兩個(gè)重要的極限公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1兩個(gè)重要的極限公式兩個(gè)重要的極限公式準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的夾逼定理夾逼定理.第1頁(yè)/共30頁(yè)AC應(yīng)用準(zhǔn)則應(yīng)用準(zhǔn)則 ，下面證明第一個(gè)重要的極限，下面證明第一個(gè)重要的極限1sinlim0 xxx,O設(shè)單位圓設(shè)單位圓如右圖，如右圖，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作單位圓的切線,xOAB的

2、圓心角為扇形,BDOAB的高為 (0)2AOBxx 圓圓心心角角第2頁(yè)/共30頁(yè),tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx第3頁(yè)/共30頁(yè)解解 0tanlim.xxx求求00tansin1limlimcosxxxxxxx00sin1limlim1cosxxxxx 第4頁(yè)/共30頁(yè)例例 2解解求.5sin3tanlim0 xxxxxxx

3、xxx3cos15sin3sinlim5sin3tanlim00 xxxxxx3cos15355sin33sinlim0 15311 .53 第5頁(yè)/共30頁(yè)例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第6頁(yè)/共30頁(yè)解解0arcsinlim.xxx求求arcsintx 令令，sinxt 于于是是，0,0.xt在在有有由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則得由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則得 00arcsinlimlim1sinxtxtxt 此復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則是如何應(yīng)用的？此復(fù)

4、合函數(shù)的極限運(yùn)算法則是如何應(yīng)用的？ 第7頁(yè)/共30頁(yè)例例 5解解下列運(yùn)算過(guò)程是否正確下列運(yùn)算過(guò)程是否正確: :xxxxxxxxsintanlimsintanlim xxxxxxsinlimtanlim . 1 這種運(yùn)算是錯(cuò)誤的這種運(yùn)算是錯(cuò)誤的. . 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 1tanxx, 1sinxx本題本題 , x所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算所以不能應(yīng)用上述方法進(jìn)行計(jì)算. .正確的作法如下正確的作法如下. .令, tx 則; tx 當(dāng) x時(shí)時(shí), 0t第8頁(yè)/共30頁(yè)例例 5解解下列運(yùn)算過(guò)程是否正確下列運(yùn)算過(guò)程是否正確: :xxxxxxxxsintanlimsintanlim xxxxxxsinli

5、mtanlim . 1 正確的作法如下：正確的作法如下：令令, tx 則則; tx 當(dāng)當(dāng) x時(shí), 0t)sin()tan(limsintanlim0ttxxtx . 1sintanlim0 ttttt于是于是tttsintanlim0 第9頁(yè)/共30頁(yè)sinlim.xxx 求求解解,tx 令令則則sinlimxxx 0sinlimttt 0sinlimttt 1 第10頁(yè)/共30頁(yè)例例7解解計(jì)算.3coscoslim20 xxxx 203coscoslimxxxx xxxxxsin22sin4lim0 . 4 20sin2sin2limxxxx 第11頁(yè)/共30頁(yè)例例 8解解計(jì)算計(jì)算.coss

6、in1lim20 xxxxx xxxxxcossin1lim20 xxxxxxxxcossin1)cossin1(lim20 220sincos1)cossin1limxxxxxxxxx 12111 .34 第12頁(yè)/共30頁(yè)例例 9解解.sin2tan2lim30 xxxx 計(jì)算30sin2tan2limxxxx )sin2tan2(sintanlim30 xxxxxx )sin2tan2(1cos1sinlim30 xxxxxx xxxxxcos1cos1sinlim20 )sin2tan2(1xx 第13頁(yè)/共30頁(yè)例例 9解解.sin2tan2lim30 xxxx 計(jì)算30sin2ta

7、n2limxxxx xxxxxcos1cos1sinlim20 )sin2tan2(1xx 第14頁(yè)/共30頁(yè)例例 9解解.sin2tan2lim30 xxxx 計(jì)算計(jì)算30sin2tan2limxxxx xxxxxcos1cos1sinlim20 )sin2tan2(1xx 2211211 .241 完第15頁(yè)/共30頁(yè)exxx )11(lim在上一節(jié)中，我們利用在上一節(jié)中，我們利用“單調(diào)有界的數(shù)列必有單調(diào)有界的數(shù)列必有極限極限”這個(gè)定理，已經(jīng)證明如下極限這個(gè)定理，已經(jīng)證明如下極限ennn )11(lim，有：定義數(shù)列1n)11(nnnx第二個(gè)重要的極限公式第二個(gè)重要的極限公式)71828.

8、 2( e第16頁(yè)/共30頁(yè)再考慮再考慮 為實(shí)數(shù)的情形為實(shí)數(shù)的情形. .x(1), 1 xxx有有1 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),11111111 xxxxxx而而.11lim11lim11lim1exxxxxxxx111limxxxexxx )11(lim第17頁(yè)/共30頁(yè)111limxxx.111lim111lim11exxxxx .11limexxx (2)則ttttxxttx 111lim11lim11lim,xt 令exxx )11(lim第18頁(yè)/共30頁(yè)(2)則ttttxxttx 111lim11lim11lim,xt 令exxx )11(lim第19頁(yè)/共30頁(yè)(2)則則ttttxxttx

9、111lim11lim11lim,xt 令令.111111lim1etttt 從而從而exxx 11lim如果令如果令,1xt 則有則有.11lim)1(lim10etxttxx exxx )11(lim第20頁(yè)/共30頁(yè)因因此此的的極極限限都都存存在在且且等等于于時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)或或取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)而而趨趨向向可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng),)11(exxx .)11(limexxx 第21頁(yè)/共30頁(yè)例例1 1.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例2 2.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2

10、e 第22頁(yè)/共30頁(yè)例例3 3解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx第23頁(yè)/共30頁(yè)例例4 4解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)uuu)1ln(1lim0 . 1 第24頁(yè)/共30頁(yè)( )lim( )0,lim ( ),lim( )xaxag xBxaf xAg xBf xA若則 此公式常與此公式常與1( )( )0lim 1( )xxxe聯(lián)合應(yīng)用求極限。聯(lián)合應(yīng)用求極限。第25頁(yè)/共30頁(yè)例例5解解求.1lim22xxxx xxxx 1lim22xxx 111lim211222111lim xxxxx0e . 1 第26頁(yè)/共30頁(yè)例例 6解解計(jì)算計(jì)算.)(lim10 xxxxe xxxxxexe1101)(lim xxxxe10)(lim xxexexxexe101lim ee .2e 第27頁(yè)/共30頁(yè) 這