有限元方法3-平面問(wèn)題

1、有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法華中科技大學(xué)華中科技大學(xué)國(guó)家國(guó)家CAD支撐軟件工程技術(shù)研究中心支撐軟件工程技術(shù)研究中心吳義忠吳義忠 王書(shū)亭王書(shū)亭現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法有限元方法（有限元方法（3）有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3.3.彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法3-03-0、彈性力學(xué)的平面問(wèn)題、彈性力學(xué)的平面問(wèn)題3-13-1、彈性力學(xué)的基本方程、彈性力學(xué)的基本方程3-23-2、單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?-33-3、總體剛度矩陣、總體剛度矩陣3-43-4、平面有限元問(wèn)題求解、平面有限元問(wèn)題求解3-53-5、例題、例題4-7,84-7,8有

2、限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-0 彈性力學(xué)的平面問(wèn)題彈性力學(xué)的平面問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)力問(wèn)題：等厚度薄板，厚度與長(zhǎng)度、寬等厚度薄板，厚度與長(zhǎng)度、寬度相比小很多；所受的載荷沿著厚度方向均勻度相比小很多；所受的載荷沿著厚度方向均勻分布，即沿著厚度方向的應(yīng)力等于分布，即沿著厚度方向的應(yīng)力等于0.平面應(yīng)變問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：軸類(lèi)，承受的載荷都在與軸線(xiàn)軸類(lèi)，承受的載荷都在與軸線(xiàn)垂直的平面內(nèi)，且沿著軸向均勻分布，因此軸垂直的平面內(nèi)，且沿著軸向均勻分布，因此軸內(nèi)任一點(diǎn)沿軸向的應(yīng)變等于內(nèi)任一點(diǎn)沿軸向的應(yīng)變等于0.有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-1 彈性力

3、學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程1）平衡方程）平衡方程2）彈性方程）彈性方程3）幾何方程）幾何方程4）虛功方程）虛功方程有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法1）平衡方程：）平衡方程：載荷與應(yīng)力之間的關(guān)系載荷與應(yīng)力之間的關(guān)系體積力：重力，電磁場(chǎng)力體積力：重力，電磁場(chǎng)力表面力：集中載荷，分布力表面力：集中載荷，分布力/力偶，張力力偶，張力體積力、應(yīng)力平衡方程體積力、應(yīng)力平衡方程表面力、應(yīng)力平衡方程表面力、應(yīng)力平衡方程有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法2）彈性方程）彈性方程胡克定律胡克定律 應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)

4、變問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：剪切模量G=E/2(1+u)有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法彈性方程矩陣形式：D為彈性矩陣為彈性矩陣平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3）幾何方程：）幾何方程：應(yīng)變與位移之間的關(guān)系應(yīng)變與位移之間的關(guān)系u,v分布為任一點(diǎn)處沿著x,y方向位移；正應(yīng)變和剪應(yīng)變方程為：有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法4）虛功方程）虛功方程: 位移、載荷、應(yīng)變、應(yīng)力關(guān)系位移、載荷、應(yīng)變、應(yīng)力關(guān)系W = UW表示彈性體內(nèi)部區(qū)域中全部體積力作的虛功U表示邊界上表面力所做的虛功。t薄板厚度有限

5、元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單，有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問(wèn)題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是因而最常用的單元是三角形單元三角形單元。因平面問(wèn)題的變。因平面問(wèn)題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點(diǎn)都可視為形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點(diǎn)都可視為平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。平面鉸，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。單元與單元在

6、單元與單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點(diǎn)，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。如節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連不計(jì)處，就在該節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。桿支座。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法1）三角形單元的位移模式）三角形單元的位移模式 三結(jié)點(diǎn)三角形單元三結(jié)點(diǎn)三角形單元六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，所以平面問(wèn)題的所以平面問(wèn)題的3 3節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下，數(shù)如下，該位

7、移函數(shù)，將該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移設(shè)單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)定為坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)，該位移模式很簡(jiǎn)單。，該位移模式很簡(jiǎn)單。其中其中 為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i i、j j、m m的位移值和坐標(biāo)值求出。的位移值和坐標(biāo)值求出。123456vuxyxy位移函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式為：位移函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式為： 12345610000001aaauxyavxyaa 16單元局部坐標(biāo)系單元局部坐標(biāo)系單元節(jié)點(diǎn)局部編單元節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)逆時(shí)針號(hào)逆時(shí)針1, 2, 3有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法由三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移，確定六個(gè)待定系數(shù)由三個(gè)節(jié)點(diǎn)

8、坐標(biāo)和位移，確定六個(gè)待定系數(shù)2）形狀矩陣）形狀矩陣N節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)表達(dá)式有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3）幾何矩陣）幾何矩陣B由幾何方程由幾何方程代入位移模式方程= u, v有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法4）單元?jiǎng)偠染仃嚕﹩卧獎(jiǎng)偠染仃?由幾何方程和彈性方程得：由幾何方程和彈性方程得： 代入虛功方程有代入虛功方程有 令令實(shí)際上，單元?jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸閷?shí)際上，單元?jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸?則則 建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系， 稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃嚒ＫQ(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?。它是? 6* *6 6矩陣，其

9、元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。 eD B eeTFBDBtdxdy eTKBDBtdxdy eeeFK eK eTVKBDBdxdydz6X3, 3X3, 3X6有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?由于由于DD中元素是常量，而在線(xiàn)性位移模式下，中元素是常量，

10、而在線(xiàn)性位移模式下， BB中的元素也是常中的元素也是常量，且量，且 因此因此 eeTFBDBtdxdy dxdyA eeTFBDBtA eTKBDBtA幾何矩陣 彈性矩陣 板厚 截面積有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將將 寫(xiě)成分塊矩陣寫(xiě)成分塊矩陣 寫(xiě)成普通方程寫(xiě)成普通方程 其中其中 表示節(jié)點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要上所需要施加的施加的節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小

11、。點(diǎn)力的大小。iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKK FKKK iiiiijjimimjjiijjjjmmimiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eFrsK有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將節(jié)點(diǎn)力列矩陣將節(jié)點(diǎn)力列矩陣 與節(jié)點(diǎn)位移列矩陣與節(jié)點(diǎn)位移列矩陣 均展開(kāi)成均展開(kāi)成(6(6* *1)1)階列矩陣，單元階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開(kāi)成剛度矩陣相應(yīng)地展開(kāi)成(6(6* *6)6)階方陣：階方陣： eF eiijuvu

12、 xiiiiiijijimimiiijimimyiiiijxjjijijjjjjmjmjijjjmjmyjjijjjmimjmmmmxmmimjmmimjmmmmymmimjmKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 1 1）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱(chēng)陣，）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱(chēng)陣，( (只要證明只要證明 ) ) 2 2）單元?jiǎng)傟囍鲗?duì)角線(xiàn)元素恒為正值；因?yàn)橹鲗?duì)角元素）單元?jiǎng)傟囍鲗?duì)角線(xiàn)元素恒為正值；因?yàn)橹鲗?duì)角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功

13、總為正值。表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。 3 3）單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱?，即）單元?jiǎng)傟囀瞧娈愱嚕磡K|=0|K|=0，這是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚕@是因?yàn)橛?jì)算單元?jiǎng)傟嚂r(shí)沒(méi)有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，時(shí)沒(méi)有對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿菰S單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元?jiǎng)偠绕胶夥匠滩豢赡艿玫轿ㄒ晃灰平獾玫轿ㄒ晃灰平?，只能得到唯一的節(jié)點(diǎn)，只能得到唯一的節(jié)點(diǎn)力解。力解。 4 4）單元?jiǎng)傟囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行）單元?jiǎng)傟囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)?/p>

14、陣各列元素的的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)傟嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱(chēng)性可知，各行元素的總和也為零?？偤蜑榱?。由對(duì)稱(chēng)性可知，各行元素的總和也為零。 ()eeTKKiik 1()eeKF有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法單元?jiǎng)偠染仃囀纠龁卧獎(jiǎng)偠染仃囀纠}：求下圖所示單元的例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)剛度矩陣，設(shè) 1000101000101011011Ba1 1、求幾何矩陣、求幾何矩陣BB2 2、求求彈性矩陣彈性矩陣 DD3 3、求求剛度矩陣剛度矩陣 100 010000.5DE 1000100.5.50.5.50.5.50.5.500010121.5.501.

15、5.50.5.51.51.5eEtK0yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a) eTKBDBtA平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-3 整體分析整體分析23yP3xP314562xP1yPaaaa 圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)個(gè)單元和六個(gè)節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)點(diǎn)1 1、4 4、6 6共有四個(gè)支桿支共有四個(gè)支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點(diǎn)載荷。為結(jié)點(diǎn)載荷。 整體分析的四個(gè)步驟：整體分析的四個(gè)步驟：1 1、建立整體剛度矩陣；、建立整體剛度矩陣；2 2、增加支承條件；、增加支承條件；3 3、解方程組，求

16、節(jié)點(diǎn)位移；、解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移；4 4、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面將各單元組合成單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃?，下面將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-3 整體分析整體分析1 1、建立整體剛度矩陣、建立整體剛度矩陣( (也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) ) 上圖中的結(jié)構(gòu)有上圖中的結(jié)構(gòu)有六個(gè)節(jié)點(diǎn)六個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有，共有1212個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量和1212個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)

17、的節(jié)點(diǎn)力向量時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 分塊形式為：分塊形式為： 其中子向量其中子向量 和和 都是二階向量，子矩陣都是二階向量，子矩陣 是二行二列矩陣。整是二行二列矩陣。整體剛度矩陣體剛度矩陣KK是是1212* *1212階矩陣。階矩陣。 FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKijK i iFijK有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法整體坐標(biāo)系下單剛矩陣整體坐標(biāo)系下單剛

18、矩陣變換矩陣有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法矩陣變換矩陣變換T中的元素中的元素有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉邢拊治鲇邢拊治?單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-5 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式n為節(jié)點(diǎn)數(shù)目為節(jié)點(diǎn)數(shù)目有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法例例4-7 單元節(jié)點(diǎn)編碼單元節(jié)點(diǎn)編碼 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?總體剛度矩陣總體剛度矩陣有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-6 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常

19、是很高的，在在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體解算時(shí)常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。 1 1、對(duì)稱(chēng)性。、對(duì)稱(chēng)性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2 2、稀疏

20、性、稀疏性( (續(xù)）續(xù)） 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5 5只與周?chē)牧鶄€(gè)節(jié)點(diǎn)只與周?chē)牧鶄€(gè)節(jié)點(diǎn)(2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形用三角形單元相連，它們是單元相連，它們是5 5的相關(guān)節(jié)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個(gè)相關(guān)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)生位移時(shí)，才使該節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并點(diǎn)力，其余節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)并不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因不在該節(jié)點(diǎn)處引起節(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣此，在矩陣KK中，第中，第5 5行的非行的非零子塊只有七個(gè)零子塊只有七個(gè)( (即與相關(guān)節(jié)

21、即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊) )。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2 2、稀疏性、稀疏性( (續(xù)）續(xù)） 一般的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)一般的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過(guò)九個(gè)，如果網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)不會(huì)超過(guò)九個(gè)，如果網(wǎng)格中有中有200200個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非個(gè)節(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總零子塊的個(gè)數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于數(shù)相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。突出。 利用矩陣?yán)镁仃嘖K的稀疏

22、性，的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。可大量地節(jié)省存貯容量。1110987654321098765432有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 3 3、帶形分布規(guī)律、帶形分布規(guī)律 上圖中，矩陣上圖中，矩陣KK的非零元素分布在以對(duì)角線(xiàn)為中心的帶的非零元素分布在以對(duì)角線(xiàn)為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱(chēng)為形區(qū)域內(nèi)，稱(chēng)為帶形矩陣帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中。在半個(gè)帶形區(qū)域中( (包括對(duì)角線(xiàn)元包括對(duì)角線(xiàn)元素在內(nèi)素在內(nèi)) )，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬半帶寬，用，用d d表示。半帶表

23、示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：寬的一般計(jì)算公式是： 半帶寬半帶寬 d = ( d = ( 相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值 + 1 ) + 1 ) * * 2 2 上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為上圖中相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4 4，故，故d=(4+1)d=(4+1)* *2=102=10 利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱(chēng)性，可只存貯上半帶的利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱(chēng)性，可只存貯上半帶的元素，叫元素，叫半帶存貯半帶存貯。 有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 圖圖(a)(a)中的矩陣中的矩陣KK為為n n行行n n列矩陣，半帶寬為列矩

24、陣，半帶寬為d d。半帶存貯時(shí)從。半帶存貯時(shí)從KK中取出上半帶元素，按圖中取出上半帶元素，按圖(b)(b)中的矩陣中的矩陣 的排列方式進(jìn)行存貯，的排列方式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n n* *d d，存貯量與，存貯量與KK中元素總數(shù)之中元素總數(shù)之比為比為d/nd/n，d d值越小，則存貯量約省。值越小，則存貯量約省。dn(a)Knnd*K )(b*K矩陣矩陣K K 矩陣矩陣 對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn) 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜線(xiàn)度斜線(xiàn)r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素*K有限元分析有限

25、元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn)整體剛度矩陣的特點(diǎn) 同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點(diǎn)編碼，則相應(yīng)的半帶同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點(diǎn)編碼，則相應(yīng)的半帶寬寬d d也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)編碼，相鄰節(jié)也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)編碼，相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值分別為點(diǎn)碼的最大差值分別為4 4、6 6、8 8，半帶寬分別為，半帶寬分別為1010、1414、1818。因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式，以便得到最小的半帶因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。寬，從而節(jié)省存貯容量。16109874325187654392

26、1014109876325有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-8 支承條件的處理支承條件的處理無(wú)約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程無(wú)約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程 的解不唯一，所以，必須引入幾何約的解不唯一，所以，必須引入幾何約束，才能求得唯一解。束，才能求得唯一解。位移約束常分為：位移約束常分為：節(jié)點(diǎn)固定和給定節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)固定和給定節(jié)點(diǎn)位移兩種約束。兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點(diǎn)載荷形由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點(diǎn)載荷形成后進(jìn)行，即此時(shí)成后進(jìn)行，即此時(shí)KK、RR中的元素均已按一定順序中的元素均已按一定順序分別儲(chǔ)存于相應(yīng)的

27、數(shù)組，故分別儲(chǔ)存于相應(yīng)的數(shù)組，故引入位移約束時(shí)，要求盡引入位移約束時(shí)，要求盡量不要打亂量不要打亂KK、RR的儲(chǔ)存順序的儲(chǔ)存順序。 KR有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法3-9 單元載荷移置單元載荷移置 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置( (分解分解) )，而成為，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有節(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問(wèn)題，集中力就集中力的作

28、用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問(wèn)題，集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問(wèn)題往往受有分布的面力和體力，都不是節(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問(wèn)題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中可能只作用在節(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)移置。力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn)，該集中力也要向節(jié)點(diǎn)移置。 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效遵循靜力等效的原則。靜力等的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。