形圖。（2）求求：t1.0s 時各質(zhì)點的位移時各質(zhì)點的位移分布分布，并畫出該時刻的波形圖并畫出該時刻的波形圖。x=tcos()y2 1.02.02.02m用用t1.0s代入上式波動方程后得代入上式波動方程后得：x=cos()y2 1.02.02.02m1.0 x=cos()1.02mx=sin()1.0以以x 0、1、2 、3 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0= 0以以x 2k0.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=1 ()k0、1、2 、3 以以x 0、1、2

32、 、3 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0= 0以以x 2k0.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=1 ()k0、1、2 、3 mx=sin()1.0yo2.01.0-1.01.03.0y/mx/m以以x 2k1.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=-1 ()k0、1、2 、3 t =1.0s時的波形圖時的波形圖（3）x0.5m 處質(zhì)點的振動規(guī)律處質(zhì)點的振動規(guī)律，并畫并畫出該質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線出該質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線。用用x0.5m 代入波函數(shù)方程代入波函數(shù)方程（1）式中的式中的 xx=tcos()y2 1.02.02.02mx0

33、.5m 處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程：t=cos()1.0ym11x0.5m 處質(zhì)點的振動曲線處質(zhì)點的振動曲線0m/y1.0-1.0s/t2.0Ow234*2341.0yyt例題例題：平面簡諧波以波速平面簡諧波以波速u0.8m/s沿沿x 軸負(fù)方向軸負(fù)方向傳傳播播，已知距坐標(biāo)原點已知距坐標(biāo)原點x 0.4m處質(zhì)點的振動曲線如圖處質(zhì)點的振動曲線如圖所示所示。求求（1） 0.4m處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程（2）該平面簡該平面簡諧波的波動方程諧波的波動方程（3）畫出畫出t0時刻的波形圖時刻的波形圖。（選自李、鄭訓(xùn)練選自李、鄭訓(xùn)練P189.5-14計算題計算題）t（s）y（m）u1.000.05-0.050. 5x 0.4m 振動曲線圖振動曲線圖版書解題版書解題較難的典型例題較難的典型例題例題例題：平面簡諧波沿平面簡諧波沿x 軸正方向軸正方向傳播傳播，當(dāng)當(dāng)t =1/3 （s）時的波形曲線如圖所示時的波形曲線如圖所示，且運動周期且運動周期T = 2 （s）求求： （1