數(shù)字信號(hào)處理第四章

1、第4章 線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析1、 傳輸函數(shù)和頻率響應(yīng)例4.1傳輸函數(shù)分析Q4.1clear;M = input(Enter the filter length M: );w = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = 1;h = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h);gridtitle(Magnitude Spectrum |H(ejomega)|)xlabel(omega /pi);ylabel(Amplitude);subplot(2,1,2)plot(w/pi,an

2、gle(h);gridtitle(Phase Spectrum argH(ejomega)xlabel(omega /pi);ylabel(Phase in radians); M=2 M=10 M=15 幅度譜為偶對(duì)稱，相位譜為奇對(duì)稱，這是一個(gè)低通濾波器。M越大，通帶越窄且過(guò)渡帶越陡峭。Q4.2使用修改后的程序P3.1，計(jì)算并畫出當(dāng)w=0,pi時(shí)傳輸函數(shù)的因果線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。它表示哪種類型的濾波器？w = 0:pi/511:pi;num = 0.15 0 -0.15;den = 1 -0.5 0.7;如下圖1這是一個(gè)帶通濾波器。 圖1 圖2Q4.3對(duì)下面的傳輸函數(shù)重做習(xí)題Q

3、4.2：，式（4.36）和式（4.37）給出的兩個(gè)濾波器之間的區(qū)別是什么？你將選擇哪一個(gè)濾波器來(lái)濾波，為什么？w = 0:pi/511:pi;num = 0.15 0 -0.15;den = 0.7 -0.5 1;如上圖2也是一個(gè)帶通濾波器，這兩個(gè)濾波器的幅度譜是一樣的，相位譜不太一樣，我會(huì)選擇第一個(gè)帶通濾波器，因?yàn)樗南辔蛔V更加平滑，相位失真小。Q4.4 使用MATLAB計(jì)算并畫出當(dāng)w=0,pi時(shí)因果線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的群延遲。系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為。clf;w = 0:pi/511:pi;num = 1 -1.2 1;den = 1 -1.3 1.04 -0.222;h= grpdelay(

4、num,den,w);plot(w/pi,h);xlabel(w/pi);ylabel(群延遲);Q4.5 使用Q3.50中編寫的程序，分別計(jì)算并畫出式（4.36）和式（4.37）確定的兩個(gè)濾波器的沖激響應(yīng)中的前一百個(gè)樣本。討論你的結(jié)果。clf;num = 0.15 0 -0.15;den = 0.7 -0.5 1;L = input(輸入樣本數(shù) L: );g t = impz(num,den,L);stem(t,g);title(前 ,num2str(L), 脈沖響應(yīng)的樣本);xlabel(時(shí)間序號(hào) n);ylabel(hn); （4.36）式 （4.37）式 由圖可知：這些情節(jié)由impz給

5、生成的因果的脈沖響應(yīng)實(shí)現(xiàn)的H(z)。我們觀察到Q4.3因果濾波器與H(z)在(4.36)穩(wěn)定,這意味著Hn是絕對(duì)可和,我們看到交替和指數(shù)衰減的脈沖響應(yīng)。在另一方面,因果編檔人員與H(z)在(4.37)極點(diǎn)以外的單位圓,是不穩(wěn)定的。不足為奇的是,相應(yīng)的hn上圖顯示與n指數(shù)增長(zhǎng)。Q4.6 傳輸函數(shù)的極零點(diǎn)圖同樣能分析線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的性質(zhì)。使用命令zplane可以很容易地得到系統(tǒng)的極零點(diǎn)圖。使用zplane分別生成式（4.36）和式（4.37）確定的兩個(gè)濾波器的極零點(diǎn)圖。討論你的結(jié)果。clf;num = 0.15 0 -0.15;den = 1 -0.5 0.7;z p k = tf2zpk

6、(num,den);disp(Zeros:);disp(z);disp(Poles:);disp(p);input(Hit to continue.);sos k = zp2sos(z,p,k)input(Hit to continue.);zplane(z,p);式（4.36）式（4.37）由圖可知：過(guò)濾器在(4.36)在單位圓和兩極因此它的因果實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定；較低的圖顯示過(guò)濾器(4.37)極點(diǎn)在單位圓外,其因果關(guān)系的實(shí)現(xiàn)是不穩(wěn)定的。2、 傳輸函數(shù)的類型例4.2濾波器Q4.7clf;fc = 0.25;n = -6.5:1:6.5;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5;s

7、tem(k,y);title(N = 14);axis(0 13 -0.2 0.6);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);grid; 圖1圖2如圖1低通有限沖激濾波器的長(zhǎng)度為14，決定濾波器長(zhǎng)度的語(yǔ)句為n = -6.5:1:6.5，而控制截止頻率的參數(shù)是fc = 0.25。Q4.8fc = 0.45;n = -9.5:1:9.5;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+9.5;stem(k,y);title(N = 20);axis(0 19 -0.2 0.7);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude

8、);grid;修改參數(shù)fc和n，得到如上圖2，可知低通有限沖激濾波器的長(zhǎng)度變?yōu)?0.Q4.9clf;fc = 0.65;n = -7.0:1:7.0;y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+7.0;stem(k,y);title(N = 14);axis(0 14 -0.4 1.4);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude);grid;Q4.10clear;N = input(Enter the filter time shift N: );No2 = N/2;fc = 0.25;n = -No2:1:No2;y = 2*fc*sinc(2*

9、fc*n);w = 0:pi/511:pi;h = freqz(y, 1, w);plot(w/pi,abs(h);grid;title(strcat(|H(ejomega)|, N=,num2str(N);xlabel(omega /pi);ylabel(Amplitude); 上圖依次分別為N=5,10,30,100的四幅圖，從這四幅圖可以看出隨著階數(shù)N的增大，低通濾波器的過(guò)渡帶越來(lái)越窄，阻帶衰減越來(lái)越快，濾波器越來(lái)越接近理想低通濾波器。Q4.11clf;M = 2;num = ones(1,M)/M;g,w = gain(num,1);plot(w/pi,g);gridaxis(0 1

10、-50 0.5)xlabel(omega /pi);ylabel(Gain in dB);title(M = ,num2str(M)可以驗(yàn)證3dB截止頻率在/2處。Q4.12clear;K = input(Enter the number of sections K: );Hz = 1;for i=1:K;Hz = conv(Hz,1 1);end;Hz = (0.5)K * Hz;g,w = gain(Hz,1);ThreedB = -3*ones(1,length(g);t1 = 2*acos(0.5)(1/(2*K)*ones(1,512)/pi;t2 = -50:50.5/511:0.

11、5;plot(w/pi,g,w/pi,ThreedB,t1,t2);grid;axis(0 1 -50 0.5)xlabel(omega /pi);ylabel(Gain in dB);title(K = ,num2str(K),; Theoretical omega_c = ,num2str(t1(1); Q4.13clear;M = input(Enter the filter length M: );n = 0:M-1;num = (-1).n .* ones(1,M)/M;g,w = gain(num,1);plot(w/pi,g);grid;axis(0 1 -50 0.5);xla

12、bel(omega /pi);ylabel(Gain in dB);title(M = , num2str(M);其3dB截止頻率約為0.82piQ4.14 設(shè)計(jì)一個(gè)在0.45pi處具有3dB截止頻率wc的一階無(wú)限沖激響應(yīng)低通濾波器和一階無(wú)限沖激響應(yīng)高通濾波器。用MATLAB計(jì)算并畫出它們的增益響應(yīng)，驗(yàn)證設(shè)計(jì)的濾波器是否滿足指標(biāo)。用MATLAB證明兩個(gè)濾波器是全通互補(bǔ)和功率互補(bǔ)的。Q4.15 級(jí)聯(lián)10個(gè)式（4.15）所示一階無(wú)限沖激響應(yīng)低通濾波器，設(shè)計(jì)一個(gè)在0.3pi處具有3dB截止頻率wc的無(wú)限沖激響應(yīng)低通濾波器。把它與一個(gè)具有相同截止頻率的一階無(wú)限沖激響應(yīng)低通濾波器的增益響應(yīng)作比較。Q4.

13、16 設(shè)計(jì)一個(gè)中心頻率wo在0.61pi處、3dB帶寬為0.51pi的二階無(wú)限沖激響應(yīng)帶通濾波器。由于式（4.20）是的二次方程，為了產(chǎn)生相同的3dB帶寬，參數(shù)將有兩個(gè)數(shù)值，得到的傳輸函數(shù)HBP（z）也會(huì)有兩個(gè)不同的表達(dá)式。使用函數(shù)zplane可產(chǎn)生兩個(gè)傳輸函數(shù)的極零點(diǎn)圖，從中可以選擇一個(gè)穩(wěn)定的傳輸函數(shù)。用MATLAB計(jì)算并畫出你所設(shè)計(jì)的濾波器的增益響應(yīng)，并驗(yàn)證它確實(shí)滿足給定的條件。用設(shè)計(jì)的穩(wěn)定無(wú)限沖激響應(yīng)帶通濾波器的傳輸函數(shù)的參數(shù)和，生成一個(gè)二階無(wú)限沖激響應(yīng)帶阻濾波器的傳輸函數(shù)HBS（z）。用MATLAB證明HBP(z)和HBS(z)都是全通互補(bǔ)和功率互補(bǔ)的。 Q4.17 用MATLAB計(jì)算

14、并畫出一個(gè)梳狀濾波器的幅度響應(yīng)，該梳狀濾波器是在L取不同值的情況下，由式（4.40）給出的原型有限沖激響應(yīng)低通濾波器得到的。證明新濾波器的幅度響應(yīng)在處有L個(gè)極小值，在處有L個(gè)極大值，k=0,1,2,3.，L-1.Q4.18 用MATLAB計(jì)算并畫出一個(gè)梳狀濾波器的幅度響應(yīng)，該梳狀濾波器是在L取不同值的情況下，由式（4.42）在M=2時(shí)給出的原型有限沖激響應(yīng)低通濾波器得到的。確定這種梳狀濾波器沖激響應(yīng)的極大值和極小值的位置。從這些情節(jié)我們觀察,梳狀濾波器極距為1k/L,山峰為(2k+1)/L.Q4.19clf;b = 1 -8.5 30.5 -63;num1 = b 81 fliplr(b);n

15、um2 = b 81 81 fliplr(b);num3 = b 0 -fliplr(b);num4 = b 81 -81 -fliplr(b);n1 = 0:length(num1)-1;n2 = 0:length(num2)-1;subplot(2,2,1); stem(n1,num1);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 1 FIR Filter);subplot(2,2,2); stem(n2,num2);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Ty

16、pe 2 FIR Filter);subplot(2,2,3); stem(n1,num3);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 3 FIR Filter);subplot(2,2,4); stem(n2,num4);xlabel(Time index n);ylabel(Amplitude); grid;title(Type 4 FIR Filter);pausesubplot(2,2,1); zplane(num1,1);title(Type 1 FIR Filter);subplot(2,2,2); zplane

17、(num2,1);title(Type 2 FIR Filter);subplot(2,2,3); zplane(num3,1);title(Type 3 FIR Filter);subplot(2,2,4); zplane(num4,1);title(Type 4 FIR Filter);disp(Zeros of Type 1 FIR Filter are);disp(roots(num1);disp(Zeros of Type 2 FIR Filter are);disp(roots(num2);disp(Zeros of Type 3 FIR Filter are);disp(root

18、s(num3);disp(Zeros of Type 4 FIR Filter are);disp(roots(num4); 1型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 1 FIR Filter are 2.9744 2.0888 0.9790 + 1.4110i 0.9790 - 1.4110i 0.3319 + 0.4784i 0.3319 - 0.4784i 0.4787 0.3362 2型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 2 FIR Filter are 3.7585 + 1.5147i 3.7585 - 1.5147i 0.6733 + 2.6623

19、i 0.6733 - 2.6623i -1.0000 0.0893 + 0.3530i 0.0893 - 0.3530i 0.2289 + 0.0922i 0.2289 - 0.0922i3型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 3 FIR Filter are 4.7627 1.6279 + 3.0565i 1.6279 - 3.0565i -1.0000 1.0000 0.1357 + 0.2549i 0.1357 - 0.2549i 0.2100 4型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 4 FIR Filter are 3.4139 1.6541 + 1

20、.5813i 1.6541 - 1.5813i -0.0733 + 0.9973i -0.0733 - 0.9973i 1.0000 0.3159 + 0.3020i 0.3159 - 0.3020i 0.2929 Q4.20用b=1.5 -3.25 5.25 -4代替原來(lái)的b，所得的結(jié)果為 1型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 1 FIR Filter are 2.3273 + 2.0140i 2.3273 - 2.0140i -1.2659 + 2.0135i -1.2659 - 2.0135i -0.2238 + 0.3559i -0.2238 - 0.3559i 0

21、.2457 + 0.2126i 0.2457 - 0.2126i2型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 2 FIR Filter are 2.5270 + 2.0392i 2.5270 - 2.0392i -1.0101 + 2.1930i -1.0101 - 2.1930i -1.0000 -0.1733 + 0.3762i -0.1733 - 0.3762i 0.2397 + 0.1934i 0.2397 - 0.1934i3型有限沖激響應(yīng)濾波器的零點(diǎn)是Zeros of Type 3 FIR Filter are -1.0000 0.2602 + 1.2263i 0.2602 - 1.2263i 1.0000 0.6576 + 0.7534i 0.6576 - 0.7534i 0.1655 + 0.7803i 0.165