公共經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策 第6章 馬爾科夫預(yù)測法

1、2021-4-241 第第6 6章章 馬爾科夫預(yù)測法馬爾科夫預(yù)測法 2021-4-242 概概 述述 馬爾科夫馬爾科夫(A. A. Markov)(A. A. Markov)是俄國偉大的數(shù)是俄國偉大的數(shù) 學(xué)家。學(xué)家。 馬爾科夫鏈?zhǔn)侨祟悮v史上第一個從理論馬爾科夫鏈?zhǔn)侨祟悮v史上第一個從理論 上提出并加以研究的隨機(jī)過程模型。上提出并加以研究的隨機(jī)過程模型。 馬爾科夫預(yù)測法是應(yīng)用馬爾科夫鏈的基馬爾科夫預(yù)測法是應(yīng)用馬爾科夫鏈的基 本原理和基本方法研究分析時間序列的本原理和基本方法研究分析時間序列的 變化規(guī)律，并預(yù)測其未來變化趨勢的一變化規(guī)律，并預(yù)測其未來變化趨勢的一 種方法。這種方法在經(jīng)濟(jì)預(yù)測與經(jīng)營決種

2、方法。這種方法在經(jīng)濟(jì)預(yù)測與經(jīng)營決 策等方面有著廣泛的應(yīng)用。策等方面有著廣泛的應(yīng)用。 2021-4-243 6.1 6.1 馬爾科夫鏈及轉(zhuǎn)移概率馬爾科夫鏈及轉(zhuǎn)移概率 6.1.1 6.1.1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程(Stochasitc Process)(Stochasitc Process) 在自然界和人類社會中，事物的變化過程在自然界和人類社會中，事物的變化過程 可分為兩類：一類是可分為兩類：一類是確定性變化過程確定性變化過程；另；另 一類是一類是不確定性變化過程不確定性變化過程。 確定性變化過程確定性變化過程是指事物的變化是由時間是指事物的變化是由時間 唯一確定的，或者說，對給定的時間，人唯一確定

3、的，或者說，對給定的時間，人 們事先能確切地知道事物變化的結(jié)果。因們事先能確切地知道事物變化的結(jié)果。因 此，變化過程可用時間的函數(shù)來描述。此，變化過程可用時間的函數(shù)來描述。 2021-4-244 不確定性變化過程不確定性變化過程是指對給定的時間，是指對給定的時間， 事物變化的結(jié)果不止一個，事先人們不事物變化的結(jié)果不止一個，事先人們不 能肯定哪個結(jié)果一定發(fā)生，即事物的變能肯定哪個結(jié)果一定發(fā)生，即事物的變 化具有隨機(jī)性。這樣的變化過程稱為化具有隨機(jī)性。這樣的變化過程稱為隨隨 機(jī)過程機(jī)過程。 隨機(jī)過程是一連串隨機(jī)事件動態(tài)關(guān)系的隨機(jī)過程是一連串隨機(jī)事件動態(tài)關(guān)系的 定量描述。定量描述。 2021-4-2

4、45 例例6.16.1 設(shè)設(shè) 是北京市未來一天是北京市未來一天 時刻的溫度。時刻的溫度。 顯然，對任意指定的時間顯然，對任意指定的時間 ，事先無，事先無 法確定法確定 的取值，即的取值，即 是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量， 因此因此 是一隨機(jī)過程。是一隨機(jī)過程。 例例6.26.2 設(shè)設(shè) 是某市電話局在未來時間是某市電話局在未來時間 內(nèi)收內(nèi)收 到的呼叫次數(shù)，到的呼叫次數(shù)， 。由于對任意給定。由于對任意給定 的時間的時間 ，事先無法確定，事先無法確定 的取值，即的取值，即 是一隨機(jī)變量，因此是一隨機(jī)變量，因此 是一隨是一隨 機(jī)過程。機(jī)過程。 )(tZ 24, 0t t )(tZ )(tZ 24, 0)

5、,(ttZ )(tZt , 0t t)(tZ)(tZ , 0),(ttZ 2021-4-246 例例6.36.3 設(shè)設(shè) 是未來第是未來第 個交易日收盤時的個交易日收盤時的 上證指數(shù)，上證指數(shù)， ，則，則 是是 隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。 例例6.46.4 考查未來第考查未來第 個交易日上證指數(shù)的漲個交易日上證指數(shù)的漲 跌情況，記跌情況，記 則則 是一隨機(jī)過程。是一隨機(jī)過程。 )(tZt , 3, 2, 1TtTttZ),( t 下跌 平盤， 上漲 , 1 , 3, 2, 10 , 1 )(TttZ TttZ),( 2021-4-247 如果對每個給定的時間如果對每個給定的時間 ， 都是一隨都是一隨

6、機(jī)變量，就稱機(jī)變量，就稱 是一隨機(jī)過程。是一隨機(jī)過程。 根據(jù)隨機(jī)變量與時間參數(shù)根據(jù)隨機(jī)變量與時間參數(shù) 連續(xù)與離散之連續(xù)與離散之 分，隨機(jī)過程可分，隨機(jī)過程可分為以下四類分為以下四類： 連續(xù)型隨機(jī)過程連續(xù)型隨機(jī)過程 離散型隨機(jī)過程離散型隨機(jī)過程 連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)隨機(jī)序列 離散隨機(jī)序列離散隨機(jī)序列 T )(tZTt TttZ),( 2021-4-248 6.1.2 6.1.2 馬爾科夫鏈馬爾科夫鏈 離散隨機(jī)序列也稱時間序列。時間參數(shù)空間離散隨機(jī)序列也稱時間序列。時間參數(shù)空間 通常取通常取 ， 習(xí)慣上記為習(xí)慣上記為 。 所有可能的取值構(gòu)成的集合稱為序列的狀態(tài)所有可能的取值構(gòu)成的集合稱為序列的狀態(tài) 空

7、間，記為空間，記為 。不妨設(shè)。不妨設(shè) 是一個整數(shù)集合。是一個整數(shù)集合。 馬爾科夫鏈?zhǔn)侵妇哂袩o后效性的時間序列。馬爾科夫鏈?zhǔn)侵妇哂袩o后效性的時間序列。 所謂無后效性是指序列將來處于什么狀態(tài)只所謂無后效性是指序列將來處于什么狀態(tài)只 與它現(xiàn)在所處的狀態(tài)有關(guān)，而與它過去處于與它現(xiàn)在所處的狀態(tài)有關(guān)，而與它過去處于 什么狀態(tài)無關(guān)。什么狀態(tài)無關(guān)。 , 3, 2, 1, 0T )(tZ t Z t Z SS 2021-4-249 例例6.56.5 考察一個考察一個“成熟成熟”股票市場指數(shù)的漲股票市場指數(shù)的漲 跌情況。記跌情況。記 則則 是一馬爾科夫鏈。是一馬爾科夫鏈。 所謂所謂“成熟成熟”的股票市場的股票市場

8、是指這樣的市場：是指這樣的市場： 未來一天指數(shù)的漲跌只與未來一天將要公未來一天指數(shù)的漲跌只與未來一天將要公 布的信息有關(guān)，同時對當(dāng)前指數(shù)的漲跌進(jìn)布的信息有關(guān)，同時對當(dāng)前指數(shù)的漲跌進(jìn) 行必要的修正。以前股票市場的漲跌對未行必要的修正。以前股票市場的漲跌對未 來一天的漲跌不產(chǎn)生任何影響。來一天的漲跌不產(chǎn)生任何影響。 個交易日下跌第， 個交易日不跌第 t t Zt 1 , 1 , 2, 1, 0Tt TttZ),( 2021-4-2410 6.1.3 6.1.3 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 在例在例6.56.5中，中， 的狀態(tài)空間為的狀態(tài)空間為 。在第。在第 個交易日指數(shù)不跌的條件下，第個交易

9、日指數(shù)不跌的條件下，第 個交易日個交易日 指數(shù)可能不跌，也可能下跌。同樣，在第指數(shù)可能不跌，也可能下跌。同樣，在第 個個 交易日指數(shù)下跌的條件下，第交易日指數(shù)下跌的條件下，第 個交易日指個交易日指 數(shù)可能不跌，也可能下跌。記數(shù)可能不跌，也可能下跌。記 其中，其中， 表示在第表示在第 個交易日指數(shù)下跌的條件個交易日指數(shù)下跌的條件 下，第下，第 個交易日指數(shù)繼續(xù)下跌的概率。個交易日指數(shù)繼續(xù)下跌的概率。 t Z1, 1St 1t t 1t 11;11 11;11 11 , 111, 1 11 , 111, 1 tttt tttt ZZPpZZPp ZZPpZZPp 1, 1 p t 1t 2021-

10、4-2411 這些條件概率稱為這些條件概率稱為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn) 移概率移概率。一步轉(zhuǎn)移概率通常與時間。一步轉(zhuǎn)移概率通常與時間 有關(guān)。有關(guān)。 如果一步轉(zhuǎn)移概率與如果一步轉(zhuǎn)移概率與 無關(guān)，我們稱無關(guān)，我們稱馬爾馬爾 科夫鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的科夫鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的。以后提到的馬爾科夫。以后提到的馬爾科夫 鏈都是指平穩(wěn)的馬爾科夫鏈。鏈都是指平穩(wěn)的馬爾科夫鏈。 由一步轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的矩陣由一步轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的矩陣 稱為稱為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 t t 1 , 11, 1 1 , 11, 1 pp pp P 2021-4-2412 定義定義6.16.1 設(shè)馬爾科夫鏈設(shè)馬

11、爾科夫鏈 的狀態(tài)空間的狀態(tài)空間 為為 ，用，用 表示已知表示已知 時刻時刻 處于狀處于狀 態(tài)態(tài) 的條件下，的條件下， 時刻時刻 處于狀態(tài)處于狀態(tài) 的條件的條件 概率，概率，即即 ， 稱稱 為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移 概率，并稱概率，并稱 構(gòu)成的構(gòu)成的 階方陣階方陣 為為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 nS, 2, 1 i ), 2, 1,(njipij TttZ),( ij p t t Z 1t 1t Z j ), 2, 1,( 1 njiiZjZPp ttij ), 2, 1,(njipijn nnnn n n nnij ppp ppp ppp pP 21 22

12、221 11211 )( 2021-4-2413 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 描述了描述了 時時 刻系統(tǒng)內(nèi)各狀態(tài)到刻系統(tǒng)內(nèi)各狀態(tài)到 時刻系統(tǒng)內(nèi)各狀時刻系統(tǒng)內(nèi)各狀 態(tài)的變化規(guī)律性。態(tài)的變化規(guī)律性。 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的第的第 行元素實(shí)際上行元素實(shí)際上 是已知是已知 的條件下的條件下 的條件分布，的條件分布， 因此第因此第 行元素滿足如下兩個條件：行元素滿足如下兩個條件： nnij pP )(t 1t Pi iZt 1t Z i ;, 2, 1, 0njpij1 1 n j ij p 2021-4-2414 6.1.4 k6.1.4 k步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣 例例6.5

13、6.5中，在第中，在第 個交易日指數(shù)不跌的條個交易日指數(shù)不跌的條 件下，第件下，第 個交易日指數(shù)可能不跌，個交易日指數(shù)可能不跌， 也可能下跌。類似地，記也可能下跌。類似地，記 其中，其中， 表示在第表示在第 個交易日指數(shù)下個交易日指數(shù)下 跌的條件下，第跌的條件下，第 個交易日指數(shù)繼續(xù)個交易日指數(shù)繼續(xù) 下跌的概率。下跌的概率。 2t )2( 1, 1 pt 11)2(;11)2( 11)2(;11)2( 21 , 121, 1 21 , 121, 1 tttt tttt ZZPpZZPp ZZPpZZPp t 2t 2021-4-2415 這些條件概率這些條件概率 稱為稱為馬爾科夫鏈馬爾科夫鏈

14、的兩步轉(zhuǎn)移概率的兩步轉(zhuǎn)移概率； 稱由它們構(gòu)成的矩陣稱由它們構(gòu)成的矩陣 為為馬爾科夫鏈的兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣馬爾科夫鏈的兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 )2(),2(),2(),2( 1 , 11, 11 , 11, 1 pppp TttZ),( )2()2( )2()2( )2( 1 , 11, 1 1 , 11, 1 pp pp P 2021-4-2416 一般地，設(shè)馬爾科夫鏈一般地，設(shè)馬爾科夫鏈 的狀態(tài)空間的狀態(tài)空間 為為 ，稱，稱 為為馬爾科夫鏈的馬爾科夫鏈的 步轉(zhuǎn)移概率步轉(zhuǎn)移概率。 由由 構(gòu)成的矩陣構(gòu)成的矩陣 為為馬爾科夫鏈的馬爾科夫鏈的 步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 TttZ),( nS, 2,

15、1 iZjZPkp tktij )( k k ), 2, 1,(),(njikpij ), 2, 1,(nji )()()( )()()( )()()( )()( 21 22221 11211 kpkpkp kpkpkp kpkpkp kpkP nnnn n n nnij 2021-4-2417 的第的第 行元素描述的是在行元素描述的是在 時刻時刻 處于處于 狀態(tài)狀態(tài) 的條件下，的條件下， 時刻時刻 處于各狀態(tài)的處于各狀態(tài)的 概率。概率。 由全概率公式及矩陣的乘法可以得到一步由全概率公式及矩陣的乘法可以得到一步 轉(zhuǎn)移概率矩陣轉(zhuǎn)移概率矩陣 和和 步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的的 關(guān)系：關(guān)系：

16、即即 步轉(zhuǎn)移概率矩陣等于一步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣等于一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的的 次冪次冪。 , 3, 2, 1,)(kPkP k i t t Zi kt kt Z P k k )(kP k i )(kP 2021-4-2418 例例6.66.6 設(shè)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣設(shè)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 為：為： 求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣 ，并寫出，并寫出 時刻之時刻之 狀態(tài)狀態(tài)3到到 時刻各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。時刻各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。 3 1 3 1 3 1 001 100 P )3(Pt 3t 2021-4-2419 例例6.76.7 為了解顧客對為了解顧客對A,B,CA,B,C

17、三種不同品牌洗衣粉三種不同品牌洗衣粉 的購買傾向，市場調(diào)查小組進(jìn)行了購買傾向調(diào)的購買傾向，市場調(diào)查小組進(jìn)行了購買傾向調(diào) 查。在本月購買查。在本月購買A,B,CA,B,C品牌的顧客中分別調(diào)查品牌的顧客中分別調(diào)查 了了100100人、人、150150人和人和120120人，了解他們下月的購人，了解他們下月的購 買傾向，調(diào)查結(jié)果用矩陣表示如下：買傾向，調(diào)查結(jié)果用矩陣表示如下： 要求：寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；求購買要求：寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；求購買C C品牌品牌 的顧客在未來第二個月購買的顧客在未來第二個月購買A A品牌和品牌和B B品牌的品牌的 概率。概率。 303060 603060 303040

18、2021-4-2420 解解 (1) (1) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下： (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?因此，購買因此，購買C C品牌的顧客在未來第二個月購買品牌的顧客在未來第二個月購買A A品品 牌的概率為牌的概率為0.4250.425，購買，購買B B品牌的概率為品牌的概率為0.26250.2625。 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 P 3125. 02625. 0425. 0 3 . 026. 044. 0 315. 0255. 043. 0 25. 025. 05 . 0 4 . 02 . 04 . 0 3 .

19、03 . 04 . 0 25. 025. 05 . 0 4 . 02 . 04 . 0 3 . 03 . 04 . 0 )2( 2 PP 2021-4-2421 6.2 6.2 轉(zhuǎn)移概率矩陣的固定點(diǎn)轉(zhuǎn)移概率矩陣的固定點(diǎn) 6.2.1 6.2.1 初始分布與絕對分布初始分布與絕對分布 假設(shè)某企業(yè)的市場調(diào)查小組對市場上標(biāo)號為假設(shè)某企業(yè)的市場調(diào)查小組對市場上標(biāo)號為1 1， 2 2的兩種同類型產(chǎn)品的市場占有率及其變化情的兩種同類型產(chǎn)品的市場占有率及其變化情 況作了調(diào)查，得到本月兩種產(chǎn)品的市場占有況作了調(diào)查，得到本月兩種產(chǎn)品的市場占有 率分別為率分別為0.30.3，0.70.7，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，一步轉(zhuǎn)移

20、概率矩陣 為為 。 那么問題是：在未來第一個月兩種產(chǎn)品的市那么問題是：在未來第一個月兩種產(chǎn)品的市 場占有率是多少呢？在未來第場占有率是多少呢？在未來第 個月兩種產(chǎn)品個月兩種產(chǎn)品 的市場占有率又是多少呢？的市場占有率又是多少呢？ 5 . 0, 5 . 0 4 . 0, 6 . 0 P t 2021-4-2422 首先，將此問題模型化。記首先，將此問題模型化。記 顯見，顯見， 是一馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間是一馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間 為為 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為，轉(zhuǎn)移概率矩陣為 本月兩種產(chǎn)品的市場占有率，即本月兩種產(chǎn)品的市場占有率，即 的概率分布的概率分布 用行向量用行向量 ，稱其為馬爾，稱其為馬爾 科夫鏈

21、的初始分布?？品蜴湹某跏挤植?。 2, 2 1, 1 個月購買產(chǎn)品顧客第 個月購買產(chǎn)品顧客第 t t Zt 2, 1 , 0Tt TttZ),( 2, 1S 5 . 0, 5 . 0 4 . 0, 6 . 0 P 0 Z )7 . 0, 3 . 0(),( 0 2 0 1 0 ppp 2021-4-2423 未來第未來第 個月兩種產(chǎn)品的市場占有率，即個月兩種產(chǎn)品的市場占有率，即 的概率分布用行向量的概率分布用行向量 表示，稱表示，稱 其為馬爾科夫鏈在其為馬爾科夫鏈在 時刻的絕對分布。時刻的絕對分布。 由全概率公式得：由全概率公式得： 同理可得同理可得 t 53. 05 . 07 . 06 . 0

22、3 . 0 212111 1 010010 1 1 1 ZZPZPZZPZP ZPp 47. 05 . 07 . 04 . 03 . 02 1 1 2 ZPp Ppppp 01 2 1 1 1 5 . 05 . 0 4 . 06 . 0 )7 . 0, 3 . 0()47. 0,53. 0(),( t ),( 21 ttt ppp t Z 2021-4-2424 由此可見，第一個月的市場占有率等于由此可見，第一個月的市場占有率等于 初始分布與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣初始分布與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的乘積。的乘積。 同理，未來第同理，未來第 個月兩種產(chǎn)品的市場占有個月兩種產(chǎn)品的市場占有 率率 等于初始分布等

23、于初始分布 與與 步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的乘積，即的乘積，即 P t p 0 pt t PtP)( ttt PpPpp 00 t 2021-4-2425 一般地，設(shè)馬爾科夫鏈一般地，設(shè)馬爾科夫鏈 的狀態(tài)的狀態(tài) 空間為空間為 ，則，則 的概率分布的概率分布 稱為馬爾科夫鏈稱為馬爾科夫鏈 的的初始分布初始分布。 的概率分的概率分 布布 稱為馬爾科夫鏈稱為馬爾科夫鏈 在在 時刻的時刻的絕對分布絕對分布。 , 2, 1 , 0,TtZt nS, 2, 1 0 Z 12n 0 Z p 0 1 p 12n t Z p TtZt, t Z 0 2 p 0 n p t p1 t p2 t n p Tt

24、Zt,t 2021-4-2426 初始分布用行向量初始分布用行向量 表示，表示， 時刻的絕時刻的絕 對分布用行向量對分布用行向量 表示，并稱由表示，并稱由 概率分布構(gòu)成的行向量為概率向量。概率分布構(gòu)成的行向量為概率向量。 馬爾科夫鏈馬爾科夫鏈 在在 時刻的絕對分布時刻的絕對分布 與初始分與初始分 布布 及一步轉(zhuǎn)移概率矩陣及一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 有如下關(guān)系。有如下關(guān)系。 即即t t時刻的絕對分布等于初始分布與一步轉(zhuǎn)移時刻的絕對分布等于初始分布與一步轉(zhuǎn)移 概率矩陣概率矩陣k k次冪的乘積。次冪的乘積。 00 2 0 1 0 , n pppp t n ttt pppp, 21 t TtZt, t p 0

25、 p P t t n t n ttt PptPppppppp 000 2 0 121 )(, 2021-4-2427 例例6.86.8 設(shè)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：設(shè)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為： (1)(1)若初始分布為若初始分布為 ，求，求 時的絕對分布。時的絕對分布。 (2)(2)若初始分布為若初始分布為 ，求馬爾科夫鏈在，求馬爾科夫鏈在 任一時刻任一時刻 的絕對分布。的絕對分布。 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 P 6 . 0, 2 . 0, 2 . 01t 25. 0,25. 0, 5 . 0 t 2021-4-

26、2428 解解 (1)(1)由題設(shè)，初始分布由題設(shè)，初始分布 ，于是，于是 即即t=1t=1時刻，馬爾科夫鏈的絕對分布為時刻，馬爾科夫鏈的絕對分布為 6 . 0 , 2 . 0, 2 . 0 0 p 26. 018. 056. 0 1 p )26. 018. 056. 0( 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 )6 . 0, 2 . 0, 2 . 0( 01 Ppp 2021-4-2429 (2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 因此，因此， 一般地，一般地， 即即該馬爾科夫鏈該馬爾科夫鏈 在任一時刻的絕對分布都等于初始分布在任一時刻的絕

27、對分布都等于初始分布。 25. 0 ,25. 0, 5 . 0 0 p 0 01 )25. 025. 05 . 0( 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 )25. 0,25. 0, 5 . 0( p Ppp 002002 )()2(pPPpPpPpp 000 )(pPptPpp tt 2021-4-2430 例例6.96.9 設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 初始分布為初始分布為 。求馬爾科夫鏈在任。求馬爾科夫鏈在任 一時刻的絕對分布。一時刻的絕對分布。 n n n uuu uuu uuu P 21 21

28、21 00 2 0 1 0 , n pppp 2021-4-2431 解：因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 而且，而且， 即即 所以有所以有 ),(),( 21 21 21 21 00 2 0 1 01 n n n n n uuu uuu uuu uuu pppPpp P uuu uuu uuu uuu uuu uuu P n n n n n n 21 21 21 21 21 21 2 ),()( 21 000 n tt uuuPpPptPpp 1 1 0 n i i p PP t 2021-4-2432 6.2.2 6.2.2 固定點(diǎn)與正規(guī)矩陣固定點(diǎn)與正規(guī)矩陣 定義定義6.26.2 設(shè)設(shè) 為馬爾科夫鏈

29、的一步轉(zhuǎn)移概率矩為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩 陣。如果存在概率向量陣。如果存在概率向量 ，使得，使得 ， 則稱則稱 為為 的固定概率向量，或稱為的固定概率向量，或稱為 的固定的固定 點(diǎn)（或均衡點(diǎn)）。點(diǎn)（或均衡點(diǎn)）。 如果馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣如果馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣 的所有行的所有行 向量都等于同一向量向量都等于同一向量 ，則稱，則稱 是由是由 構(gòu)成的構(gòu)成的 穩(wěn)態(tài)矩陣。穩(wěn)態(tài)矩陣。 n uuuu, 21 P uuP uP P P uPu 2021-4-2433 定義定義6.36.3 設(shè)設(shè) 為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率 矩陣，如果存在自然數(shù)矩陣，如果存在自然數(shù) ，使得

30、，使得 的所有元的所有元 素都是正數(shù)，則稱素都是正數(shù)，則稱 為為正規(guī)概率矩陣正規(guī)概率矩陣。 例例6.106.10 試判斷下列哪些矩陣是正規(guī)概率矩試判斷下列哪些矩陣是正規(guī)概率矩 陣，哪些不是。陣，哪些不是。 P k k p P 100 010 001 P 2 1 2 1 10 P 1 . 03 . 06 . 0 1 . 08 . 01 . 0 2 . 06 . 02 . 0 P 4 1 2 1 4 1 5 2 5 1 5 2 4 1 3 1 2 1 P 2021-4-2434 馬爾科夫鏈的基本定理馬爾科夫鏈的基本定理 定理定理6.16.1 設(shè)設(shè) 為正規(guī)概率矩陣，則為正規(guī)概率矩陣，則 (a) (a

31、) 有唯一的由正數(shù)構(gòu)成的固定概率向量有唯一的由正數(shù)構(gòu)成的固定概率向量 (b)(b)設(shè)方陣設(shè)方陣 的每一行向量都是的每一行向量都是 的固定概率的固定概率 向量向量 ，則由，則由 的各次冪組成的矩陣序列的各次冪組成的矩陣序列 以以 為極限，即為極限，即 (c)(c)設(shè)設(shè) 是任意概率向量，則向量序列是任意概率向量，則向量序列 以固定概率向量以固定概率向量 為極限，即為極限，即 P u V Pu P , 32k PPPP P VVP k k lim 0 p, 200 PpPp , 0k Ppu uPp k k 0 lim 2021-4-2435 例例6.116.11 設(shè)馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩設(shè)馬爾

32、科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩 陣為：陣為： 對充分大的對充分大的 ，求，求 步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的的 近似矩陣。近似矩陣。 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 P kk)(kP 2021-4-2436 解 因?yàn)橐驗(yàn)镻 P為正規(guī)概率矩陣，所以有固定點(diǎn)為正規(guī)概率矩陣，所以有固定點(diǎn)u u。 設(shè)設(shè)V V是由是由u u構(gòu)成的構(gòu)成的P P的穩(wěn)態(tài)矩陣，由定理的穩(wěn)態(tài)矩陣，由定理6.26.2 知：知： 因此，對于充分大的因此，對于充分大的k k，有，有 解線性方程組：解線性方程組： VPkP k kk lim)(lim VkP)( 1 0)( 21

33、n TT uuu uIP 2021-4-2437 即即 得固定點(diǎn)得固定點(diǎn) 因此，對充分大的因此，對充分大的k k，有，有 1 07 . 01 . 03 . 0 01 . 07 . 03 . 0 06 . 06 . 06 . 0 321 321 321 321 uuu uuu uuu uuu 25. 025. 05 . 0 25. 025. 05 . 0 25. 025. 05 . 0 )(VkP )25. 0,25. 0, 5 . 0(u 2021-4-2438 6.3 6.3 馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測等方面的馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)預(yù)測等方面的 應(yīng)用應(yīng)用 6.3.1 6.3.1 市場占有率預(yù)測市場占有率

34、預(yù)測 市場占有率是指某地區(qū)消費(fèi)者使用某一品市場占有率是指某地區(qū)消費(fèi)者使用某一品 牌的概率。牌的概率。 如果假設(shè)在某地區(qū)經(jīng)營的某種產(chǎn)品有如果假設(shè)在某地區(qū)經(jīng)營的某種產(chǎn)品有 個品個品 牌牌 ，并假定消費(fèi)者消費(fèi)這，并假定消費(fèi)者消費(fèi)這 種品牌的種品牌的 產(chǎn)品具有馬爾科夫鏈的特征，那么用馬爾產(chǎn)品具有馬爾科夫鏈的特征，那么用馬爾 科夫鏈的基本原理和基本方法可以對這科夫鏈的基本原理和基本方法可以對這 種種 品牌的市場占有率作出預(yù)測。品牌的市場占有率作出預(yù)測。 n AAA, 21 n n n 2021-4-2439 馬爾科夫預(yù)測法的基本步驟馬爾科夫預(yù)測法的基本步驟 第一步，進(jìn)行市場調(diào)查。第一步，進(jìn)行市場調(diào)查。

35、(1)(1)在全體消費(fèi)此產(chǎn)品的消費(fèi)者中，調(diào)查目在全體消費(fèi)此產(chǎn)品的消費(fèi)者中，調(diào)查目 前購買前購買 種品牌的消費(fèi)者各占的比率，獲得種品牌的消費(fèi)者各占的比率，獲得 初始分布初始分布 。在實(shí)際問題中，只需調(diào)。在實(shí)際問題中，只需調(diào) 查部分消費(fèi)者，獲得近似的初始分布即可。查部分消費(fèi)者，獲得近似的初始分布即可。 (2)(2)調(diào)查在調(diào)查在 種品牌之間消費(fèi)者的流動情況，種品牌之間消費(fèi)者的流動情況， 獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，進(jìn)而獲得轉(zhuǎn)移概率矩獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，進(jìn)而獲得轉(zhuǎn)移概率矩 陣陣 。 00 2 0 1 0 , n pppp n n P 2021-4-2440 比如，在被調(diào)查的目前正在使用第比如，在被調(diào)查的目前正在使

36、用第i i種品牌種品牌 的的n ni i個消費(fèi)者中，在下一時刻將有個消費(fèi)者中，在下一時刻將有n nij ij個消費(fèi)個消費(fèi) 者使用者使用j j品牌品牌 ，于是轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，于是轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣 為為 。用。用n ni i去除矩陣去除矩陣NN的第的第i i行各元行各元 素素 ，就得到了轉(zhuǎn)移概率矩陣，就得到了轉(zhuǎn)移概率矩陣 ，其，其 中中 ninj, 2, 1;, 2, 1 nnij nN )( ni, 2, 1 nnij pP )( ), 2, 1;, 2, 1(ninj n n p i ij ij 2021-4-2441 第二步，預(yù)測未來第第二步，預(yù)測未來第k k時刻的市場占有率。時刻的市場占有率。

37、計(jì)算初始分布計(jì)算初始分布 與與k k步轉(zhuǎn)移概率矩陣步轉(zhuǎn)移概率矩陣 的的 乘積，就可得到未來第乘積，就可得到未來第k k時刻的絕對分布，時刻的絕對分布， 即第即第k k時刻的市場占有率：時刻的市場占有率： 0 p )(kP )(, 00 2 0 121 kPppppppp n k n kkk 2021-4-2442 第三步，預(yù)測均衡狀態(tài)下的市場占有率。第三步，預(yù)測均衡狀態(tài)下的市場占有率。 如果轉(zhuǎn)移概率矩陣如果轉(zhuǎn)移概率矩陣 是正規(guī)矩陣，那么是正規(guī)矩陣，那么 有唯一的固定點(diǎn)有唯一的固定點(diǎn) ，于是，在市場，于是，在市場 最終達(dá)到均衡狀態(tài)下，各種品牌的最終最終達(dá)到均衡狀態(tài)下，各種品牌的最終 市場占有率將

38、分別為市場占有率將分別為 。 PP n uuuu, 21 n uuu, 21 2021-4-2443 例例6.126.12 在北京地區(qū)銷售的鮮牛奶主要由在北京地區(qū)銷售的鮮牛奶主要由3 3個廠家個廠家 提供。分別用提供。分別用1 1，2 2，3 3表示。去年表示。去年1212月份對月份對20002000 名消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查。購買廠家名消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查。購買廠家1 1，2 2，3 3產(chǎn)品的產(chǎn)品的 消費(fèi)者分別為消費(fèi)者分別為800800，600600和和600600。同時得到的轉(zhuǎn)。同時得到的轉(zhuǎn) 移頻數(shù)矩陣為：移頻數(shù)矩陣為： (1)(1)試對試對3 3個廠家個廠家1 17 7月份的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。月

39、份的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。 (2)(2)試求市場處于均衡狀態(tài)時，各廠家的市場占有試求市場處于均衡狀態(tài)時，各廠家的市場占有 率。率。 18060360 60180360 240240320 N 2021-4-2444 解 (1)(1)計(jì)算去年計(jì)算去年1212月份各廠家的市場占有率，月份各廠家的市場占有率， 即初始分布即初始分布 用用800800，600600和和600600分別去除矩陣分別去除矩陣NN的第一行、的第一行、 第二行和第三行的各元素，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率第二行和第三行的各元素，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 矩陣：矩陣： 于是，第于是，第k k月的絕對分布為：月的絕對分布為： ) 3 . 0, 3 . 0,

40、 4 . 0( 0 p 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 P )7, 3, 2, 1()( 00 kPpkPpp kk 2021-4-2445 k=1k=1時，時， k=2k=2時，時， k=3k=3時，時， 類似地可以計(jì)算出類似地可以計(jì)算出 )252. 0252. 0496. 0( )24. 024. 052. 0()3 . 03 . 04 . 0( 22 PPp )24. 024. 052. 0( 3 . 01 . 06 . 0 1 . 03 . 06 . 0 3 . 03 . 04 . 0 )3 . 03 . 04 . 0(

41、1 p )2496. 02496. 05008. 0( )252. 0252. 0496. 0()3 . 03 . 04 . 0( 33 PPp 4 p 6 p 5 p 7 p 2021-4-2446 現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果繪制成市場占有率變動表，現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果繪制成市場占有率變動表， 如表如表6.26.2所示。所示。 2021-4-2447 從表從表6.26.2中可以看出，廠家中可以看出，廠家1 1的市場占有率隨的市場占有率隨 著時間的推移逐漸穩(wěn)定在著時間的推移逐漸穩(wěn)定在50%50%，而廠家，而廠家2 2和和 廠家廠家3 3的市場占有率都逐漸穩(wěn)定在的市場占有率都逐漸穩(wěn)定在25%25%。 (2)(2)由于

42、轉(zhuǎn)移概率矩陣由于轉(zhuǎn)移概率矩陣P P是正規(guī)矩陣，因此是正規(guī)矩陣，因此P P有有 唯一的均衡點(diǎn)唯一的均衡點(diǎn)u u。由例。由例6.116.11知，知，u=u=（0.5 0.25 0.5 0.25 0.250.25）。由定理）。由定理6.26.2知，知， 即隨著時間的推移，即隨著時間的推移，3 3個廠家的市場占有率個廠家的市場占有率 逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，各逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，各 廠家的市場占有率分別為廠家的市場占有率分別為50%50%，25%25%和和25%25% )25. 025. 05 . 0(lim 0 uPp k k 2021-4-2448 6.3.2 人力資源

43、預(yù)測 例例6.136.13 某高校為編制師資發(fā)展規(guī)劃，需要某高校為編制師資發(fā)展規(guī)劃，需要 預(yù)測未來教師隊(duì)伍的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在對教師狀預(yù)測未來教師隊(duì)伍的結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在對教師狀 況進(jìn)行如下分類：青年、中年、老年和流況進(jìn)行如下分類：青年、中年、老年和流 退（流失或退休）。根據(jù)歷史資料，各類退（流失或退休）。根據(jù)歷史資料，各類 教師（按教師（按1 1年為年為1 1期）的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：期）的轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 1000 2 . 08 . 000 05. 02 . 075. 00 05. 0015. 08 . 0 P 2021-4-2449 目前青年教師目前青年教師400400人，中年教師人，中年教師360360人

44、，老人，老 年教師年教師300300人。試分析人。試分析3 3年后教師的結(jié)構(gòu)以年后教師的結(jié)構(gòu)以 及為保持編制不變，及為保持編制不變，3 3年內(nèi)應(yīng)進(jìn)多少碩士和年內(nèi)應(yīng)進(jìn)多少碩士和 博士畢業(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍。博士畢業(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍。 解解 設(shè)目前的教師結(jié)構(gòu)為設(shè)目前的教師結(jié)構(gòu)為 ，則，則1 1年后年后 教師結(jié)構(gòu)為教師結(jié)構(gòu)為： 流退人員流退人員9898人，為保持編制不變，第一年學(xué)人，為保持編制不變，第一年學(xué) 校需進(jìn)校需進(jìn)9898人。此時青年教師為人。此時青年教師為320+98=418320+98=418 人，教師結(jié)構(gòu)為人，教師結(jié)構(gòu)為 )0300360400( 0 n )98312330320( 01 Pn

45、n )0312330418( 1 * n 2021-4-2450 兩年后教師結(jié)構(gòu)為：兩年后教師結(jié)構(gòu)為： 第二年流退第二年流退100100人，因此第二年需進(jìn)人，因此第二年需進(jìn)100100名碩士和名碩士和 博士畢業(yè)生。此時青年教師為博士畢業(yè)生。此時青年教師為334+100=434334+100=434人，人， 教師結(jié)構(gòu)為教師結(jié)構(gòu)為 3 3年后教師結(jié)構(gòu)為年后教師結(jié)構(gòu)為： 第三年流退第三年流退100100人，因此第三年需進(jìn)碩士和博士人，因此第三年需進(jìn)碩士和博士 100100人。此時青年教師為人。此時青年教師為347+100=447347+100=447人，教師人，教師 結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)為 綜上所述，綜上所述

46、，3 3年內(nèi)需進(jìn)碩士和博士畢業(yè)生年內(nèi)需進(jìn)碩士和博士畢業(yè)生298298名。名。 3 3年后教師結(jié)構(gòu)為：青年教師年后教師結(jié)構(gòu)為：青年教師447447名，中年教師名，中年教師 298298名，老年教師名，老年教師315315名。名。 )100316310334( 1 * 2 Pnn )0316310434( 2 * n )100315298347( 2 * 3 Pnn )0315298447( 3 * n 2021-4-2451 6.3.3 期望利潤預(yù)測 1) 1)利潤矩陣?yán)麧櫨仃?設(shè)市場狀態(tài)空間為設(shè)市場狀態(tài)空間為 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣，轉(zhuǎn)移概率矩陣 為為 。當(dāng)市場由狀態(tài)。當(dāng)市場由狀態(tài)i i轉(zhuǎn)移至狀態(tài)轉(zhuǎn)移

47、至狀態(tài)j j時，時， 廠家的利潤為廠家的利潤為 ，則稱由，則稱由 構(gòu)成構(gòu)成 的的n n階方陣階方陣 為利潤矩陣。為利潤矩陣。 nS, 2, 1 nnij pP )( ), 2, 1,(nji ij ), 2, 1,(nji ij nnnn n n nnij 21 22221 11211 )( 2021-4-2452 2)2)期望利潤預(yù)測公式期望利潤預(yù)測公式 設(shè)設(shè) 為從狀態(tài)為從狀態(tài)i i開始，經(jīng)過開始，經(jīng)過k k步轉(zhuǎn)移到各狀態(tài)步轉(zhuǎn)移到各狀態(tài) 所獲得的期望利潤，所獲得的期望利潤， 。并記：。并記： 且規(guī)定且規(guī)定 。 由數(shù)學(xué)期望的定義知，當(dāng)由數(shù)學(xué)期望的定義知，當(dāng) 時時 )(kvi T n kvkvk

48、vk)(,),(),()( 21 , 2, 1 , 0k 0)0( 1k ininiiiii pppv 2211 ) 1 ( ni, 2, 1 2021-4-2453 當(dāng)當(dāng) 時，時， 等于由狀態(tài)等于由狀態(tài)i i開始，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移開始，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移 到各狀態(tài)所獲得的期望利潤到各狀態(tài)所獲得的期望利潤 ，再加上經(jīng)，再加上經(jīng) 一步轉(zhuǎn)移后所到達(dá)的各個狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移后所到達(dá)的各個狀態(tài)j j再經(jīng)再經(jīng)k-1k-1步轉(zhuǎn)步轉(zhuǎn) 移到達(dá)各狀態(tài)所獲得的期望利潤移到達(dá)各狀態(tài)所獲得的期望利潤 的數(shù)學(xué)期望，即的數(shù)學(xué)期望，即 于是，于是， ) 1(,) 1 () 1() 1 ()( 21 1 kvpppvpkvvkv iniii n

49、 j ijjii 1k )(kvi ) 1 ( i v ) 1( kv j ) 1() 1 ( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( )( )( )( 2 1 21 22221 11211 2 1 2 1 kvP kv kv kv ppp ppp ppp v v v kv kv kv k nnnnn n n nn 2021-4-2454 例例6.146.14 設(shè)一生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品每月市場狀設(shè)一生產(chǎn)廠家的產(chǎn)品每月市場狀 態(tài)有暢銷和滯銷兩種，用態(tài)有暢銷和滯銷兩種，用1 1表示暢銷，用表示暢銷，用 2 2表示滯銷。假設(shè)從暢銷到暢銷可獲利表示滯銷。假設(shè)從暢銷到暢銷可獲利

50、3030 萬元；從暢銷轉(zhuǎn)為滯銷可獲利萬元；從暢銷轉(zhuǎn)為滯銷可獲利1010萬元；萬元； 從滯銷轉(zhuǎn)向暢銷可獲利從滯銷轉(zhuǎn)向暢銷可獲利2020萬元；從滯銷萬元；從滯銷 到滯銷將虧損到滯銷將虧損1010萬元?，F(xiàn)有萬元?，F(xiàn)有3030個月的市個月的市 場銷售記錄。如表場銷售記錄。如表6.36.3所示。所示。 2021-4-2455 (1)(1)求銷售市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。求銷售市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 (2)(2)分別預(yù)測下個月和未來分別預(yù)測下個月和未來3 3個月的期望個月的期望 利潤。利潤。 2021-4-2456 解 (1)(1)在在3030個狀態(tài)中，有個狀態(tài)中，有1515個滯銷，個滯銷，1515個暢個暢

51、銷，最末一個是暢銷，無后續(xù)狀態(tài)，故以銷，最末一個是暢銷，無后續(xù)狀態(tài)，故以 1414個計(jì)算。在個計(jì)算。在1414個暢銷中，有個暢銷中，有6 6個連續(xù)暢銷。個連續(xù)暢銷。 因此，因此， 在在1515個滯銷中，有個滯銷中，有7 7個連續(xù)滯銷。因此，個連續(xù)滯銷。因此， 于是，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：于是，轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 。57. 0,43. 014/6 1211 pp 。53. 0,47. 015/7 2122 pp 47. 053. 0 57. 043. 0 P 2021-4-2457 (2)(2) 由已知條件知，利潤矩陣為：由已知條件知，利潤矩陣為： 由于本月處于暢銷狀態(tài)，所以下月的期望由于本月處于暢銷狀

52、態(tài)，所以下月的期望 利潤為：利潤為： 由遞推公式得：由遞推公式得： 1020 1030 )(6 .181057. 03043. 0) 1 ( 121211111 萬元ppv )(9 . 51047. 02053. 0) 1 ( 12122221212 萬元ppv 53.18 96.29 9 . 5 6 .18 47. 053. 0 57. 043. 0 9 . 5 6 .18 ) 1 () 1 () 12() 1 ()2(vPvvPvv 2021-4-2458 由于本月為暢銷，由計(jì)算結(jié)果可以看出，由于本月為暢銷，由計(jì)算結(jié)果可以看出， 因此，下一個月的期望利潤為因此，下一個月的期望利潤為18.6

53、18.6萬元，未萬元，未 來來3 3個月的期望利潤為個月的期望利潤為42.0442.04萬元。萬元。 49.30 04.42 59.24 44.23 9 . 5 6 .18 53.18 96.29 47. 053. 0 57. 043. 0 9 . 5 6 .18 )2() 1 () 13() 1 ()3(vPvvPvv 。04.42)3(, 6 .18) 1 ( 11 vv 2021-4-2459 6.3.4 6.3.4 馬爾科夫鏈在其他方面的應(yīng)用舉例馬爾科夫鏈在其他方面的應(yīng)用舉例 1)1)項(xiàng)目選址問題項(xiàng)目選址問題 例例6.156.15 某汽車維修公司在北京市有甲、乙、某汽車維修公司在北京市

54、有甲、乙、 丙丙3 3個維修廠。對客戶的調(diào)查顯示，客戶在甲、個維修廠。對客戶的調(diào)查顯示，客戶在甲、 乙、丙乙、丙3 3個維修廠之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣為個維修廠之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣為 由于資金的原因，公司目前打算只對其中一由于資金的原因，公司目前打算只對其中一 個維修廠進(jìn)行改造，并擴(kuò)大規(guī)模。試分析應(yīng)個維修廠進(jìn)行改造，并擴(kuò)大規(guī)模。試分析應(yīng) 選擇哪個維修廠。選擇哪個維修廠。 6 . 02 . 02 . 0 8 . 002 . 0 02 . 08 . 0 P 2021-4-2460 解 由于由于 所有元素都大于所有元素都大于0 0，所以，所以 是正規(guī)矩陣。因此，是正規(guī)矩陣。因此， 存在唯一的固定概率向量存在唯一的固定概率向量 解線性方程組：解線性方程組： 52. 016. 032. 0 48. 020. 032. 0 16. 016. 068. 0 2 P P P ),( 321 uuuu 1 0)( 321 uuu uIP TT 2021-4-2461 得