計算方法復習

1、1計算方法復習計算方法復習2n計算方法與誤差計算方法與誤差n插值法與數(shù)值微分插值法與數(shù)值微分n數(shù)據(jù)擬合法數(shù)據(jù)擬合法n數(shù)值積分數(shù)值積分n解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法n解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法n非線性方程求解非線性方程求解3計算方法與誤差計算方法與誤差n了解產生誤差的主要來源；了解產生誤差的主要來源；n掌握絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差掌握絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限、有效數(shù)字的概念以及它和相對誤差限、有效數(shù)字的概念以及它們之間的關系；們之間的關系；n了解四則運算中的誤差傳播公式。了解四則運算中的誤差傳播公式。41.1.精確值精確值x=36.85x=36.

2、85用四舍五入保留三位有效數(shù)字用四舍五入保留三位有效數(shù)字的近似數(shù)為的近似數(shù)為 36.936.9 。 2.2.數(shù)值運算中必須遵循如下原則數(shù)值運算中必須遵循如下原則 避免相近兩數(shù)避免相近兩數(shù)相減，防止有效數(shù)字消失相減，防止有效數(shù)字消失 、防止大數(shù)吃掉小防止大數(shù)吃掉小數(shù)數(shù) 和和絕對值相對太小的數(shù)不宜作除數(shù)絕對值相對太小的數(shù)不宜作除數(shù) 、盡量盡量簡化運算步驟，減少運算次數(shù)簡化運算步驟，減少運算次數(shù) 、 選取數(shù)值穩(wěn)選取數(shù)值穩(wěn)定的算法定的算法。 3.3.設精確值設精確值x=256.356x=256.356的近似值為的近似值為256.36256.36，此近，此近似值有似值有 5 5 位有效數(shù)字，其相對誤差限

3、為位有效數(shù)字，其相對誤差限為 0.00156%0.00156%。 5要使 的近似值的相對誤差限不超過0.1%，應取幾位有效數(shù)字？ 解：因為解：因為 ， ，.316624. 311 31x設所求近似數(shù)有設所求近似數(shù)有n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字， )1(1*1021nrx%1 . 010321)1(n5n116插值法與數(shù)值微分插值法與數(shù)值微分n理解插值函數(shù)、插值節(jié)點等概念；理解插值函數(shù)、插值節(jié)點等概念；n掌握掌握Lagrange插值多項式的公式；插值多項式的公式；n掌握掌握Newton插值多項式的公式，了解差商的插值多項式的公式，了解差商的概念和性質，掌握差商、差分的計算；概念和性質，掌握差商、差分

4、的計算；n掌握掌握Hermite插值多項式的求解；插值多項式的求解；n了解分段線性插值的方法。了解分段線性插值的方法。71.1.設設f f（x x）= = ，則，則 _， _。2.2.設設 為互異節(jié)點為互異節(jié)點, , 為對應的為對應的5 5次次LagrangeLagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù), ,則則 _, _, 。3.3.滿足條件滿足條件P P（0 0）= = ，P P（2 2）=2=2的插值的插值多項式為多項式為_。1347xxx2.22710，f2.2 ,2810f)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( ixi)(xli505)0(iiilx50345)() 12(iiiii

5、xlxxx0)0( P8已知已知 1 1 求求 ；2 2 求求 的三次牛頓插值多項式的三次牛頓插值多項式 ；3 3 求求 的近似值。的近似值。17)2(,11) 1 (, 5)0() 1(ffff2 , 1 , 0 , 1f)(xf)(3xN)5 . 0(f)(xfx-1 50 5 01 11 6 32 17 6 0 -1解：列差商表如下：1. f-1,0,1,2=-12. 543) 1)(1() 1(35)(233xxxxxxxxxN3. 8/61524/38/1)2/1 (f9數(shù)據(jù)擬合法數(shù)據(jù)擬合法n掌握線性擬合和二次多項式擬合的方法；掌握線性擬合和二次多項式擬合的方法；n掌握最小二乘解的求

6、解。掌握最小二乘解的求解。10用經(jīng)驗公式用經(jīng)驗公式 按最小二乘法擬合下列數(shù)據(jù)按最小二乘法擬合下列數(shù)據(jù)解：建立正規(guī)方程組解：建立正規(guī)方程組 0 . 18 . 05 . 02 . 0021012iiyxbxay26. 0, 5 . 06 . 25 . 210005baba所以擬合曲線為所以擬合曲線為 xy26. 05 . 011求方程組求方程組 的最小二乘解。的最小二乘解。 解：由解：由 522423221212121xxxxxxxx54322211211122211111221121115432222111112121xxxx10/17/19119100072121xxxx12數(shù)值積分數(shù)值積分n

7、理解數(shù)值積分的基本概念；理解數(shù)值積分的基本概念；n掌握代數(shù)精度的概念；掌握代數(shù)精度的概念；n了解了解Newton-Cotes求積公式和求積公式和Cotes系數(shù)的性質。系數(shù)的性質。13設求積公式設求積公式 是插值型的，確定其是插值型的，確定其待定參數(shù)和代數(shù)精度。待定參數(shù)和代數(shù)精度。 解：解：)21()0()21()(21011fAfAfAdxxf3/4)2(1120dxxxA3/2)2/10)(2/10()2/1)(2/1(111dxxxA3/4)02/1 (1)0)(2/1(112dxxxA所以求積公式為所以求積公式為 )21(34)0(32)21(34)(11fffdxxf當當 時，時， 1

8、)(xf左邊左邊=2=2，右邊，右邊=2=2； 當當 時，時， xxf)(左邊左邊=0=0，右邊，右邊=0=0； 當當 時，時， 2)(xxf左邊左邊=2/3=2/3，右邊，右邊=2/3=2/3； 當當 時，時， 3)(xxf左邊左邊=0=0，右邊，右邊=0=0； 當當 時，時， 4)(xxf左邊左邊=2/5=2/5，右邊，右邊=1/6=1/6； 所以該求積公式有所以該求積公式有3 3次代數(shù)精度次代數(shù)精度 14解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法n掌握掌握Guass消去法的基本思想，熟練掌握消去法的基本思想，熟練掌握Guass順序消去法和列主元消去法；順序消去法和列主元消去法；n掌握掌握G

9、uass-Jordan消去法；消去法；n掌握矩陣的三角分解法；掌握矩陣的三角分解法；n掌握平方根法；掌握平方根法；n掌握向量與矩陣范數(shù)的計算、條件數(shù)的計算。掌握向量與矩陣范數(shù)的計算、條件數(shù)的計算。151.設設 ，則，則 10 ， 5/2 。 7337AA)(2Acond2. 2. 用列主元消元法解線性方程組用列主元消元法解線性方程組 20111 . 031045321321xxx解：解： 255 . 20112 . 1001045211 . 03132101045111 . 0301045132196. 14 . 100255 . 2001045所以原方程組的解為所以原方程組的解為 4 . 1

10、22 . 1321xxx163. 3. 用三角分解法解線性方程組用三角分解法解線性方程組 解：原方程組解：原方程組 由由 9539252632321321321xxxxxxxxx9962441321153121321xxx2436996153121321321yyyyyy由由 11124362441321321321xxxxxx17解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法n掌握掌握Jacobi迭代和迭代和G-S迭代法；迭代法；n掌握掌握Jacobi迭代和迭代和G-S迭代法的收斂性。迭代法的收斂性。18解：解： jacobijacobi迭代法的迭代公式為迭代法的迭代公式為1 , 04/ )122

11、(11/ )334(8/ )2023()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk前前3 3個迭代值為個迭代值為例：分別用例：分別用jacobijacobi迭代法和迭代法和G-SG-S迭代法解線性方程組迭代法解線性方程組12423311420238321321321xxxxxxxxx以以 為初始向量，計算前為初始向量，計算前3 3個迭代值，并與精確解個迭代值，并與精確解 作比較。作比較。Tx)0 , 0 , 0()0(T) 1 , 2 , 3(Tx)0000. 3 ,0000. 3 ,5000. 2()1(Tx)0000. 1 ,3636.

12、 2 ,8750. 2()2(Tx)97159. 0 ,0455. 2 ,1364. 3()3(19G-SG-S迭代法的迭代公式為迭代法的迭代公式為1 , 04/ )122(11/ )334(8/ )2023()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kxxxxxxxxxkkkkkkkkk前前3 3個迭代值為個迭代值為Tx)2273. 1 ,0909. 2 ,5000. 2()1(Tx)0043. 1 ,0289. 2 ,9772. 2()2(Tx)9959. 0 ,9968. 1 ,0098. 3()3(20 例：設方程組為例：設方程組為23 . 0122121xxx

13、x試討論用試討論用JacobiJacobi迭代法和迭代法和SeidelSeidel迭代法求解此方程組的收斂性。迭代法求解此方程組的收斂性。 解：解：JacobiJacobi迭代格式為迭代格式為23 . 012)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx故故JacobiJacobi迭代矩陣為迭代矩陣為 03 . 020其特征值為其特征值為 6 . 0故其譜半徑為故其譜半徑為 16 . 0故故JacobiJacobi迭代法收斂迭代法收斂SeidelSeidel迭代格式為迭代格式為2) 12(3 . 012)(2)1(2)(2)1(1kkkkxxxx故故G-SG-S迭代矩陣為迭代矩陣為 6 . 00

14、20其特征值為其特征值為 6 . 0, 021故其譜半徑為故其譜半徑為 16 . 0故故G-SG-S迭代法收斂迭代法收斂21非線性方程求解非線性方程求解n掌握二分法的基本思想與原理；掌握二分法的基本思想與原理；n掌握迭代法及其收斂性；掌握迭代法及其收斂性；n掌握掌握Newton迭代法及其收斂性；迭代法及其收斂性；n了解弦截法。了解弦截法。22例例： 求方程求方程 在區(qū)間在區(qū)間1, 1.5內的實根。內的實根。要求準確到小數(shù)點后第要求準確到小數(shù)點后第2位。位。01)(3xxxfkakbkxkf (xk)的符號的符號011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-3

15、1.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-23例：設例：設 ，要使迭代過程，要使迭代過程x xk+1k+1= = (x(xk k) )局部收斂到局部收斂到 ，求，求a a的取值范圍。的取值范圍。 )5()(2xaxx5*x解：解： )5()(2xaxxaxx21)(要使迭代過程要使迭代過程x xk+1k+1= = (x(xk k) )局部收斂到局部收斂到5*x 需滿足需滿足 121)(axx即即 15211a051a24解：令解：令例：試建立計算例：試建立計算 的牛頓迭代格式，并求的牛頓迭代格式，并求 的近似值，的近似值，要求迭代誤差不超過要求迭代誤差不超過0.0050.005。3a3791.411,3ax , 0)(3axxf則牛頓迭代格式為則牛頓迭代格式為)()(1kkkkxfxfxx, 1 , 0,33