函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用本科畢業(yè)論文

1、安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 學(xué)號： 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用安陽師范學(xué)院人文管理學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘 要函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，同時(shí)也是解決實(shí)際問題求最值的重要方法。本課題從函數(shù)單調(diào)性的概念與定義入手，主要介紹函數(shù)單調(diào)性的若干性質(zhì)和判別方法，然后深入探討和總結(jié)單調(diào)性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用，繼而聯(lián)系實(shí)際，分析單調(diào)性在解決實(shí)際問題中的重要作用，從而總結(jié)出函數(shù)單調(diào)性所適用的條件，應(yīng)用的范圍等。所以，無論是從研究教學(xué)來講，還是實(shí)際應(yīng)用來講，研究函數(shù)的單調(diào)性都具有重要理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。關(guān)鍵詞 ：函數(shù)單調(diào)性，判別，導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用AbstractMonotonic function no

2、t only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then fur

3、ther discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis whats the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research

4、 and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application 目 錄1、前 言12、函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)理論12.1 函數(shù)單調(diào)性的基本概念1 2.2 函數(shù)單調(diào)性的常用定理與性質(zhì)33、函數(shù)單調(diào)性的判別7 3.1 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別7 3.2 高等數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性84、函數(shù)單調(diào)性的

5、解題應(yīng)用8 4.1 單調(diào)性在求極值、最值中的應(yīng)用8 4.2 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用14 4.3 單調(diào)性在求方程解問題中的應(yīng)用15 4.4 單調(diào)性在化簡求值方面的應(yīng)用16 4.5 單調(diào)性在比較大小方面的應(yīng)用175、函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用17 5.1 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用17 5.2 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤中的應(yīng)用18 5.3 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用20 5.4 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用216、結(jié) 論22致謝23參考文獻(xiàn)24 1、前 言單調(diào)性是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要紐帶。研究函數(shù)在無限變化中的變化趨勢，從有限認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變，都要用

6、到單調(diào)性。它的引入為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，為研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、求解方程、比較大小等方面提供了有力的工具。本文將在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上，總結(jié)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的相關(guān)應(yīng)用，并且探討單調(diào)性在利潤最大化、材料優(yōu)化、資源整合和路徑選擇等方面的應(yīng)用。2、函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)理論2.1 函數(shù)單調(diào)性的基本概念2.1.1 函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋喝绻麑儆趦?nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量,當(dāng)時(shí),都有，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。如果對屬于內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量,當(dāng)時(shí),都有，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。若函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,則就說函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減

7、函數(shù)，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。2.1.2 函數(shù)單調(diào)性的意義在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的。函數(shù)的這一性質(zhì)在解決函數(shù)求極值、比較大小、求解方程的根、解不等式等問題時(shí)都有很大的幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中，例如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中如何實(shí)現(xiàn)利潤最大化，在工程領(lǐng)域中如何計(jì)算材料的極限強(qiáng)度，在航空領(lǐng)域中計(jì)算航空器回收落地時(shí)間等等，函數(shù)單調(diào)性都有很重要的應(yīng)用。2.1.3 函數(shù)單調(diào)性的理解 (1) 圖形理解在區(qū)間上，的圖像上升（或下降）是區(qū)間上的增函數(shù)（或減函數(shù)）。OxX1X2y增函數(shù)圖像OxX1X2y減函數(shù)圖像例1 證明函數(shù)上是減函數(shù)。證明：設(shè)是區(qū)間上的任意

8、實(shí)數(shù)，且，則圖像如下:x11001x2f(x2)()(x2)圖1.1.1(2) 正向理解（定義理解）在區(qū)間上單調(diào)遞增，,且；在區(qū)間上單調(diào)遞減，,且。例2 設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，確定的大小關(guān)系。解：函數(shù)是偶函數(shù)，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且即(3) 逆向理解在區(qū)間D上單調(diào)遞增，,且；在區(qū)間D上單調(diào)遞減，,且。例3 已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由已知可知，又是奇函數(shù) 。是定義在上的減函數(shù)， ，解得。(4) 導(dǎo)數(shù)理解設(shè)函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，若，則是減函數(shù)；若，則是增函數(shù)。反之，若函數(shù)是增函數(shù)，則；若函數(shù)是減函數(shù)，則。例4 函數(shù)在是減函數(shù)，求的取值范圍。解：在上遞減，

9、恒成立，則(1) 當(dāng)時(shí)，滿足條件。(2) 當(dāng)時(shí)，只須滿足即可。綜上所述得.2.2 函數(shù)單調(diào)性的常用定理和性質(zhì)2.2.1 最值定理對于在區(qū)間上有定義的函數(shù),如果有,使得對于,都有(或)，則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大值(或最小值)。例1 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。解：由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.故函數(shù)的最大值為2，最小值為0。定理1（最大、最小值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)，使是在上的最大值，又至少有一點(diǎn)，使是在上的最小值。注意，不是任何函數(shù)都有最大值和最小值。例如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)既無最大值又無最小

10、值。2.2.2 有界性定理根據(jù)定理1可知，函數(shù)在其連續(xù)區(qū)間上一定存在最大值和最小值，使任一滿足。該式表明，函數(shù)在區(qū)間上有上界和下界，因此函數(shù)在區(qū)間上有界。定理2 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。2.2.3 零點(diǎn)定理定理3 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。例2 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。證明：設(shè)，則在閉區(qū)間上連續(xù)，并且，根據(jù)零點(diǎn)定理，在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。從而說明了方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。2.2.4 介值性定理定理4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于與之間的任何實(shí)數(shù)(或)，則至少存在一點(diǎn),使得。 2.2.5 極值的判定定理 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)對一切有

11、，則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大（?。┲?，稱點(diǎn)為極大（?。┲迭c(diǎn)。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的極值點(diǎn)，那只就附近的一個(gè)局部范圍來說，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點(diǎn)，都有則是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果對附近的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值, 對應(yīng)的極值點(diǎn)就是（，）。如果就的整個(gè)定義域來說，不一定就是最大值或最小值。定理5（費(fèi)馬定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)。若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有。定理6（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。（1） 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極小值；（2） 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在處取得

12、極大值。 例3 判斷函數(shù)在的單調(diào)性。解：函數(shù)有正有負(fù)，。定理7（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，。（1）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極小值。證明：在情形（1），由于，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性，存在的某個(gè)去心鄰域，在該鄰域內(nèi)有 ； 則在時(shí)，在時(shí)，。由極值的定義可知，函數(shù)在處取得極大值。同理，可證明（2）當(dāng)，函數(shù)在處取得極小值。例4 設(shè)函數(shù)由方程所確定，且。問在處是否取得極值？若取得極值，是極大值還是極小值？解：因?yàn)椋?，即?，。3、函數(shù)單調(diào)性的判別3.1 初等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性的判別在最初對函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們主要學(xué)習(xí)了

13、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。在對這些函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們主要結(jié)合了函數(shù)的圖像來判斷函數(shù)的單調(diào)性。3.1.1 一次函數(shù)單調(diào)性的判別一次函數(shù)的解析式：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。3.1.2 二次函數(shù)單調(diào)性的判別二次函數(shù)的解析式，其圖形形式為拋物線。其中當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線在時(shí)，函數(shù)有最小值，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)；其中當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線在時(shí)，函數(shù)有最大值，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)。3.1.3 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別指數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過點(diǎn)（0,1）。其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減

14、函數(shù),其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。時(shí)，的值越小函數(shù)值下降越快；時(shí)，的值越大數(shù)值增加越快。3.1.4 對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別對數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過點(diǎn)。其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時(shí),的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng)時(shí),的值越大函數(shù)值增加越快。3.2 高等數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（在點(diǎn)仍在鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比，在時(shí)的極限存在，這稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即。 導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在單調(diào)性上就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在

15、點(diǎn)處的切線的斜率，即，其中是切線的的傾角。也就是說若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。例1 求證：當(dāng)時(shí)，。證明：令，則，則故在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)， ，于是在 上單調(diào)遞增，即。4、 函數(shù)單調(diào)性的解題應(yīng)用4.1 單調(diào)性在求極值、最值中的應(yīng)用4.1.1 一元函數(shù)的極值極值定義：一般地，若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)對一切有 則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大值，是極大值點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)對一切有，則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，是極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。例1 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù) (1)求的極值。(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。解：(1)，若=0，

16、則，。當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+極大值極小值的極大值是，極小值是(2)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有，所以曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。結(jié)合的單調(diào)性可知：當(dāng)?shù)臉O大值，即時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上。當(dāng)?shù)臉O小值10即時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上。所以，當(dāng)時(shí)，曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。例2 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（1）求、的值。（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（1），,從而 即是一個(gè)奇函數(shù),所以得，由奇函數(shù)定義得；（2） 由（1）知從而，令=0，解得 ，由，。由此可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；

17、單調(diào)遞減區(qū)間是；進(jìn)而得在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。4.1.2二元函數(shù)的極值對于二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，。令，。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時(shí)有極小值；時(shí)有極大值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處沒有極值；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值。如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組，求出的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處、的值，根據(jù)的符號判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn). 最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的極值。例3 設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值。解：因?yàn)?，所以令得 故將其代入，可得 或 由于所以，故，又，從

18、而點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，極小值為。類似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)是的極大值點(diǎn)，極大值為。4.1.3二元函數(shù)的條件極值（拉格朗日數(shù)乘法）拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題。于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)；（2）由方程組解出，其中點(diǎn)就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn)。拉格朗日數(shù)乘法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論。不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn)。例5 經(jīng)過

19、點(diǎn)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小并求此最小體積。解：設(shè)所求平面方程為因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面方程，即有 (1)設(shè)所求平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍立體的體積為V， 則 (2)原問題化為求目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值作拉格朗日函數(shù) (3)求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：由此方程組和（1）解得a = b = c = 3.由于最小體積一定存在，且函數(shù)有惟一的駐點(diǎn)，故為所求，即平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小，最小體積為。4.1.4函數(shù)的最值函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的如果是函數(shù)的極值點(diǎn)那只就附近的一個(gè)局部范圍來說,是的一個(gè)最大

20、值；如果就的整個(gè)定義域來說，不一定是最大值。關(guān)于極小值也類似。所以在求函數(shù)最值時(shí)，一般在求出各個(gè)駐點(diǎn)的值后還要求出邊界上的值。設(shè)在上連續(xù)，那么在上一定取得最大值和最小值，內(nèi)可導(dǎo)或只有個(gè)別的不可導(dǎo)點(diǎn)，則可以用以下方法求出和及相應(yīng)的最大值與最小值。首先求出的解，即求的駐點(diǎn)；算出在這些點(diǎn)的函數(shù)值；若有不可導(dǎo)點(diǎn)，算出在這些點(diǎn)的函數(shù)值；求出，。最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值。類似可推廣到二元函數(shù)。例6 已知為實(shí)數(shù),。若，求在2，2 上的最大值和最小值。解：由原式得所以由 得,此時(shí)有。由得或當(dāng)在變化時(shí)，的變化如下表-遞增極大值遞減極小值遞增在2,2上的最大值為最小值為。例7 設(shè)，求

21、的最大值。解：是分段函數(shù)，表達(dá)式為： 易得在連續(xù),求導(dǎo)得 由此得時(shí)，在單調(diào)增加；時(shí)， 在單調(diào)減少。故在上的最大值就是在上的最大值。在上解，即，得。又，因此在上的最大值為。4.2 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)y=在定義區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，如果在定義區(qū)間內(nèi)那么函數(shù)在上單調(diào)增加；如果在定義區(qū)間內(nèi)那么函數(shù)在上單調(diào)減少，這是函數(shù)的單調(diào)性，也是應(yīng)用在函數(shù)不等式解題中中最基本性質(zhì)。結(jié)論1 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且滿足如下條件：（1）時(shí)，則有；（2）時(shí)，則有。結(jié)論2 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則有。結(jié)論3 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則有。結(jié)論4 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則有。例 1 求證：證明：令,函數(shù)的定義域是。.令，解得。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),，又

22、，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是0。所以,即例 2 當(dāng) 時(shí),證明不等式成立。證明: 令 ,則有,，即，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，即。例 3 設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)且。求證：證明: 將上限改寫成，設(shè)輔助函數(shù)為則（因?yàn)椋?，所以單調(diào)遞減，故,所以單調(diào)遞減。故其中，所以 4.3 單調(diào)性在求方程解問題中的應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象能直觀地研究圖象的交點(diǎn)，假若能將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，這類問題便可以輕松獲解。例 1 求解方程： 解：令因?yàn)闉樵谏系膯握{(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有即在-2,6上只有一個(gè)根。又把代入時(shí)有，即原方程只有一個(gè)根。例 2 當(dāng)時(shí)，解方程。利用性質(zhì)，若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)與它的反函數(shù)圖象的交點(diǎn)

23、必在直線上。解：設(shè)則有因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，即原方程與方程同解，即為方程：的解。解之得顯然，；又因?yàn)?，所以，故而均為原方程的解?.4 單調(diào)性在化簡求值方面的應(yīng)用對于求代數(shù)式的值，可視為相應(yīng)函數(shù)的一個(gè)特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，有時(shí)能巧妙獲解。例1 設(shè)為實(shí)數(shù)，并滿足 ，求的值。解：由，所以,都是方程的根。構(gòu)造方程，因?yàn)樵诤愠闪?，所以在?nèi)為增函數(shù)，所以方程只有唯一解，即，所以有。例2 設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件求的值解：設(shè)，有,因?yàn)?又,令即為單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，所以，即有。4.5 單調(diào)性在比較大小方面的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性用于比較大小一般性原則：在同一個(gè)函數(shù)中有，當(dāng)函數(shù)在

24、區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)時(shí)有；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)是時(shí)有。函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用于比較大小的一般做法：首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。例 1 設(shè)且，比較。解：因?yàn)樗约从幸驗(yàn)椋环猎O(shè)，在上單調(diào)遞增，則，所以，即。5、函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際中的應(yīng)用主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、資源整合、利潤最大化、路徑選擇等。5.1 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用例1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取使所用材料最?。拷猓航饘亠嬃瞎薷邽?，底面半徑為，材料最省即是表面積最小，且表面積是關(guān)于和的二元函數(shù)，則=+.由常數(shù)（定值），

25、則 =2+（為常數(shù)） 令,則,代入，得，即。例2 橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比，并和高的平方成正比，要將直徑為的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，問斷面的寬和高應(yīng)該各是多少？ 解：設(shè)斷面的寬和高分別是和，則橫梁的強(qiáng)度，又， 故求的最大值即可。由,得=，函數(shù)在上連續(xù)，故必有最大值和最小值，則當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：表 4-1 0 -+00 遞增極大值 遞減0由表可知= =。5.2 單調(diào)性在生產(chǎn)利潤中的應(yīng)用例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投甲、乙兩種原料和（單位：噸）分別是它們各自的投入量，則該產(chǎn)品的產(chǎn)出量為（單位：噸），其中，且。兩種原料的價(jià)格分別為與（單位：萬元噸）。試問，當(dāng)投入兩種原料的總費(fèi)用為（單位：

26、萬元）時(shí)，兩種原料各投入多少可以使該產(chǎn)品的產(chǎn)出最大？解：由題設(shè)只應(yīng)求函數(shù)在條件之下的最大值點(diǎn)，應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，為求的駐點(diǎn)，解方程組 由方程，可得，解得.代入有，解得，。因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問題必有最大產(chǎn)出量，故在兩種原料投入的總費(fèi)用為（萬元）時(shí)，這兩種原料的投入量為（噸），（噸），可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大。例2 某公司通過電臺及報(bào)紙兩種方式做銷售廣告，收入萬元與電視廣告費(fèi)萬元及報(bào)紙廣告費(fèi)萬元之間的關(guān)系為：。(1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最佳廣告策略；(2) 若提供的廣告費(fèi)用為總額15萬元，求相應(yīng)最佳廣告策略。解：(1)利潤函數(shù)為求函數(shù)L的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：解

27、得，。則為惟一的駐點(diǎn)。又由題意，可導(dǎo)且一定存在最大值，故最大值必在這惟一的駐點(diǎn)處達(dá)到。 所以最大利潤為萬元。因此，當(dāng)電視廣告費(fèi)與報(bào)紙廣告費(fèi)分別為萬元和萬元時(shí)，最大利潤為萬元，此即為最佳廣告策略。(2)求廣告費(fèi)用為1.5萬元的條件下的最佳廣告策略，即為在約束條件 下， 求的最大值作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：并和條件聯(lián)立解得，。這是惟一的駐點(diǎn)，又由題意一定存在最大值，故萬元為最大值。5.3 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用例1 如下圖所示，此簡圖為一常見的框架梁結(jié)構(gòu)圖。梁上分布有均布荷載，求此梁最大處彎矩？ 圖4.3.1解：將圖形簡化如下 圖4.3.2（1）求支座反力由和對稱

28、條件知 （2）列出剪力方程和彎矩方程：以左端為原點(diǎn)，并將表示在圖上。（3）依題意得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故時(shí)，取得最大值，,即彎矩最大處在跨中位置。5.4 單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用例1 工廠到鐵路線的垂直距離為,垂足為,鐵路線上距離為處有一原料供應(yīng)站,現(xiàn)要在鐵路之間某處修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)站，再由車站向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為，那么應(yīng)該建在何處，才能是原料供應(yīng)站運(yùn)貨到所需運(yùn)費(fèi)最??？ 圖4.4.1解：設(shè)之間的距離為，則有如果公路費(fèi)用為，那么鐵路運(yùn)費(fèi)為，故原料供應(yīng)站途徑中轉(zhuǎn)站到工廠所需總費(fèi)用為求導(dǎo)得令，即得,解得，（舍去），且是函數(shù)定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，所以是函數(shù)的極小值

29、點(diǎn)，而且也是函數(shù)的最小值。由此可知，車站建于之間并且與相距處時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省。6、總結(jié)本文先通過介紹函數(shù)單調(diào)性的概念、意義及單調(diào)性的判別方法，進(jìn)而歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用，最后結(jié)合實(shí)際生活中的一些問題，從而對函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有了深入理解。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于不僅對單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進(jìn)行了分類歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，像如何做到使材料最省、利潤最大，優(yōu)化路徑等。對于學(xué)習(xí)者來說，通過閱讀這篇論文不僅能系統(tǒng)地掌握單調(diào)性的相關(guān)知識，還能了解單調(diào)性在解決實(shí)際問題中的作用，開闊視野，增加其對單調(diào)性的學(xué)習(xí)興趣。展望未來，隨著相關(guān)理論基礎(chǔ)的不斷充實(shí)，函數(shù)單調(diào)性將會在

30、解決實(shí)際問題中發(fā)揮更大的作用，諸如計(jì)算飛船下落回收時(shí)間，計(jì)算物種成長繁殖速度問題等，這些在目前看來尚不能精確掌握的問題都會迎刃而解。致謝 彈指一揮間，大學(xué)的學(xué)習(xí)生活即將流逝。在這四年里，幸運(yùn)的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學(xué)，正是在他們的關(guān)懷幫助下，我才能從懵懂之童,成長到今天,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。首先我要感謝我們的學(xué)校和老師以及我在同一個(gè)窗檐下學(xué)習(xí)奮斗的兄弟姐妹，為我提供了良好的教育環(huán)境和良好的學(xué)習(xí)氛圍，使得我能夠?qū)W習(xí)成長到今天。更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛母愛，給予了我做人的最基本的道理。他們辛勞一生，把希望都寄托在了我的身上，是他們在物質(zhì)上的資助和精神上的鼓勵，成就了我的今天。非常感謝我的畢業(yè)設(shè)