反例在教學(xué)中的作用(最新整理)_1

1、jiujiang university畢 業(yè) 論 文題目反例在教學(xué)中的作用院系 理學(xué)院專業(yè) 數(shù)學(xué)教育姓名 譚燕燕年級(jí) b0912 班指導(dǎo)教師孔祥文2012 年 4 月 4 日目錄摘要(3)關(guān)鍵詞（3）引 言(3)1 反例的含義(3)2 反例的來源與構(gòu)造（5）3、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用（5）3.1 能夠幫助學(xué)生正確全面地理解數(shù)學(xué)概念（6）例題 1（ 6）3.2 能夠增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯(cuò)誤的觀念（8）例題 2（8）例題 3（9）3.3 使學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理、性質(zhì)（9）例題 4（9）3.4 加深學(xué)生對(duì)教學(xué)公式、法則的正確理解（9）例 5（10）3.5 提高學(xué)生否定錯(cuò)誤的命題的能力（1

2、0）例 6（10）4、運(yùn)用反例必須注意一些問題（11）5、總結(jié)（12）參考文獻(xiàn)(13)14反例在教學(xué)中的作用【摘要】數(shù)學(xué)是一門縝密的科學(xué),它有自己獨(dú)特的思維方式和邏輯推理體系，在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，反例與證明有著同等重要的地位。尤其是在揭示事物的虛假性時(shí)，有其特殊的魅力，起著十分重要的作用。所謂反例,通常是用來說明一個(gè)命題不成立的例,即符合命題的條件但與命題的結(jié)論相矛盾的例。在數(shù)學(xué)中要證明一個(gè)命題成立,就要嚴(yán)格地論證在符合題設(shè)的各種可能的情況下結(jié)論都成立,而要推翻一個(gè)命題,卻只要指出在符合題設(shè)的某個(gè)特殊情況下結(jié)論不成立,也就是只要舉出一個(gè)反例就行。【關(guān)鍵詞】反例來源構(gòu)造辨證作用【引言】反例，就是故意

3、變換事物的本質(zhì)屬性使之質(zhì)變?yōu)槠渌R(shí)，在引導(dǎo)思辯中，從反面突出事物的本質(zhì)屬性的否定例證。在邏輯學(xué)中， 反例是相對(duì)于某個(gè)全稱命題的概念。反例在數(shù)學(xué)、哲學(xué)和自然科學(xué)中都有重要的應(yīng)用。舉例來說，對(duì)一個(gè)命題：所有的天鵝都是白色的。這是一個(gè)全稱命題，聲明對(duì)于某類事物全體（所有的天鵝），都有某個(gè)性質(zhì)（是白色的）。為了說明這個(gè)命題不是真的，只需要舉出一個(gè)例子，其對(duì)象屬于這類事物，但不具有命題中聲稱的性質(zhì)就可以了。這樣的例子稱為反例：一只不是白色的天鵝就是這個(gè)命題的反例。反例的威力來源于形式邏輯，它與證明是相反相成的兩種邏輯方法。論證是用已知為真的判斷，確定另一個(gè)判斷的真實(shí)性；而反例是用已知為真的事實(shí)去揭露另

4、一判斷的虛假性。它們都是為了揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。美國數(shù)學(xué)家 b.r.蓋爾鮑姆說：“冒著過于簡單的風(fēng)險(xiǎn)， 我們可以說（撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談）數(shù)學(xué)由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學(xué)也是朝著兩個(gè)主要的目標(biāo)提出證明和構(gòu)造反例”發(fā)展。數(shù)學(xué)中的反例通常是指符合某個(gè)命題的條件,但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子,也 即指出某命題不成立的例子.在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中,反例和證明有著同等重要的地位.一個(gè)正確的數(shù)學(xué)命題需要嚴(yán)密的證明, 謬誤則靠反例即可否定.如何幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)?首要問題是幫助,促使學(xué)生掌握好基本概念和基本性質(zhì).解決這一問題的有效方式之一,是重視和恰當(dāng)?shù)氖褂梅蠢? 因此,在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,反例有著

5、極為重要的意義,舉反例的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)經(jīng)常為同學(xué)們所用,它會(huì)使同學(xué)們對(duì)概念,定理,公式的理解更全面,透徹, 它在發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)真理,強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解和掌握,以及培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力等方面的意義和作用是不可低估的.在數(shù)學(xué)中，要證明一個(gè)命題成立，需嚴(yán)格地論證由已知條件推理出結(jié)論。而要證明一個(gè)命題錯(cuò)誤，十分簡潔而又極具說服力的辦法就是舉反例。下面我將從反例的來源與構(gòu)造，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，運(yùn)用反例應(yīng)該注意的問題這三個(gè)方面來論述。一， 反例的來源與構(gòu)造對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科證明一個(gè)猜想是真實(shí)的,必須經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證;證明一個(gè)猜想是假的,只須找到猜想命題的反例.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,出現(xiàn)了這樣一種現(xiàn)象

6、,教師為了說明一個(gè)命題為假命題, 舉出一個(gè)反例, 說明反例雖然滿足命題的條件, 卻無命題的結(jié)論, 但反例怎樣得到呢?教師很少分析甚至不做分析.學(xué)生感到老師確實(shí)高明,從肚子里能 掏出一個(gè)一個(gè)非常具有說服力的反例,就像舞臺(tái)上的魔術(shù)師,能從帽子里掏出一個(gè)又一個(gè)白鴿,雖然非常精彩,卻是觀眾學(xué)不會(huì)的. 與獲得證明的方法一樣, 反例的獲得也需要經(jīng)過一系列深層次的思維活動(dòng),其方法 包括:觀察與實(shí)驗(yàn),歸納,分析與綜合,概括與抽象等,反例決不能憑空得到。 第一：從定義入手獲得反例 概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的細(xì)胞,是反映事物本質(zhì)的思維形式.在邏輯學(xué)中,定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方法.在數(shù)學(xué)問題中,若首先給出一個(gè)概念的定義,然

7、后判斷一個(gè)猜想是否正確,則反例的獲得常常需要從定義入手。第二：運(yùn)用特殊化,運(yùn)動(dòng)變化的思想獲得反例特殊化一般是從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合中一上較小的集合或 僅僅一個(gè)對(duì)象,特殊化在求解問題時(shí)常常用到.二， 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用反例的尋找為新興學(xué)科的發(fā)展提供了源泉 被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形(fractal)理論,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支,但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論.它與動(dòng)力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合,相輔相成.它承認(rèn)世界的局部可能在一定條件下.過程中,在某一方面(形態(tài),結(jié)構(gòu),信息,功能, 時(shí)間,能量等)表現(xiàn)出與整體的相似性,它承認(rèn)空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以 是連續(xù)的,因而

8、拓展了視野. 雖然分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特 1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù),集合論創(chuàng)始人康托德國數(shù)學(xué)家)構(gòu) 造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集.1890 年,意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾構(gòu)造了 填充空間的曲線.1904 年,瑞典數(shù)學(xué)家科赫設(shè)計(jì)出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線.1915 年,波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基設(shè)計(jì)了象地毯和海綿一樣的幾何圖形.這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問題而提出的反例, 但它們正是分形幾何思想的源泉.以后,這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多人的注意,先驅(qū)們的工作只 是作為分析與拓?fù)鋵W(xué)教科

9、書中的反例而流傳開來.1，運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)，能夠幫助學(xué)生正確全面地理解數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不僅要運(yùn)用正面的例子加以深刻闡明，而且要通過合適的反例，從另一個(gè)側(cè)面抓住概念的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念進(jìn)一步反思，從而達(dá)到深刻理解和掌握該概念的目的。例 1：關(guān)于函數(shù)的概念，不少學(xué)生片面地認(rèn)為：一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，為了幫助學(xué)生澄清、糾正這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，可向?qū)W生提出這樣的兩個(gè)問題：(1) 人的身高與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？(2) 若 y = tan x cot x， 則 y 是 x 的函數(shù)嗎？結(jié)果不少學(xué)生都認(rèn)為(1)人的身高與年齡有關(guān)系，因而人的身高與年齡構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。

10、而(2)中由于 y = tan x cot x = 1，因變量 y 不隨 x 的變化(y1)，故 y 不是 x 的函數(shù)。老師學(xué)生一起參與討論。發(fā)現(xiàn)問題(1)里，盡管人的身高與年齡有關(guān)系，但年齡并不能確定人的身高，即當(dāng)自變量(人的年齡)發(fā)生變化時(shí)，因變量(身高)沒有完全確定的值和它對(duì)應(yīng)，因此不符合函數(shù)的定義。而在問題(2)里，對(duì)每一個(gè)給定的 x 值(在 x 的定義域內(nèi))，y 隨 x 總有唯一確定的值(y1)和它對(duì)應(yīng)，只不過當(dāng) x 變化時(shí)，y 的值始終不變罷了。由此使學(xué)生認(rèn)識(shí)到 y 是 x 的函數(shù)，并非一定要求 y 隨 x 的變化而變化。通過所舉兩個(gè)反例的學(xué)習(xí)，學(xué)生便自覺地體會(huì)到：對(duì)變量 x 的每

11、一個(gè)確定的值，變量 y 有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，這才是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。教學(xué)中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學(xué)生往往對(duì)一些關(guān)鍵性詞語認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)所給條件理解不透徹，不能抓住它的本質(zhì)屬性，只是機(jī)械地記憶概念、定理的名稱和公式的結(jié)構(gòu)。如果遇到概念、定理、公式的名稱相近或結(jié)構(gòu)類似，就容易造成理解上的混淆。比如“36 的平方根是多少？”有的同學(xué)會(huì)不假思索回答：“6”。說明他們沒有把“一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)”這個(gè)概念搞清楚。此時(shí)只要舉出反例“ (-6) (-6) = 36 ”，就加深了理解，很有說服力。再如：“定理：對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形”與“定理： 對(duì)角線相等且

12、互相垂直平分的四邊形是正方形”內(nèi)容很相近，公式a2 + b2 與(a+b)2 結(jié)構(gòu)形式相近，學(xué)生搞不清楚。因此在教學(xué)中，諸如此類的問題，講述時(shí)多舉反例，（也可鼓勵(lì)學(xué)生舉反例），達(dá)到強(qiáng)化理解的作用。2、引入反例進(jìn)行教學(xué)，能夠增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯(cuò)誤的觀念。學(xué)生在解題中經(jīng)常出現(xiàn)差錯(cuò)且不易發(fā)現(xiàn)、糾正。對(duì)此，可以引入反例，讓學(xué)生學(xué)習(xí)、討論，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法。例 2：學(xué)生在判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例的量時(shí)，往往不是很清楚，如下面的一個(gè)實(shí)例：小美總共要做 10 道數(shù)學(xué)題，已經(jīng)做了的題和沒有做的題是否是成反比例的。錯(cuò)解：已經(jīng)做了的題和沒有做的題是成反比例的。有大多數(shù)的

13、學(xué)生認(rèn)為這是對(duì)的，他們沒有充分理解成反比例的三個(gè)條件，這個(gè)題只滿足了前面的兩個(gè)而沒有滿足第三個(gè)：兩個(gè)量的乘積一定。這個(gè)題是兩個(gè)量的和一定，此刻學(xué)生便清楚地意識(shí)到上面錯(cuò)解的原因，從而更加深刻的理解成反比例的三個(gè)條件。例 3：學(xué)生解有關(guān)分式方程去分母時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，如下面的一個(gè)實(shí)例：解方程：21- x-1 = 1錯(cuò)解:方程兩邊同乘以(1- x) ， 得： 2 - (1- x) = 1 , 即 x0經(jīng)檢驗(yàn)知 x0 是原方程的解。學(xué)生們看完后竟有一半人認(rèn)為這個(gè)解答正確，理由是由把 x0代入方程兩邊相等。于是，我又舉了一個(gè)簡單的分式方程4= 1如何2 - x去分母？此刻學(xué)生便清楚地意識(shí)到上面錯(cuò)解

14、的原因是去分母時(shí)漏乘(方程右邊未乘以(1- x) ，于是學(xué)生便迅速地得出正確解法。通過上面兩個(gè)例子的教學(xué)，例 2:使學(xué)生能更好的理解成反比例的三個(gè)條件是缺一不可的，要同時(shí)滿足三個(gè)條件才是成反比例的量。例 3 加深了學(xué)生對(duì)解分式方程去分母不要漏乘的印象。同時(shí)，也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，解答結(jié)果對(duì)并不能保證解題過程的正確。(有時(shí)計(jì)算結(jié)果往往一種偶然的巧合)，收到了較好的教學(xué)效果。在教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生證明命題時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤或無據(jù)可依。構(gòu)造反例不僅可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，澄清是非，更重要的是從反例中得到較、好的補(bǔ)救。找出自己的漏洞，獲得正確的結(jié)論。3、構(gòu)造反例進(jìn)行教學(xué)，能夠使學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理、性質(zhì)

15、學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理、性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)忽略定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語，從而造成解題的錯(cuò)誤。為了克服這一現(xiàn)象，教學(xué)中要善于構(gòu)造反例，幫助學(xué)生牢記關(guān)鍵詞語，達(dá)到正確理解并掌握定理、性質(zhì)。例 4，垂徑定理的推論 1“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦”，學(xué)生常會(huì)忽略括號(hào)中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學(xué)時(shí)可以構(gòu)造反例，如：圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來糾正這一錯(cuò)誤，加深對(duì)限制條件的理解。4、引用反例進(jìn)行教學(xué)，能夠加深學(xué)生對(duì)教學(xué)公式、法則的正確理解而達(dá)到靈活運(yùn)用學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)公式、法則時(shí)，經(jīng)常會(huì)忽略這些公式、法則的運(yùn)用范圍，使用時(shí)不注意分析具體條件而生搬硬套，鑄

16、成錯(cuò)誤。因此， 教學(xué)中不僅要向?qū)W生講清、交代公式、法則的適用條件，而且要適當(dāng)引用一些反例，加深他們對(duì)這些公式、法則的理解而達(dá)到有效的掌握。例 5： 5 - 2a + a - 3 先化簡，再求值，當(dāng) a=2 時(shí)。甲：原式:=0 乙：原式=2你認(rèn)為誰正確，為什么？此例是有絕對(duì)值的化簡公式的應(yīng)用，導(dǎo)致兩種截然相反結(jié)果的原因是絕對(duì)值中 a-3 的值是大于 0 還是小于 0， 由題意知 a=2 時(shí)a - 3 p 0 ，因此故乙正確。通過此例甲、乙兩同學(xué)計(jì)算過程的對(duì)比，讓我們明顯體會(huì)到今后在化簡有絕對(duì)值式子時(shí)，一定要注意絕對(duì)值內(nèi) a的符號(hào)，否則會(huì)出現(xiàn)兩種完全不同的結(jié)果。5、運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)，能夠提高學(xué)生否

17、定錯(cuò)誤的命題的能力判斷一句話（或一種理論）的真?zhèn)?，首?dāng)其充的方法選擇就是構(gòu)造反例。這是由反例自身的特點(diǎn)決定的。它具有直觀、簡明、清晰、說服力強(qiáng)等特點(diǎn)，因而在澄清是非，揭示錯(cuò)誤，否定命題時(shí)顯示出它特殊的震撼力。數(shù)學(xué)中有些問題，若從正面角度講，學(xué)生會(huì)感到模糊、理解不透， 甚至還會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷，為了提高學(xué)生正確識(shí)別、判斷能力，教學(xué)時(shí)應(yīng)突出反例，借助于反例來提高學(xué)生否定錯(cuò)誤的能力。例 6，負(fù)數(shù)就是在一個(gè)數(shù)的前面加一個(gè)負(fù)號(hào)。許多學(xué)生都認(rèn)為是正確的，其實(shí)，它是一個(gè)假命題，只要構(gòu)建一個(gè)反例即能說明。如果這個(gè)數(shù)本來就是一個(gè)負(fù)數(shù)，在它的前面再加一個(gè)負(fù)號(hào)那么這個(gè)數(shù)就變成了一個(gè)正數(shù)了。再如果這個(gè)數(shù)是 0，在 0

18、的前面加個(gè)負(fù)號(hào)還是 0。所以這句話是錯(cuò)誤的。反例的功能是顯而易見的，通過上面簡單探討，不難看出它是理解數(shù)學(xué)概念的有力工具，也是糾正錯(cuò)誤的有效方法，還是強(qiáng)調(diào)條件的得力措施，更是否定謬論的銳利武器。數(shù)學(xué)是一門縝密的科學(xué),它有自己獨(dú)特的思維方式和邏輯推理體系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生掌握嚴(yán)密的邏輯推理的同時(shí),應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多去舉反例,這才能更深刻掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),多層面、多角度觀察思考問題,提高其數(shù)學(xué)修養(yǎng)與培養(yǎng)科學(xué)研究能力，“反例的運(yùn)用可以強(qiáng)化推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)思維的批判性,發(fā)展逆向思維 想象力和創(chuàng)造性，“舉反例的過程,就是使我們的數(shù)學(xué)能力逐步提高的過程”?？偨Y(jié)：反例在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要注意的一些問題在學(xué)習(xí)中重視

19、和恰當(dāng)運(yùn)用反例,不僅可以調(diào)動(dòng)我們的積極性,養(yǎng)成重視條件,嚴(yán)格 推理的習(xí)慣,而且還可以提高我們的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)能力.三反例的功能和作用雖然很大，但在學(xué)習(xí)中,運(yùn)用反例必須注意一些問題:1. 注意主次.學(xué)習(xí)中主要學(xué)習(xí)概念,定理和方法,對(duì)于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的 證明和推導(dǎo).但舉反例重在說明結(jié)構(gòu),辯清是非,故我們對(duì)反例掌握要求不能太高,它應(yīng)是圍繞主要內(nèi)容而進(jìn)行的有效的輔助學(xué)習(xí)手段。2, 注意適當(dāng).反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的,既要簡單又要能說明問題.學(xué)生自己構(gòu)造的反例難度應(yīng)當(dāng)適當(dāng),以免浪費(fèi)很多時(shí)間和精力,且容易有挫敗感.不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容,對(duì)運(yùn)用不同的反例,有不同的要求. 總之, 只有符合學(xué)習(xí)的實(shí)際情況, 才

20、能使反例在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮真正的作用?？偨Y(jié)：反例能培養(yǎng)學(xué)生良好的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師往往過于偏重演釋論證的訓(xùn)練，注意培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力上。要知道解決問題固然重要，但沒有發(fā)現(xiàn)問題何來的解決問題？為了克服教師的這一習(xí)慣教法，在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于提出問題，不要對(duì)學(xué)生的問題或猜想給予諷刺和挖苦，甚至是打擊，要引導(dǎo)學(xué)生在某些定理的條件、結(jié)論、某些定義的適用范圍等要敢于猜想，對(duì)不是現(xiàn)成的定理要著眼于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，自己提出問題，猜想結(jié)果，使反例這一工具得以充分應(yīng)用，這不僅可以使學(xué)生的創(chuàng)新能力得以提高，同時(shí)更有利于學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)，從而有效地提高教學(xué)質(zhì)量。反例能優(yōu)化解題過程。解

21、題是一種數(shù)學(xué)能力，獲得問題的解答是智力活動(dòng)與非智力活動(dòng)協(xié)調(diào)統(tǒng)一的結(jié)果。對(duì)于中學(xué)生來說，解題是他們必須掌握的數(shù)學(xué)能力。通過解題，可以考察他們對(duì)知識(shí)的掌握情況。某段時(shí)間學(xué)生解題能力的變化，不僅代表著學(xué)生學(xué)習(xí)能力增強(qiáng)或降低，也暗示著學(xué)生在這段時(shí)間的心理特征。因此，教師在教學(xué)過程中更要注重學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，時(shí)刻關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)和心理的變化。學(xué)生在做數(shù)學(xué)題時(shí)遇到難以解決的問題是正常的現(xiàn)象，但是大多數(shù)學(xué)生總是千方百計(jì)地從正面尋找解題的出路，即使在他們一次次失敗之后仍然想不到，是否可以舉出一個(gè)反例來否定命題。參考文獻(xiàn) : 1、王知人.淺談反例的教學(xué)功能.教學(xué)研究.2000 年 9 月第23卷2、郭要紅.反例的來源與潛在功能.數(shù)學(xué)教學(xué).2003 年 6 月3、羅增儒數(shù)學(xué)解題引論陜西師范大學(xué)出版社4、李文銘 初等幾何教學(xué)研究數(shù)學(xué)史陜西師范大學(xué)出版社5、楊放輝中外教學(xué)研究2004 年 3 月6、郭天印教育科學(xué)研究2003