《復(fù)變函數(shù)論》教學(xué)大綱(共6頁)

1、復(fù)變函數(shù)論教學(xué)大綱一、課程基本信息中文名稱：復(fù)變函數(shù)論英文名稱：Theory of Functions of Complex Variable課程編號：06109B課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課總學(xué)時(shí)數(shù)：48(理論42，實(shí)踐6)學(xué) 分：3適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)開課系部：應(yīng)用數(shù)學(xué)系先修課程：數(shù)學(xué)分析二、課程性質(zhì)與教學(xué)目的復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)、物理及電子類各專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課，其理論隨著它的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大而發(fā)展成為一門龐大的數(shù)學(xué)分支。一方面講述復(fù)變函數(shù)的基本理論與方法，另一方面滲透復(fù)分析領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)目的使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本內(nèi)容和方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)分析，從事工程和電子應(yīng)用、科研及其它工作打

2、好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。三、 課程教學(xué)基本要求 第一部分 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1、復(fù)數(shù)及其幾何表示內(nèi)容：復(fù)數(shù)域、復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模與輻角。要求：明確幅角的概念，會用模與幅角的性質(zhì)解決一些集合問題。2、復(fù)平面上的點(diǎn)集內(nèi)容：基本概念、區(qū)域。要求：了解其基本概念，明確有關(guān)概念。3、復(fù)變函數(shù)內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)概念、極限與連續(xù)。要求：理解復(fù)變函數(shù)概念、極限、連續(xù)性及其性質(zhì)。4、復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)內(nèi)容：復(fù)球面、擴(kuò)充復(fù)平面 。要求：掌握擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個基本概念。第二部分 解析函數(shù) 1、解析函數(shù)概念及C_R條件。內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)變函數(shù)、C_R條件。要求：深刻理解解析函數(shù)概念，掌握C_R條件，會用其判斷函數(shù)的解析性。2、初等

3、解析函數(shù)內(nèi)容：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)。要求：熟悉指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)及其映照性質(zhì)。3、初等多值函數(shù)內(nèi)容：根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與反三角函數(shù)。要求：了解初等多值函數(shù)。能將初等多值函數(shù)分解為若干個單值函數(shù)。第三部分 復(fù)變函數(shù)的積分1、復(fù)變函數(shù)積分的概念及其性質(zhì)內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)積分的定義、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)。要求：理解并掌握復(fù)變函數(shù)積分的概念及其性質(zhì)。2、柯西積分定理內(nèi)容：柯西積分定理、不定積分、柯西積分定理的推廣。要求：熟練掌握柯西積分定理，并能靈活應(yīng)用。3、柯西積分公式及其推論內(nèi)容：柯西積分公式、解析函數(shù)的無窮可微性、柯西不等式與劉維爾定理、摩勒拉定理。要求：

4、靈活運(yùn)用柯西積分公式，深刻理解解析函數(shù)的無窮可微性，掌握摩勒拉定理。4、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系內(nèi)容：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。要求：明確解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。第四部分 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法 1、復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。要求：掌握復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念與性質(zhì)，能將解析函數(shù)表示為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。2、冪級數(shù)內(nèi)容：冪級數(shù)的斂散性、收斂半徑R的求法、冪級數(shù)和的解析性判斷。要求：掌握冪級數(shù)的收斂半徑求法及其性質(zhì)，判斷冪級數(shù)和的解析性。3、解析函數(shù)的泰勒（Taylor）展式內(nèi)容：泰勒定理、冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況、一些初等函數(shù)的泰勒展式要求:掌

5、握解析函數(shù)的泰勒展式，會求初等函數(shù)的泰勒展式。4、解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理內(nèi)容：解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性、唯一性原理、最大模原理要求：明確解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理第五部分 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn) 1、解析函數(shù)的洛朗展式內(nèi)容：雙邊冪級數(shù)、解析函數(shù)的洛朗展式、洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式要求：會求解析函數(shù)的洛朗展式，理解洛朗展式和泰勒展式的關(guān)系。2、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)內(nèi)容：孤立奇點(diǎn)的三種類型、可去奇點(diǎn)、施瓦茨（Schwarz）引理、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)、皮卡（Picard）定理。要求：切實(shí)掌握孤立奇點(diǎn)的三種類型及其判斷方法和性質(zhì)，了解皮卡（Picard）

6、定理。3、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)內(nèi)容：解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。要求：了解解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)，會判斷無窮遠(yuǎn)點(diǎn)孤立奇點(diǎn)類型。4、整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念內(nèi)容：整函數(shù)、亞純函數(shù)要求：了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念及其性質(zhì)第六部分 留數(shù)理論及其應(yīng)用1、留數(shù)內(nèi)容：留數(shù)的定義及留數(shù)定理、留數(shù)的求法、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)要求：掌握留數(shù)定理及其留數(shù)求法，理解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)和有限點(diǎn)留數(shù)的關(guān)系，理解留數(shù)和復(fù)變函數(shù)積分的關(guān)系。2、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分內(nèi)容：計(jì)算型積分、計(jì)算型積分、計(jì)算 型積分、積分路徑上有奇點(diǎn)的積分、應(yīng)用多值函數(shù)的積分。要求：會用用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分，了解積分路徑上有奇點(diǎn)的積分和應(yīng)用多值函數(shù)的積分

7、。3、輻角原理及其應(yīng)用內(nèi)容：對數(shù)留數(shù)、輻角原理、儒歇定理。要求：理解輻角原理，掌握儒歇定理。第七部分 共形映射1、解析變換的特性內(nèi)容：解析變換的保域性、解析變換的保角性-導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單葉解析變換的共形性。要求：掌握解析變換的特性，深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明確共形映射的概念。2、分式線性變換內(nèi)容：分式線性變換及其分解、分式線性變換的共形性、分式線性變換的保交比性。要求：掌握分式線性變換及其性質(zhì)。3、某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射內(nèi)容：冪函數(shù)與根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射、儒可夫斯基函數(shù)的單葉性區(qū)域要求：深刻理解某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射。4、關(guān)于共形映射的黎

8、曼存在定理和邊界對應(yīng)定理內(nèi)容：黎曼存在定理、邊界對應(yīng)定理。要求：了解黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理。第八部分 解析延拓 1、解析延拓的概念與冪級數(shù)延拓內(nèi)容：解析延拓的概念、解析延拓的冪級數(shù)方法要求：了解解析開拓的概念和一般原理。2、透弧解析延拓、對稱原理內(nèi)容：透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨對稱原理。要求：了解透弧解析延拓，了解對稱原理。3、完全解析函數(shù)及黎曼面的概念內(nèi)容：完全解析函數(shù)、單值性定理、黎曼面的概念。要求：了解完全解析函數(shù)及黎曼面的概念。第九部分 調(diào)和函數(shù)1、平均值定理與極值原理內(nèi)容：平均值定理、極值原理。要求：了解平均值定理與極值原理。2、泊松積分公式與狄利克雷問題內(nèi)容：泊松積分公式、

9、狄利克雷問題、單位圓內(nèi)狄利克雷問題的解、上半平面內(nèi)狄利克雷問題的解。要求：了解泊松積分公式與狄利克雷問題。四、有關(guān)教學(xué)環(huán)節(jié)的要求 1、以課堂教學(xué)與多媒體教學(xué)為主，自學(xué)為輔，教學(xué)形式以理論教學(xué)為主。2、解題練習(xí)時(shí)數(shù)學(xué)課教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，每次課布置作業(yè)一次。3、組織學(xué)生2-3次課外實(shí)踐活動。培養(yǎng)學(xué)生科研意識?？己朔绞剑嚎荚嚕徊捎瞄]卷考試形式進(jìn)行，考試內(nèi)容覆蓋考試大綱80%以上內(nèi)容，難易程度適中，客觀題占40%左右，主觀題占60%左右。題型要求靈活，具有一定的應(yīng)用性，注重實(shí)踐性題目逐年增加，比重要逐步增加，提高學(xué)生創(chuàng)新和實(shí)踐的能力。五、學(xué)時(shí)分配 課程學(xué)時(shí)分配表部分節(jié)序號主要內(nèi)容講授學(xué)時(shí)習(xí)題課小計(jì)第一部分復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)404第二部分解析函數(shù)606第三部分復(fù)變函數(shù)的積分808第四部分解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法606第五部分解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)808第六部分留數(shù)理論及其應(yīng)用808第七部分共形映射404第八部分解析延拓202第九部分調(diào)和函數(shù)202總 計(jì)48048六、使用教材與主要教學(xué)參考書 1鐘玉泉編復(fù)變函數(shù)論北京：高等教育出版社,2004