有限元方法3-平面問題

1、有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法華中科技大學(xué)華中科技大學(xué)國家國家CAD支撐軟件工程技術(shù)研究中心支撐軟件工程技術(shù)研究中心吳義忠吳義忠 王書亭王書亭現(xiàn)代設(shè)計方法有限元方法（有限元方法（3）有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3.3.彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面問題的有限元法平面問題的有限元法3-03-0、彈性力學(xué)的平面問題、彈性力學(xué)的平面問題3-13-1、彈性力學(xué)的基本方程、彈性力學(xué)的基本方程3-23-2、單元剛度矩陣單元剛度矩陣3-33-3、總體剛度矩陣、總體剛度矩陣3-43-4、平面有限元問題求解、平面有限元問題求解3-53-5、例題、例題4-7,84-7,8有

2、限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-0 彈性力學(xué)的平面問題彈性力學(xué)的平面問題平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題：等厚度薄板，厚度與長度、寬等厚度薄板，厚度與長度、寬度相比小很多；所受的載荷沿著厚度方向均勻度相比小很多；所受的載荷沿著厚度方向均勻分布，即沿著厚度方向的應(yīng)力等于分布，即沿著厚度方向的應(yīng)力等于0.平面應(yīng)變問題：平面應(yīng)變問題：軸類，承受的載荷都在與軸線軸類，承受的載荷都在與軸線垂直的平面內(nèi)，且沿著軸向均勻分布，因此軸垂直的平面內(nèi)，且沿著軸向均勻分布，因此軸內(nèi)任一點沿軸向的應(yīng)變等于內(nèi)任一點沿軸向的應(yīng)變等于0.有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-1 彈性力

3、學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程1）平衡方程）平衡方程2）彈性方程）彈性方程3）幾何方程）幾何方程4）虛功方程）虛功方程有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法1）平衡方程：）平衡方程：載荷與應(yīng)力之間的關(guān)系載荷與應(yīng)力之間的關(guān)系體積力：重力，電磁場力體積力：重力，電磁場力表面力：集中載荷，分布力表面力：集中載荷，分布力/力偶，張力力偶，張力體積力、應(yīng)力平衡方程體積力、應(yīng)力平衡方程表面力、應(yīng)力平衡方程表面力、應(yīng)力平衡方程有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法2）彈性方程）彈性方程胡克定律胡克定律 應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)

4、變問題：平面應(yīng)變問題：剪切模量G=E/2(1+u)有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法彈性方程矩陣形式：D為彈性矩陣為彈性矩陣平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3）幾何方程：）幾何方程：應(yīng)變與位移之間的關(guān)系應(yīng)變與位移之間的關(guān)系u,v分布為任一點處沿著x,y方向位移；正應(yīng)變和剪應(yīng)變方程為：有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法4）虛功方程）虛功方程: 位移、載荷、應(yīng)變、應(yīng)力關(guān)系位移、載荷、應(yīng)變、應(yīng)力關(guān)系W = UW表示彈性體內(nèi)部區(qū)域中全部體積力作的虛功U表示邊界上表面力所做的虛功。t薄板厚度有限

5、元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-2 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，有限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是因而最常用的單元是三角形單元三角形單元。因平面問題的變。因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點都可視為形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點都可視為平面鉸，即每個節(jié)點有兩個自由度。平面鉸，即每個節(jié)點有兩個自由度。單元與單元在

6、單元與單元在節(jié)點處用鉸相連節(jié)點處用鉸相連，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點上，成為節(jié)點荷載。如節(jié)點位移或其某一分量可以上，成為節(jié)點荷載。如節(jié)點位移或其某一分量可以不計處，就在該節(jié)點上安置一個鉸支座或相應(yīng)的連不計處，就在該節(jié)點上安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。桿支座。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法1）三角形單元的位移模式）三角形單元的位移模式 三結(jié)點三角形單元三結(jié)點三角形單元六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的所以平面問題的3 3節(jié)點三角形單元的位移函節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下，數(shù)如下，該位

7、移函數(shù)，將該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移設(shè)單元內(nèi)部任一點的位移設(shè)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移模式很簡單。，該位移模式很簡單。其中其中 為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點節(jié)點i i、j j、m m的位移值和坐標(biāo)值求出。的位移值和坐標(biāo)值求出。123456vuxyxy位移函數(shù)寫成矩陣形式為：位移函數(shù)寫成矩陣形式為： 12345610000001aaauxyavxyaa 16單元局部坐標(biāo)系單元局部坐標(biāo)系單元節(jié)點局部編單元節(jié)點局部編號逆時針號逆時針1, 2, 3有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法由三個節(jié)點坐標(biāo)和位移，確定六個待定系數(shù)由三個節(jié)點

8、坐標(biāo)和位移，確定六個待定系數(shù)2）形狀矩陣）形狀矩陣N節(jié)點的局部坐標(biāo)表達(dá)式有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3）幾何矩陣）幾何矩陣B由幾何方程由幾何方程代入位移模式方程= u, v有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法4）單元剛度矩陣）單元剛度矩陣 由幾何方程和彈性方程得：由幾何方程和彈性方程得： 代入虛功方程有代入虛功方程有 令令實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為 則則 建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系， 稱為單元剛度矩陣。它稱為單元剛度矩陣。它是是6 6* *6 6矩陣，其

9、元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時引起的矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。 eD B eeTFBDBtdxdy eTKBDBtdxdy eeeFK eK eTVKBDBdxdydz6X3, 3X3, 3X6有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法單元剛度矩陣單元剛度矩陣 由于由于DD中元素是常量，而在線性位移模式下，中元素是常量，

10、而在線性位移模式下， BB中的元素也是常中的元素也是常量，且量，且 因此因此 eeTFBDBtdxdy dxdyA eeTFBDBtA eTKBDBtA幾何矩陣 彈性矩陣 板厚 截面積有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的物理意義： 將將 寫成分塊矩陣寫成分塊矩陣 寫成普通方程寫成普通方程 其中其中 表示節(jié)點表示節(jié)點S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)節(jié)點點r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要上所需要施加的施加的節(jié)節(jié)點力的大小

11、。點力的大小。iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKK FKKK iiiiijjimimjjiijjjjmmimiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eFrsK有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的物理意義： 將節(jié)點力列矩陣將節(jié)點力列矩陣 與節(jié)點位移列矩陣與節(jié)點位移列矩陣 均展開成均展開成(6(6* *1)1)階列矩陣，單元階列矩陣，單元剛度矩陣相應(yīng)地展開成剛度矩陣相應(yīng)地展開成(6(6* *6)6)階方陣：階方陣： eF eiijuvu

12、 xiiiiiijijimimiiijimimyiiiijxjjijijjjjjmjmjijjjmjmyjjijjjmimjmmmmxmmimjmmimjmmmmymmimjmKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 1 1）單元剛度矩陣是對稱陣，）單元剛度矩陣是對稱陣，( (只要證明只要證明 ) ) 2 2）單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素）單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功

13、總為正值。表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。 3 3）單元剛陣是奇異陣，即）單元剛陣是奇異陣，即|K|=0|K|=0，這是因為計算單元剛陣，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節(jié)點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，時沒有對單元的節(jié)點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解得到唯一位移解 ，只能得到唯一的節(jié)點，只能得到唯一的節(jié)點力解。力解。 4 4）單元剛陣所有奇數(shù)行的對應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行）單元剛陣所有奇數(shù)行的對應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元剛

14、陣各列元素的的對應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元剛陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零?？偤蜑榱?。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。 ()eeTKKiik 1()eeKF有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法單元剛度矩陣示例單元剛度矩陣示例例題：求下圖所示單元的例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)剛度矩陣，設(shè) 1000101000101011011Ba1 1、求幾何矩陣、求幾何矩陣BB2 2、求求彈性矩陣彈性矩陣 DD3 3、求求剛度矩陣剛度矩陣 100 010000.5DE 1000100.5.50.5.50.5.50.5.500010121.5.501.

15、5.50.5.51.51.5eEtK0yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a) eTKBDBtA平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-3 整體分析整體分析23yP3xP314562xP1yPaaaa 圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個單元和六個節(jié)點。在節(jié)個單元和六個節(jié)點。在節(jié)點點1 1、4 4、6 6共有四個支桿支共有四個支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為結(jié)點載荷。為結(jié)點載荷。 整體分析的四個步驟：整體分析的四個步驟：1 1、建立整體剛度矩陣；、建立整體剛度矩陣；2 2、增加支承條件；、增加支承條件；3 3、解方程組，求

16、節(jié)點位移；、解方程組，求節(jié)點位移；4 4、根據(jù)節(jié)點位移求出應(yīng)力。、根據(jù)節(jié)點位移求出應(yīng)力。 單元分析得出單元剛度矩陣，下面將各單元組合成單元分析得出單元剛度矩陣，下面將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-3 整體分析整體分析1 1、建立整體剛度矩陣、建立整體剛度矩陣( (也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) ) 上圖中的結(jié)構(gòu)有上圖中的結(jié)構(gòu)有六個節(jié)點六個節(jié)點，共有，共有1212個節(jié)點位移分量和個節(jié)點位移分量和1212個節(jié)點力分量。由結(jié)個節(jié)點力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：構(gòu)的節(jié)點位移向量求結(jié)構(gòu)

17、的節(jié)點力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 分塊形式為：分塊形式為： 其中子向量其中子向量 和和 都是二階向量，子矩陣都是二階向量，子矩陣 是二行二列矩陣。整是二行二列矩陣。整體剛度矩陣體剛度矩陣KK是是1212* *1212階矩陣。階矩陣。 FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKijK i iFijK有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法整體坐標(biāo)系下單剛矩陣整體坐標(biāo)系下單剛

18、矩陣變換矩陣有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法矩陣變換矩陣變換T中的元素中的元素有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法整體坐標(biāo)系下單元剛度矩陣整體坐標(biāo)系下單元剛度矩陣有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-5 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式n為節(jié)點數(shù)目為節(jié)點數(shù)目有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法例例4-7 單元節(jié)點編碼單元節(jié)點編碼 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 總體剛度矩陣總體剛度矩陣有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-6 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常

19、是很高的，在在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。 1 1、對稱性。、對稱性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-7 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 2 2、稀疏

20、性、稀疏性( (續(xù)）續(xù)） 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點節(jié)點5 5只與周圍的六個節(jié)點只與周圍的六個節(jié)點(2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形用三角形單元相連，它們是單元相連，它們是5 5的相關(guān)節(jié)的相關(guān)節(jié)點。只有當(dāng)這七個相關(guān)節(jié)點產(chǎn)點。只有當(dāng)這七個相關(guān)節(jié)點產(chǎn)生位移時，才使該節(jié)點產(chǎn)生節(jié)生位移時，才使該節(jié)點產(chǎn)生節(jié)點力，其余節(jié)點發(fā)生位移時并點力，其余節(jié)點發(fā)生位移時并不在該節(jié)點處引起節(jié)點力。因不在該節(jié)點處引起節(jié)點力。因此，在矩陣此，在矩陣KK中，第中，第5 5行的非行的非零子塊只有七個零子塊只有七個( (即與相關(guān)節(jié)

21、即與相關(guān)節(jié)點對應(yīng)的七個子塊點對應(yīng)的七個子塊) )。有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-7 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 2 2、稀疏性、稀疏性( (續(xù)）續(xù)） 一般的，一個節(jié)點的相關(guān)一般的，一個節(jié)點的相關(guān)結(jié)點不會超過九個，如果網(wǎng)格結(jié)點不會超過九個，如果網(wǎng)格中有中有200200個節(jié)點，則一行中非個節(jié)點，則一行中非零子塊的個數(shù)與該行的子塊總零子塊的個數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于數(shù)相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)越以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。突出。 利用矩陣?yán)镁仃嘖K的稀疏

22、性，的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量?？纱罅康毓?jié)省存貯容量。1110987654321098765432有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-7 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 3 3、帶形分布規(guī)律、帶形分布規(guī)律 上圖中，矩陣上圖中，矩陣KK的非零元素分布在以對角線為中心的帶的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中。在半個帶形區(qū)域中( (包括對角線元包括對角線元素在內(nèi)素在內(nèi)) )，每行具有的元素個數(shù)叫做，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬半帶寬，用，用d d表示。半帶表

23、示。半帶寬的一般計算公式是：寬的一般計算公式是： 半帶寬半帶寬 d = ( d = ( 相鄰結(jié)點碼的最大差值相鄰結(jié)點碼的最大差值 + 1 ) + 1 ) * * 2 2 上圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為上圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為4 4，故，故d=(4+1)d=(4+1)* *2=102=10 利用帶形矩陣的特點并利用對稱性，可只存貯上半帶的利用帶形矩陣的特點并利用對稱性，可只存貯上半帶的元素，叫元素，叫半帶存貯半帶存貯。 有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-7 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 圖圖(a)(a)中的矩陣中的矩陣KK為為n n行行n n列矩陣，半帶寬為列矩

24、陣，半帶寬為d d。半帶存貯時從。半帶存貯時從KK中取出上半帶元素，按圖中取出上半帶元素，按圖(b)(b)中的矩陣中的矩陣 的排列方式進(jìn)行存貯，的排列方式進(jìn)行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n n* *d d，存貯量與，存貯量與KK中元素總數(shù)之中元素總數(shù)之比為比為d/nd/n，d d值越小，則存貯量約省。值越小，則存貯量約省。dn(a)Knnd*K )(b*K矩陣矩陣K K 矩陣矩陣 對角線對角線 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜線度斜線r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素*K有限元分析有限

25、元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-7 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點編碼，則相應(yīng)的半帶同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點編碼，則相應(yīng)的半帶寬寬d d也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點編碼，相鄰節(jié)也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點編碼，相鄰節(jié)點碼的最大差值分別為點碼的最大差值分別為4 4、6 6、8 8，半帶寬分別為，半帶寬分別為1010、1414、1818。因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點編碼方式，以便得到最小的半帶因此，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。寬，從而節(jié)省存貯容量。16109874325187654392

26、1014109876325有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-8 支承條件的處理支承條件的處理無約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程無約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程 的解不唯一，所以，必須引入幾何約的解不唯一，所以，必須引入幾何約束，才能求得唯一解。束，才能求得唯一解。位移約束常分為：位移約束常分為：節(jié)點固定和給定節(jié)點位移節(jié)點固定和給定節(jié)點位移兩種約束。兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點載荷形由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點載荷形成后進(jìn)行，即此時成后進(jìn)行，即此時KK、RR中的元素均已按一定順序中的元素均已按一定順序分別儲存于相應(yīng)的

27、數(shù)組，故分別儲存于相應(yīng)的數(shù)組，故引入位移約束時，要求盡引入位移約束時，要求盡量不要打亂量不要打亂KK、RR的儲存順序的儲存順序。 KR有限元分析有限元分析-單元單元現(xiàn)代設(shè)計方法現(xiàn)代設(shè)計方法3-9 單元載荷移置單元載荷移置 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置( (分解分解) )，而成為，而成為節(jié)點載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有節(jié)點載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就集中力的作

28、用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點載荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不是節(jié)點載荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中可能只作用在節(jié)點上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點移置。力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點移置。 將載荷移置到節(jié)點上，必須將載荷移置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效遵循靜力等效的原則。靜力等的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。