山財(cái)數(shù)學(xué)分析課件

1、山財(cái)數(shù)學(xué)分析3 幾類特殊函數(shù)的幾類特殊函數(shù)的 不定積分不定積分一、一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分山財(cái)數(shù)學(xué)分析有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分山財(cái)數(shù)學(xué)分析假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)

2、1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例例1123 xxx.112 xx難點(diǎn)難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.山財(cái)數(shù)學(xué)分析（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;a

3、xA 山財(cái)數(shù)學(xué)分析（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1山財(cái)數(shù)學(xué)

4、分析2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例4 4 求積分求積分 .)1(12dx

5、xx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136山

6、財(cái)數(shù)學(xué)分析Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(山財(cái)數(shù)學(xué)分析說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2山財(cái)數(shù)學(xué)分析,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn

7、)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記山財(cái)數(shù)學(xué)分析, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 山財(cái)數(shù)學(xué)分析三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos

8、,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分山財(cái)數(shù)學(xué)分析2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122d

9、uudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222山財(cái)數(shù)學(xué)分析duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan241

10、33Cxxxx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析解（二）解（二）修改萬能置換公式修改萬能置換公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考故三角有理式的計(jì)算中先考慮其

11、它手段慮其它手段, 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換.山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例9 9 求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141山財(cái)數(shù)學(xué)分析 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan4

12、1Cx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. .例例1010 求積分求積分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分山財(cái)數(shù)學(xué)分析,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1

13、|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號時(shí)無理函數(shù)去根號時(shí), 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).山財(cái)數(shù)學(xué)分析例例1212 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對分母進(jìn)行有理化先對分母進(jìn)行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 山財(cái)數(shù)學(xué)分析簡單無理式的積分簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分

14、三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)四、小結(jié)山財(cái)數(shù)學(xué)分析思考題思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？山財(cái)數(shù)學(xué)分析思考題解答思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式分解后的部分分式必須是最簡分式.山財(cái)數(shù)學(xué)分析一一、 填填空空題題：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其其 A_ _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _ _ _ _ , , C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其其中中 A_ _

15、 _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _, , C_ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 計(jì)計(jì)算算 ,sin2xdx可可用用萬萬能能代代換換 xsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , dx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、計(jì)計(jì)算算 ,mbaxdx令令 t_ _ _ _, , x_ _ _ _, , dx_ _ _ _ _ . .練習(xí)題練習(xí)題山財(cái)數(shù)學(xué)分析5 5、有理函數(shù)的原函數(shù)都是、有理函數(shù)的原函數(shù)都是_ . .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411

16、； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .山財(cái)數(shù)學(xué)分析三、求下列不定積分三、求下列不定積分（用以前學(xué)過的方法） ：（用以前學(xué)過的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 dxxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln(； 10 10、 xdx

17、x arcsin12； 11 11、dxxxxx cossincossin； 1212、 )(xbaxdx. .山財(cái)數(shù)學(xué)分析二、二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函數(shù)數(shù) . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案山財(cái)數(shù)學(xué)分析 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 31123. .山財(cái)數(shù)學(xué)分析三三、1 1、 Cxx 11)1(212； 2 2、Cxx )sinln(；