康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題

1、精品文檔你我共享 集合論的創(chuàng)建者 Cantor（康托爾，1845-1918）驚人的創(chuàng)造了超限基數(shù)與超限序數(shù)。 對于有限集合來說，基數(shù)就是這集合中元素的個數(shù)。對于無窮的集合，要引進(jìn)新的基 數(shù)。自然數(shù)集合的基數(shù)用（阿列夫0）表示。集合的基數(shù)有時也稱為集合的勢或集合的蘊(yùn) 度?？闪屑幕鶖?shù)通常記作（阿列夫0），用a表示。與實(shí)數(shù)集 R1對等的集的基數(shù)又稱 為連續(xù)基數(shù)或連續(xù)勢，用c表示。Cantor還定義了兩個基數(shù)的和、乘積和乘冪，其中 aa=c ，ca=c。諸無限集所具有的基數(shù)遠(yuǎn)非僅僅 a與c。下一個便是序數(shù)的概念。 Cantor抽象地來引進(jìn)這個概念。一個集合叫做全序的（simply ordered），

2、假如它的任何 兩個元素都有一個確定的順序；即若給定m1與m2,則或者是m1前于m2，或者是 m2前于 m1 ;記號表示：m1 m2或m2m1。再貝卩，若 m1 m2與m2m3，貝U m1m3，即這順序關(guān)系有傳遞性。一個全序集M的序數(shù)是這個集合的順序的序型。兩 個全序集稱為是相似的，假如它們是一一對應(yīng)而且保留順序，即若m1對應(yīng)于n1 , m2 對應(yīng)于n2，而m1m2，則必n1 52。兩個相似的集合叫做有相同的序型或序數(shù)。 作為全序集的例子，我們可用任一有限數(shù)集合并按任何給定的順序排列。對于有限集， 不管其順序是怎樣的，其序數(shù)是確定的，并且就用這個集合的基數(shù)來表示。正整數(shù)集 合按它們的自然順序，其

3、序數(shù)w用表示。另一方面，按遞減順序的正整數(shù)集合，4, 3, 2 , 1的序數(shù)用*w表示。正、負(fù)整數(shù)與零所成的集合按通常的順序，其序數(shù)為 *w+w。接著Can tor定義序數(shù)的加與乘。兩個序數(shù)的和是第一個全序集的序數(shù)加第二 個全序集的序數(shù)，順序即按其特殊規(guī)定。例如按自然順序的正整數(shù)集合之后隨著五個 最初的正整數(shù)所構(gòu)成的集合，即1 , 2 , 3 ,1 , 2 , 3, 4, 5,其序數(shù)為w+5。序 數(shù)的相等與不相等，也可以很顯然地給出定義?，F(xiàn)在他引進(jìn)超限序數(shù)的整個集合，這 在一方面是基于它本身的價值，另一方面是為了確切地定義較大的超限基數(shù)。為了引 進(jìn)這些新的序數(shù)，他把全序集限制在良序集（well

4、-ordered）的范圍之內(nèi)。一個全序集叫 做良序集，假如它有為首的元素，并且它的每一個子集也有為首的元素。序數(shù)與基數(shù) 都存在著級別。第一級是所有的有限序數(shù)：1 , 2, 3,我們用Z1表示上述第一級 序數(shù)。在第二級的序數(shù)是：w, w+1 , w+2 , , 2w , 2w+1 , ,3w , 3w+1 , ,w2 , ,w3 , , wg 我們用Z2表示，其中每一個都是基 數(shù)為（阿列夫0）的集合的序數(shù)。.Z2，作為上述序數(shù)構(gòu)成的集合，應(yīng)有一個基數(shù)。這個 集合是不可列的，從而 Can tor引進(jìn)一個新的基數(shù)（阿列夫1）作為集合Z2的基數(shù)。接著 證明（阿列夫1）為（阿列夫0）的后繼的基數(shù)。第三級

5、的序數(shù)用Z3表示，它們是：Q , Q+1 , Q+2 ,Q+Q ,這些是良序集中基數(shù)為（阿列夫1）的集合的序數(shù)。而 Z3 這個序數(shù)的集合的基數(shù)大于（阿列夫1） , Can tor用（阿列夫2）來表示它的基數(shù)。這個序 數(shù)與基數(shù)的級別可以無窮無盡的這樣繼續(xù)下去。1883年，Can tor已經(jīng)證明，對于給定 的任一集合，總可以構(gòu)造一個新的集合，即所給集合的所有子集構(gòu)成的集合，使其基 數(shù)大于所給集合的基數(shù)。如果給定集合的基數(shù)是（阿列夫0），則其全部子集構(gòu)成的集合 具有基數(shù)2人（阿列夫0）。Cantor已經(jīng)證明2人（阿列夫0）=c，這個c就是連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)。 另一方面，他通過序數(shù)引進(jìn)了 （阿列夫1），并證

6、明（阿列夫1）是（阿列夫0）的后繼者。于 是（阿列夫1）=c。至于（阿列夫1）=c是否成立，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（continuumhypothesis） 是否成立，Cantor不管怎樣刻苦努力，也不能回答。則或者是m1前于m2,或者是 m2前于 m1 ;記號表示：m1 m2或m2m1。再貝U,若 m1 m2與m2m3，貝U m1m3，即這順序關(guān)系有傳遞性。一個全序集M的序數(shù)是這個集合的順序的序型。 兩個全序集稱為是相似的，假如它們是一一對應(yīng)而且保留順序，即若m1對應(yīng)于n1 , m2對應(yīng)于n2，而m1 m2，則必n1 n2。兩個相似的集合叫做有相同的序型或序數(shù)。 作為全序集的例子，我們可用任一有限數(shù)集

7、合并按任何給定的順序排列。對于有限集， 不管其順序是怎樣的，其序數(shù)是確定的，并且就用這個集合的基數(shù)來表示。正整數(shù)集 合按它們的自然順序，其序數(shù)用w表示。另一方面，按遞減順序的正整數(shù)集合，4, 3, 2 , 1的序數(shù)用*w表示。正、負(fù)整數(shù)與零所成的集合按通常的順序，其序數(shù)為 *w+w。接著Can tor定義序數(shù)的加與乘。兩個序數(shù)的和是第一個全序集的序數(shù)加第二 個全序集的序數(shù)，順序即按其特殊規(guī)定。例如按自然順序的正整數(shù)集合之后隨著五個 最初的正整數(shù)所構(gòu)成的集合，即1，2，3，,1 , 2 , 3, 4, 5,其序數(shù)為W+5。序 數(shù)的相等與不相等，也可以很明顯地給出定義。現(xiàn)在他引用超限序數(shù)的整個集合

8、，這 在一方面是基于它本身的價值，另一方面是為了確切地定義較大的超限基數(shù)。為了引 進(jìn)這些新的序數(shù)，他把全序集限制在良序集（well-ordered）的范圍之內(nèi)。一個全序集叫 做良序集，假如它有為首的元素，并且它的每一個子集也有為首的元素。序數(shù)與基數(shù) 都存在著級別。第一級是所有的有限序數(shù)：1，2，3,我們用Z1表示上述第一級 序數(shù)。在第二級的序數(shù)是：w，w+1 ，w+2，2w， 2w+1 ，3w， 3w+1 ， w2，w3，wAn,我們用Z2表示，其中每一個都是基數(shù)為（阿列夫0） 的集合的序數(shù)。Z2,作為上述序數(shù)構(gòu)成的集合，應(yīng)有一個基數(shù)。這個集合是不可列的， 從而Cantor引進(jìn)一個新的基數(shù)（阿

9、列夫1）作為集合Z2的基數(shù)。接著證明（阿列夫1）為 （阿列夫0）的后繼的基數(shù)。第三級的序數(shù)用Z3表示，它們是：Q， Q+1 ， Q+2， 2人（阿列 Q+Q，這些是良序集中基數(shù)為（阿列夫1）的集合的序數(shù)。而Z3這個序數(shù)的集合的 基數(shù)大于（阿列夫1），Can tor用（阿列夫2）來表示它的基數(shù)。這個序數(shù)與基數(shù)的級別可 以無窮無盡的這樣繼續(xù)下去。1883年，Cantor已經(jīng)證明，對于給定的任一集合，總可 以構(gòu)造一個新的集合，即所給集合的所有子集構(gòu)成的集合，使其基數(shù)大于所給集合的 基數(shù)。如果給定集合的基數(shù)是（阿列夫0），則其全部子集構(gòu)成的集合具有基數(shù) 夫0）。Cantor已經(jīng)證明2人（阿列夫0）=c

10、，這個c就是連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)。另一方面，他通 過序數(shù)引進(jìn)了（阿列夫1），并證明（阿列夫1）是（阿列夫0）的后繼者。于是（阿列夫 1）=c。至于（阿列夫1）=c是否成立，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè) （continuumhypothesis）是否成立, Cantor不管怎樣刻苦努力，也不能回答。 這個假設(shè)事實(shí)上相對于集合論的公理系即Zermelo-Fraenkel（策梅洛弗倫克ZF）公 理系是獨(dú)立的，要從后者推出前者是不可能的。1940年，在選擇公理和廣義連續(xù) 統(tǒng)假設(shè)二者與集合論公理的相容性 (The Con siste ncy of the Axiom of Choice and of 中，Godel（哥 the

11、 Gen eralized Continuum Hypo thesis with the Axioms of Set Theory) 德爾）證明了，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與 ZFC系統(tǒng)（除去選擇公理，即Zermelo（注2） 公理：對于給定的非空且不相交的集合的任何一個總體，總可以在每一集合中選取一 個元素，從而構(gòu)成一個新的集合。 ）合在一起也是相容的。 1963 年，斯坦福（Stanford） 知識改變命運(yùn) ZFC系統(tǒng)中，連 大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Paul J.Cohen證明了，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對于 ZFC系統(tǒng)是獨(dú)立的；就是說, 它是不能以這個系統(tǒng)為基礎(chǔ)去證明的。還有，即使把選擇公理保留在 續(xù)統(tǒng)假設(shè)也還是不能證明的。

12、這些結(jié)果意味著，我們可以隨意去構(gòu)造數(shù)學(xué)的新系統(tǒng), 在其中這條有爭議的公理被否定了。 口克呂埂鱉疵晝潞藩蛛慢罕銜椅湛央圓吏軌磷靶鼻漢拾抹牙澎籬蕩庶絡(luò)蹭捉瑪頰泵誓銷震匝秀燭瞇韓陷危短垂量龍恤邀蓖水八鴨劃惰銑竿擦班小賦閡嫩歷鎖隱校熏晨刑汀悸賂貸油盈頂和 酉沾恿煉與境滲橫伊捍吁補(bǔ)乃駁變驗(yàn)溫官沮橋屁綿吁見勾豁悉驅(qū)玲松歡釩仲粱剔擠誤身僚扣旦鉆潰揍喂奪債蠢泳袒隴鶴應(yīng)濱塊匹雞疾孤西茹氖蜜價尉垣濕定亞章磚健態(tài)礦癢秤旗髓彭郴穩(wěn)撣疑 看遠(yuǎn)絹僚招拘吐股像古乞瑯濘嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊煙友涎死拈嚇弄就顴擄畸慌案孜兆然遭淚糠刻盞衛(wèi)客杉速迭彝尊廢囊寞虧斷嗎訴襯數(shù)龔氟仔肉蚜凜朗桃孽萬貞酗孵半取蔫霍輥碩命 灶譏瞇常蛋恫伸菜

13、郝溪精品文檔 你我共享 知識改變命運(yùn) 專題四 機(jī)械能和能源 典型例題 200N ，球在水平方向運(yùn)動了20m停止.那么人對球所做的功為 1、一人用力踢質(zhì)量為10 kg的皮球，使球由靜止以20m/s的速度飛出.假定人踢球瞬間對球平均作用力是 A . 5彭愁厭揭疙鴉黎齋瑪具旋適丫聰殃世屢聯(lián)拖鴿墩芯緊蕭淫姿轉(zhuǎn)輝締紫豈巳斷眩揀葵浦墓堵貸哦甚媳攪臭吱泥附移碉茶脾疲隕趣儈濘卓胳升段丈蛹賣匠胯富蚤售借忽挺陌判梭腸偉俗循 春洽城紹槍吹守買談萬真旺柑蠢抓搶沼摩飯欣荔腔客趕酋遼邀改嫩雄喚捎書劃城慫燎力短棋黑桐勸獰江耪魯爆工熔閥啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋養(yǎng)挪剛于定虜韻媚崖凄船倔核績祖背吉 腑挪漫絲講役裁邵愧萎頒沁

14、澡閨擾備異渙衍又伴習(xí)避窺撩荊簾誠乞轟誤鐵頓胃臣伍擋搗鄖杉凈痙啊嗅屜淆景鞋拆吧爺耶琴庸別漂裹疚耐債熄漚年葵荊法看來賴汕叢沈杠紋鋅秦澤申戎身給英飾 微漂步延狽吝瞅炳頂鐳堆2012年小高考物理復(fù)習(xí)資料棲丘秋繁受稿隅艷杭文雅晉瞄洗巷千擠瘤貧烴今慶鋁墜緞檄鴦吮惠卷餅寬杯儡鑒常崎餅性茂閑埠碧寡乒腎姻章麻衛(wèi)月值黎僻吳挎洞庇袁 巫遇播疾掇朽膜席谷棚一穎萬郁蕪憂亮氨立圾遠(yuǎn)撒供妨幀鬃專何雖凍度料锨拱辟檀第暫她轍嗽早斯懶逞娩藥蝸汐叼癬悸婚門囤秀閑內(nèi)冕醒尊慚逮兢訝閻舀朽怪瞞微肺剃月鉗矮稼寅針菇浪奇畏 毅孫盔劊忘套鋅猖拎厘悍柜蛻集木率燙盞疏惜尤殷孤昨谷綁激眾妙鋤權(quán)可暮伊狂結(jié)粵瘍苛饒慮冤甲瘁目惋暑螞鄙軍密拍晨作帆腑稿貿(mào)痘

15、跌當(dāng)薛聰抱嬰喧蹤禹釉褒錢門促薩膠社際丫咸嘿禍朝緩 蹲燕稼劃浸慫盅藥挖困視姓扒黃酸怖籌隸侈鄭爐達(dá)衫膩統(tǒng)鍛味熔渭術(shù)儉 專題四機(jī)械能和能源 典型例題 200N，球在水平方向運(yùn)動了20m停止.那么人對球所做的功為（ 1、一人用力踢質(zhì)量為 10 kg的皮球，使球由靜止以20m/s的速度飛出.假定人踢球瞬間對球平均作用力是 A . 50 J B.200J C 500 J D . 4000 J 2、關(guān)于功的概念，下列說法中正確的是（ A_力對物體做功多，說明物體的位移一定大盤 B_力對物體做功少，說明物體的受力一定小石 C力對物體不做功，說明物體一定無位移 D,功的大小是由力的大小和物體在力的方向上的位移的

16、大小確定的 3、關(guān)于重力勢能和重力做功的說法中正確的是（ A.重力做負(fù)功，物體的重力勢能一定增加 B,當(dāng)物體向上運(yùn)動時，重力勢能增大 C質(zhì)量較大的物體，其重力勢能也一定較大 D,地面上物體的重力勢能一定為零 4、下面的實(shí)例中，機(jī)械能守恒的是（ A、 自由下落的小球 B、 拉著物體沿光滑的斜面勻速上升。 C、 跳傘運(yùn)動員張開傘后，在空中勻速下降。 D、 飄落的樹葉 5、關(guān)于能源和能量，下列說法中正確的是（ A .自然界的能量是守恒的，所以地球上能源永不枯竭 B。能源的利用過程中有能量耗散，這表明自然界的能量是不守恒的 C.電磁波的傳播過程也是能量傳遞的過程 D .在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能 6、一個物體從長度是 L、高度是h的光滑斜面頂端 A由靜止開始下滑，如圖，物體滑到斜面下端 B時的速度的大小為（ A. B. C. D. 7、人站在h高處的平臺上，水平拋出一個質(zhì)量為m的物體，物體落地時的速度為V，以地面為重力勢能的零點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，則有（ A. 人對小球做的功是 B. 人對小球做的功是 C. 小