（北京專用）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 理

1、第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和總綱目錄教材研讀1.等比數(shù)列的有關(guān)概念考點(diǎn)突破2.等比數(shù)列的有關(guān)公式3.等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教材研讀教材研讀1.等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:(i)文字語言:從第第2項(xiàng)項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比比都等于同一個常數(shù)同一個常數(shù).(ii)符號語言:=q(nN*,q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列G2=ab.1nnaa2.等比數(shù)列的有關(guān)公式等

2、比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式:an=a1qn-1.(2)前n項(xiàng)和公式:Sn=111n ,1,(1),1.11nna qaa qaqqqq3.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m(m,nN*).(2)對任意的正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則aman=apaq.特別地,若m+n=2p,則aman=.(3)若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,即(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).(4)數(shù)列an是等比數(shù)列,則數(shù)列pan(p0,p是常數(shù))也是等比等比數(shù)列.(5)在等比數(shù)列an中,等距離取出若干項(xiàng)也

3、構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,為等比數(shù)列(kN*),公比為qk.2pa1.已知an是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=()A.-B.-2C.2D.141212D答案答案D由通項(xiàng)公式及已知得a1q=2,a1q4=,由得q3=,解得q=.故選D.1418122.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A.B.-C.D.-13131919C答案答案C由已知條件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,設(shè)數(shù)列an的公比為q,則q2=9,所以a5=9=a1q4=81a1,得a1=,故選C.193.已知an為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,若a

4、4a8=4,則a5a6a7=()A.4B.8C.16D.64B答案答案Ba4a8=4,且an0,a6=2,a5a6a7=23=8,故選B.26a36a4.已知等比數(shù)列an中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值為128.答案答案128解析解析因?yàn)閍2=2,a3a4=a2a5=32,所以a5=16,又因?yàn)?a2a8,所以a8=128.5.若等比數(shù)列an滿足a2a6=64,a3a4=32,則公比q=2.答案答案2解析解析a2a6=64,=64,又a3a4=32,q=2.24a43aa6.(2017北京,10,5分)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=1.22ab

5、答案答案1解析解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.a1=b1=-1,a4=b4=8,a2=2,b2=2,=1.31 38,18,dq 3,2,dq 22ab22考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)(2017北京朝陽二模,11)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=2,a4=-2,則an的通項(xiàng)公式為an=,S9=;(2)(2017北京海淀一模,9)若等比數(shù)列an滿足a2a4=a5,a4=8,則公比q=,前n項(xiàng)和Sn=.答案答案(1)2(-1)n-1;2(2)2;2n-1解析解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則a4=a1q3,即-2

6、=2q3,所以q=-1,故an=a1qn-1=2(-1)n-1,S9=2.(2)因?yàn)閍2a4=a5,a4=8,所以解得a1=1,q=2,所以Sn=2n-1.91(1)1aqq92 1 ( 1) 1 ( 1) 3411131,8,a q a qa qa q1 (1 2 )1 2n方法技巧方法技巧解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q=1時,數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q1時,數(shù)列an的前n項(xiàng)

7、和Sn=.1(1)1naqq11naa qq1-1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n+c,則+=()21a22a2naA.2n-1B.2n-1-1C.(4n-1)D.4n-113答案答案C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-qn+,又因?yàn)镾n=2n+c,所以解得則數(shù)列為首項(xiàng)為=1,公比為q2=4的等比數(shù)列,所以+=(4n-1),故選C.1(1)1naqq11aq11aq12,1,1qaq12,1,qa2na21a21a22a2na1(14 )14n13C1-2已知等比數(shù)列an的公比為2,若a2+a3=4,則a1+a4=6.答案答案6解析解析a2+a3=a12+a1

8、22=6a1=4,a1=,a1+a4=+23=6.2323231-3若數(shù)列an滿足a1=-2,且對任意的m,nN*,都有am+n=aman,則a3=-8;數(shù)列an的前10項(xiàng)的和S10=682.答案答案-8;682解析解析已知am+n=aman,令m=1,得an+1=a1an=-2an,所以數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都為-2的等比數(shù)列,則a3=(-2)3=-8,S10=682.1021 ( 2) 1 2 11223典例典例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足4an-3Sn=2,其中nN*.(1)求證:數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)設(shè)bn=an-4n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.12考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)

9、二等比數(shù)列的判定與證明解析解析(1)證明:4an-3Sn=2,當(dāng)n=1時,4a1-3S1=2,所以a1=2;當(dāng)n2時,4an-1-3Sn-1=2,由-,得4an-4an-1-3(Sn-Sn-1)=0,所以an=4an-1,由a1=2,得an0,所以=4,當(dāng)n=2時,=4故an是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列.1nnaa21aa所以bn=an-4n=4n-1-4n,12則bn的前n項(xiàng)和Tn=(40-4)+(41-8)+(4n-1-4n)=(40+41+4n-1)-(4+8+4n)=-1 41 4n(44 )2nn=-2n2-2n.413n(2)由(1)得an=24n-1,方法技巧方法技巧1.等比數(shù)

10、列的識別依據(jù)(1)若數(shù)列an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an(0),anbn,仍然是等比數(shù)列.(2)an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(3)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=kqn-k(k為常數(shù)且k0,q0,1)an是等比數(shù)列.1na2nannab2.證明等比數(shù)列的兩種基本方法(1)定義法:證明=q(an0,nN*,q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)法:證明=anan+2(an0,nN*).1nnaa21na2-1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an+sn=n,數(shù)列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2).(1)設(shè)cn=an-1,求證:數(shù)列cn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列b

11、n的通項(xiàng)公式.解析解析(1)證明:由an+Sn=n,得an-1+Sn-1=n-1(n2),兩式相減得2an-an-1=1(n2),即2(an-1)=an-1-1(n2),所以cn=cn-1(n2).又由解得a1=,1211111,aSaS12所以c1=a1-1=-0,所以數(shù)列cn是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知cn=-=-,所以an=cn+1=1-,所以bn=an-an-1=(n2),又b1=a1=適合上式,所以bn=(nN*).12121212112n12n12n12n1212n典例典例3(1)(2017北京東城二模,5)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列,Sn是an的前n項(xiàng)和.若a

12、1+a5=,a2a4=4,則S6=()A.B.C.D.(2)已知an為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400或-501722716278634632考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用答案答案(1)D(2)A解析解析(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a5=a2a4=4,又a1+a5=,an為遞增數(shù)列,所以a1=,a5=8,q=2,S6=.故選D.(2)依題意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S2

13、0-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S200,因此S20=30,S20-S10=20,所以S40-S30=S10=80,S40=S30+(S40-S30)=70+80=150.17212541aa61(12 )2126323201010SSS方法技巧方法技巧(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),則aman=apaq”,巧用性質(zhì)可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)中使結(jié)論成立的前提條件.此外,解題時還要注意對設(shè)而不求思想的運(yùn)用.3-1已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=()A.5B.7C.6D.422答案答案A由題易知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比數(shù)列,所以(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50.又an0,a4a5a6=5,故選A.2A3-2(2017北京海淀二模,5)已知an為無窮等比數(shù)列,且公比q1,記Sn為an的前n項(xiàng)和,則下面結(jié)論正確的是()A.a3a2B.a1+a20C.是遞增數(shù)列D.Sn存在最小值2na答案答案CA選項(xiàng),當(dāng)a10時,a3a2,故不正