建筑工程類第2章布爾代數(shù)基礎(chǔ)(課堂講義)

1、 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ)2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的基本概念 2.1.2 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 2.1.3 邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則 2.1.4 邏輯表達(dá)式的基本形式邏輯表達(dá)式的基本形式 2.1.5 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 2.1.6 邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換2.2 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 2.2.1 代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法 2.2.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法導(dǎo)航：導(dǎo)航：1、點(diǎn)擊、點(diǎn)擊“右鍵右鍵”，選擇，選擇“全屏顯示全屏顯示”全屏顯示全屏顯示 2、點(diǎn)擊、點(diǎn)擊“右鍵右鍵”，選擇，選擇“下一張

2、下一張”播放播放PP 3、點(diǎn)擊游覽器左上角點(diǎn)擊游覽器左上角“后退后退”，退出退出PP 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 概述 研究數(shù)字系統(tǒng)中邏輯電路設(shè)計(jì)和分析的數(shù)學(xué)工具是布爾代研究數(shù)字系統(tǒng)中邏輯電路設(shè)計(jì)和分析的數(shù)學(xué)工具是布爾代數(shù)。數(shù)。 布爾代數(shù)是由邏輯變量集布爾代數(shù)是由邏輯變量集K(A、B、C、)，常量，常量“0”、“1”以及以及“與與”、“或或”、“非非”3種基本邏輯運(yùn)算構(gòu)成的代種基本邏輯運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)。數(shù)系統(tǒng)。 邏輯變量集邏輯變量集K是布爾代數(shù)中變量的集合，它可以用任何字母是布爾代數(shù)中變量的集合，它可以用任何字母表示，每個(gè)變量的取值只能為常量表示，每個(gè)變量的取值只能為常量“0”或或“1”。 在數(shù)字

3、系統(tǒng)中使用布爾變量表示開關(guān)電路的輸入或輸出。這在數(shù)字系統(tǒng)中使用布爾變量表示開關(guān)電路的輸入或輸出。這些變量的每一個(gè)取值是些變量的每一個(gè)取值是“0”或或“1”兩個(gè)不相同的值。兩個(gè)不相同的值?！?”可可以代表低電壓，以代表低電壓，“1”可以代表高電壓?？梢源砀唠妷骸( False )和和T( True )也也可以用于表示可以用于表示“0”或或“1”。 布爾代數(shù)把矛盾的一方假設(shè)為布爾代數(shù)把矛盾的一方假設(shè)為“1”，另一方假設(shè)為，另一方假設(shè)為“0”，使之?dāng)?shù)學(xué)化。使之?dāng)?shù)學(xué)化。 這樣可以使用布爾代數(shù)中的公理和定理對(duì)物理現(xiàn)象作數(shù)學(xué)演這樣可以使用布爾代數(shù)中的公理和定理對(duì)物理現(xiàn)象作數(shù)學(xué)演算，達(dá)到邏輯推理的目的。

4、算，達(dá)到邏輯推理的目的。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 概述 幸運(yùn)的是，在數(shù)字系統(tǒng)中采用的是幸運(yùn)的是，在數(shù)字系統(tǒng)中采用的是“0”和和“1”兩個(gè)不兩個(gè)不同的值。因此布爾代數(shù)可以用來作為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的同的值。因此布爾代數(shù)可以用來作為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)工具。 從應(yīng)用的角度，布爾代數(shù)應(yīng)用于邏輯電路領(lǐng)域稱其為從應(yīng)用的角度，布爾代數(shù)應(yīng)用于邏輯電路領(lǐng)域稱其為邏輯邏輯代數(shù)。代數(shù)。 本章介紹邏輯代數(shù)的基本理論和運(yùn)算方法，其中包括邏本章介紹邏輯代數(shù)的基本理論和運(yùn)算方法，其中包括邏輯代數(shù)基本概念，輯代數(shù)基本概念，邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的定義，邏輯代數(shù)的的定義，邏輯代數(shù)的公理、定理公理、定理和規(guī)則，和規(guī)則，小

5、項(xiàng)小項(xiàng)與與大項(xiàng)大項(xiàng)的概念以及使用小項(xiàng)和大項(xiàng)表達(dá)邏的概念以及使用小項(xiàng)和大項(xiàng)表達(dá)邏輯函輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。 在此基礎(chǔ)上，介紹應(yīng)用在此基礎(chǔ)上，介紹應(yīng)用邏輯代數(shù)法邏輯代數(shù)法和和卡諾圖法卡諾圖法化簡邏輯化簡邏輯函數(shù)的原理與方法。函數(shù)的原理與方法。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.1 邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的基本概念 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)包含邏輯變量集包含邏輯變量集K(A、B、C、)，每個(gè)變量的取，每個(gè)變量的取值只可能為常量值只可能為常量“0”或或“1”。這里的。這里的“0”和和“1”沒有量的沒有量的概念，是用來表達(dá)矛盾雙方，是一種形式上的符號(hào)。概念，是用來表達(dá)矛盾雙方，是一種

6、形式上的符號(hào)。 邏輯代數(shù)中邏輯變量之間是邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)中邏輯變量之間是邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系用邏輯運(yùn)算邏輯關(guān)系用邏輯運(yùn)算符表示符表示。使用邏輯運(yùn)算符連接邏輯變量及常量。使用邏輯運(yùn)算符連接邏輯變量及常量“0”或或“1”構(gòu)成構(gòu)成邏輯代數(shù)表達(dá)式。邏輯代數(shù)表達(dá)式。 采用邏輯代數(shù)表示邏輯電路的輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系，采用邏輯代數(shù)表示邏輯電路的輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系，稱邏輯函數(shù)稱邏輯函數(shù)。這種電路稱。這種電路稱數(shù)字邏輯電路數(shù)字邏輯電路。 邏輯函數(shù)除了使用邏輯代數(shù)表示以外，還可以使用一種稱為邏輯函數(shù)除了使用邏輯代數(shù)表示以外，還可以使用一種稱為“真值表真值表”的表格的表格表示。表示。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ)

7、2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 真值表真值表是由是由輸入變量所有可能取值的組合輸入變量所有可能取值的組合與這些組合值對(duì)與這些組合值對(duì)應(yīng)的應(yīng)的輸出變量的值構(gòu)成的表格輸出變量的值構(gòu)成的表格。真值表分為左、右兩個(gè)部分。真值表分為左、右兩個(gè)部分。 左邊部分左邊部分每一列是輸入變量的名字。每一列是輸入變量的名字。右邊部分右邊部分的每一列是的每一列是輸出變量的名字。左邊部分是輸入變量所有的取值的組合。輸出變量的名字。左邊部分是輸入變量所有的取值的組合。 如果一個(gè)如果一個(gè)邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)有有n個(gè)變量，則個(gè)變量，則輸入變量所有的取值有輸入變量所有的取值有2n個(gè)組合個(gè)組合。右邊部分是把左邊每一行輸入變量的取值帶到邏輯函。

8、右邊部分是把左邊每一行輸入變量的取值帶到邏輯函數(shù)中去運(yùn)算，把運(yùn)算的結(jié)果數(shù)中去運(yùn)算，把運(yùn)算的結(jié)果“0”或者或者“1”填進(jìn)來。這樣就完填進(jìn)來。這樣就完成了把邏輯函數(shù)用真值表表示。成了把邏輯函數(shù)用真值表表示。邏輯函數(shù)有的比較簡單，有的相當(dāng)復(fù)雜邏輯函數(shù)有的比較簡單，有的相當(dāng)復(fù)雜。但是它們都是。但是它們都是由由“與與”、“或或”、“非非”三種最基本的邏輯運(yùn)算構(gòu)成。下面三種最基本的邏輯運(yùn)算構(gòu)成。下面分別介紹這三種邏輯運(yùn)算符、邏輯表達(dá)式、邏輯函數(shù)和邏輯函分別介紹這三種邏輯運(yùn)算符、邏輯表達(dá)式、邏輯函數(shù)和邏輯函數(shù)符號(hào)。數(shù)符號(hào)。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1. 邏輯函數(shù)符號(hào)邏輯函數(shù)符號(hào) 如前所述，

9、邏輯函數(shù)是由如前所述，邏輯函數(shù)是由“與與”、“或或”、“非非”三種最三種最基本的邏輯運(yùn)算構(gòu)成。為了象表示電阻、電容和三極管一樣，基本的邏輯運(yùn)算構(gòu)成。為了象表示電阻、電容和三極管一樣，用圖形化的方式表示不同的邏輯函數(shù)，美國國家標(biāo)準(zhǔn)學(xué)會(huì)用圖形化的方式表示不同的邏輯函數(shù)，美國國家標(biāo)準(zhǔn)學(xué)會(huì)( the American National Standards Institute, ANSI )和美國電氣與和美國電氣與電子工程師協(xié)會(huì)電子工程師協(xié)會(huì)(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在在1984年制定了一個(gè)邏輯函數(shù)符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)。

10、如年制定了一個(gè)邏輯函數(shù)符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)。如圖圖2-1所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)圖圖2-2是是IEEE標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)的“與與”、“或或”、“非非”、“與與非非”、“或非或非”、“異或異或”、“異或非異或非( 同或同或)”邏輯函邏輯函數(shù)符號(hào)。數(shù)符號(hào)。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2“與與”運(yùn)算運(yùn)算 “與與”運(yùn)算的運(yùn)算符是運(yùn)算的運(yùn)算符是“”、“*”、“”或是空。在本或是空。在本書中使用書中使用“”“”表示表示“與與”運(yùn)算符。運(yùn)算符?！芭c與”運(yùn)算的定義如表運(yùn)算的定義如表2-1所所示。示。F = A B是是“與與”運(yùn)算邏輯函數(shù)。運(yùn)算邏輯函數(shù)?！癆 B”稱為稱為F的的“與

11、與”運(yùn)運(yùn)算表達(dá)式。算表達(dá)式。 3“或或”運(yùn)算運(yùn)算 “或或”運(yùn)算的運(yùn)算符是運(yùn)算的運(yùn)算符是“+”、“”。本書中使用。本書中使用“+”表示表示“或或”運(yùn)算符。運(yùn)算符?！盎蚧颉边\(yùn)算的定義如表運(yùn)算的定義如表2-2所示。所示。F = A + B是是“或或”運(yùn)算邏輯函數(shù)。運(yùn)算邏輯函數(shù)。“A + B”稱為稱為F的的“或或”運(yùn)算表達(dá)式。運(yùn)算表達(dá)式。 4“非非”運(yùn)算運(yùn)算 “非非”運(yùn)算的運(yùn)算符是運(yùn)算的運(yùn)算符是“ ”或或“ ” ，本書中使用，本書中使用“ ” 表表示示“非非”運(yùn)算符。運(yùn)算符?！胺欠恰边\(yùn)算的定義如表運(yùn)算的定義如表2-3所示。所示。F = A是是“非非”運(yùn)算邏輯函數(shù)。運(yùn)算邏輯函數(shù)。A是是“非非”運(yùn)算的邏輯

12、表達(dá)式。在邏輯函數(shù)中，運(yùn)算的邏輯表達(dá)式。在邏輯函數(shù)中，A稱為反變量，稱為反變量，A稱為原變量。稱為原變量。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 5“異或異或”運(yùn)算運(yùn)算 “異或異或”運(yùn)算的運(yùn)算符是運(yùn)算的運(yùn)算符是“ ”?！爱惢虍惢颉边\(yùn)算的定義如運(yùn)算的定義如表表2-4所示。所示。F = A B是是“異或異或”運(yùn)算邏輯函數(shù)。運(yùn)算邏輯函數(shù)。 “異或異或”運(yùn)運(yùn)算邏輯函數(shù)還可以用算邏輯函數(shù)還可以用F = A B + A B表示。表示。 6“同或同或”運(yùn)算運(yùn)算 “同或同或”運(yùn)算的運(yùn)算符是運(yùn)算的運(yùn)算符是“ ”。“同或同或”運(yùn)算的定義如運(yùn)算的定義如表表2-5所示。所示。F = A B是是“同或同或”運(yùn)算邏

13、輯函數(shù)。運(yùn)算邏輯函數(shù)?！巴蛲颉边\(yùn)運(yùn)算邏輯函數(shù)還可以用算邏輯函數(shù)還可以用F = A B + A B表示。表示?！爱惢虍惢颉边\(yùn)算表達(dá)式與運(yùn)算表達(dá)式與“同或同或”運(yùn)算表達(dá)式有如下關(guān)系：運(yùn)算表達(dá)式有如下關(guān)系： A B A B，A B A B 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.2邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 根據(jù)上面邏輯函數(shù)的定義，對(duì)于某一個(gè)具體的邏輯電路，根據(jù)上面邏輯函數(shù)的定義，對(duì)于某一個(gè)具體的邏輯電路，輸出變量輸出變量F的值取決于由輸入變量的值取決于由輸入變量A1, A2, ，An構(gòu)成的構(gòu)成的2n個(gè)組個(gè)組合的取值。合的取值。 另外，輸出邏輯變量另外

14、，輸出邏輯變量F的值還取決于邏輯電路的結(jié)構(gòu)。的值還取決于邏輯電路的結(jié)構(gòu)。 也就是，輸出邏輯變量也就是，輸出邏輯變量F的值取決于輸入變量的值取決于輸入變量A1A2，An的取值、邏輯電路的結(jié)構(gòu)以及邏輯電路使用的門電路類型。的取值、邏輯電路的結(jié)構(gòu)以及邏輯電路使用的門電路類型。 邏輯函數(shù)的定義說明一個(gè)邏輯電路能夠用一個(gè)邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的定義說明一個(gè)邏輯電路能夠用一個(gè)邏輯函數(shù)F = f ( A1, A2, ，An )表示，即一個(gè)邏輯電路對(duì)應(yīng)一個(gè)邏輯函數(shù)。表示，即一個(gè)邏輯電路對(duì)應(yīng)一個(gè)邏輯函數(shù)。 討論邏輯函數(shù)也就是討論這個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)的邏輯電路。討論邏輯函數(shù)也就是討論這個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)的邏輯電路。 邏輯函數(shù)的

15、定義實(shí)現(xiàn)了將一個(gè)具體的邏輯電路采用抽象的邏輯函數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)了將一個(gè)具體的邏輯電路采用抽象的邏輯函數(shù)表示，這樣可以使用數(shù)學(xué)工具來研究邏輯電路。邏輯函數(shù)表示，這樣可以使用數(shù)學(xué)工具來研究邏輯電路。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 在數(shù)字邏輯中使用邏輯函數(shù)研究邏輯電路從兩個(gè)方面進(jìn)行：在數(shù)字邏輯中使用邏輯函數(shù)研究邏輯電路從兩個(gè)方面進(jìn)行： 一方面是在對(duì)某一個(gè)具體的邏輯電路進(jìn)行分析，使用邏輯一方面是在對(duì)某一個(gè)具體的邏輯電路進(jìn)行分析，使用邏輯函數(shù)寫出它的表達(dá)式，分析邏輯函數(shù)即分析相應(yīng)的邏輯電路；函數(shù)寫出它的表達(dá)式，分析邏輯函數(shù)即分析相應(yīng)的邏輯電路； 另一方面是使用邏輯函數(shù)進(jìn)行邏輯電路的設(shè)計(jì)。另一方

16、面是使用邏輯函數(shù)進(jìn)行邏輯電路的設(shè)計(jì)。 邏輯電路的設(shè)計(jì)要求一般是用文字表述的。根據(jù)文字表述，邏輯電路的設(shè)計(jì)要求一般是用文字表述的。根據(jù)文字表述，使用設(shè)計(jì)方法進(jìn)行邏輯電路設(shè)計(jì)，得到的是按要求設(shè)計(jì)的邏輯使用設(shè)計(jì)方法進(jìn)行邏輯電路設(shè)計(jì)，得到的是按要求設(shè)計(jì)的邏輯電路的邏輯函數(shù)。最后根據(jù)邏輯函數(shù)畫出按要求設(shè)計(jì)的邏輯電電路的邏輯函數(shù)。最后根據(jù)邏輯函數(shù)畫出按要求設(shè)計(jì)的邏輯電路。路。 因此，邏輯函數(shù)是邏輯電路分析和設(shè)計(jì)的重要數(shù)學(xué)工具。因此，邏輯函數(shù)是邏輯電路分析和設(shè)計(jì)的重要數(shù)學(xué)工具。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.1.3邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則 邏輯代數(shù)系統(tǒng)有它的邏輯

17、代數(shù)系統(tǒng)有它的公理系統(tǒng)公理系統(tǒng)，公理系統(tǒng)不需要證明。邏，公理系統(tǒng)不需要證明。邏輯代數(shù)系統(tǒng)的公理為邏輯代數(shù)的定理提供證明的依據(jù)。公理和輯代數(shù)系統(tǒng)的公理為邏輯代數(shù)的定理提供證明的依據(jù)。公理和定理也為邏輯代數(shù)證明提供演繹的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。定理也為邏輯代數(shù)證明提供演繹的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1、公理系統(tǒng)、公理系統(tǒng)公理公理1 0 - 1律律 對(duì)于任意的邏輯變量對(duì)于任意的邏輯變量A，有，有 A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 1A 0 = 0公理公理2 互補(bǔ)律互補(bǔ)律 對(duì)于任意的邏輯變量對(duì)于任意的邏輯變量A，存在唯一的，存在唯一的A,使得使得 A + A = 1A A = 0公理公理3 交換律交換律 對(duì)于任意的邏

18、輯變量對(duì)于任意的邏輯變量A和和B，有，有 A + B = B + A A B = B A 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)公理公理4 結(jié)合律結(jié)合律 對(duì)于任意的邏輯變量對(duì)于任意的邏輯變量A、B和和C，有，有 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C )公理公理5 分配律分配律 對(duì)于任意的邏輯變量對(duì)于任意的邏輯變量A、B和和C，有，有 A + ( B C ) = ( A + B )( A + C ) A ( B + C ) = A B + A C2、基本定理、基本定理根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，推導(dǎo)出根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的基

19、本定理邏輯代數(shù)的基本定理。定理定理1 0 + 0 = 01 + 0 = 1 0 + 1 = 11 + 1 = 1 00 = 010 = 0 01 = 011 = 1 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則：、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則： 邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，它們是代入規(guī)則、反演規(guī)則和邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，它們是代入規(guī)則、反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則。這三條規(guī)則常常使用在邏輯表達(dá)式的運(yùn)算和變換中。對(duì)偶規(guī)則。

20、這三條規(guī)則常常使用在邏輯表達(dá)式的運(yùn)算和變換中。1 ) 邏輯函數(shù)的相等邏輯函數(shù)的相等 如果兩個(gè)邏輯函數(shù)：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)： F1 = f1 (A1,A2,，An), F2 = f2 ( A1,A2,An) 對(duì)于邏輯變量對(duì)于邏輯變量A1，A2，An的任何一組取值，分別代入到的任何一組取值，分別代入到邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)F1、F2中去。邏輯函數(shù)中去。邏輯函數(shù)F1、F2如果都同時(shí)為如果都同時(shí)為“0”或者或者同時(shí)為同時(shí)為“1”，則稱邏輯函數(shù)，則稱邏輯函數(shù)F1與與F2相等。相等。2）代入規(guī)則）代入規(guī)則 任何一個(gè)含有邏輯變量任何一個(gè)含有邏輯變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)邏輯的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)邏輯變量變

21、量A的地方都用一個(gè)邏輯函數(shù)的地方都用一個(gè)邏輯函數(shù)F代入，則該邏輯等式仍然成立，代入，則該邏輯等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.5邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 在邏輯函數(shù)的在邏輯函數(shù)的“與項(xiàng)與項(xiàng)”或者或者“或項(xiàng)或項(xiàng)”中，有些邏輯變量的中，有些邏輯變量的個(gè)數(shù)與邏輯函數(shù)的變量個(gè)數(shù)相同，有些缺少其中的某

22、些變量。個(gè)數(shù)與邏輯函數(shù)的變量個(gè)數(shù)相同，有些缺少其中的某些變量。另外在另外在“與項(xiàng)與項(xiàng)”、“或項(xiàng)或項(xiàng)”中有些邏輯變量全部以原變量出現(xiàn)，中有些邏輯變量全部以原變量出現(xiàn)，有些全部以反變量出現(xiàn)，還有一些以原變量和反變量混合出現(xiàn)。有些全部以反變量出現(xiàn)，還有一些以原變量和反變量混合出現(xiàn)。 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是在是在邏輯函數(shù)表達(dá)式中全部的邏輯函數(shù)表達(dá)式中全部的“與項(xiàng)與項(xiàng)”用用“小項(xiàng)小項(xiàng)”組成組成。邏輯函數(shù)的另一種標(biāo)準(zhǔn)形式是在邏輯函數(shù)中邏輯函數(shù)的另一種標(biāo)準(zhǔn)形式是在邏輯函數(shù)中全部的全部的“或項(xiàng)或項(xiàng)”用用“大項(xiàng)大項(xiàng)”組成組成。在邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)中，。在邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)中，邏輯函數(shù)時(shí)常用小

23、項(xiàng)或者大項(xiàng)表示。邏輯函數(shù)時(shí)常用小項(xiàng)或者大項(xiàng)表示。 另外，邏輯函數(shù)有時(shí)也需要用小項(xiàng)或者大項(xiàng)表示。下面分另外，邏輯函數(shù)有時(shí)也需要用小項(xiàng)或者大項(xiàng)表示。下面分別介紹小項(xiàng)與大項(xiàng)的概念，以及用小項(xiàng)或者大項(xiàng)表示的邏輯函別介紹小項(xiàng)與大項(xiàng)的概念，以及用小項(xiàng)或者大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)，即邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。數(shù)，即邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 1.小項(xiàng)的定義和性質(zhì)小項(xiàng)的定義和性質(zhì) 一個(gè)有一個(gè)有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)個(gè)變量的邏輯函數(shù)F，它的一個(gè)，它的一個(gè)“與項(xiàng)與項(xiàng)”包含有包含有n個(gè)變量，每個(gè)變量以原變量或者反變量的形式出現(xiàn)在這個(gè)個(gè)變量，每個(gè)變量以原變量或者反變量的形式出現(xiàn)在這個(gè)“與與項(xiàng)項(xiàng)”

24、中，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)中，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)“與項(xiàng)與項(xiàng)”稱為該邏輯函數(shù)稱為該邏輯函數(shù)F的一的一個(gè)小項(xiàng)。個(gè)小項(xiàng)。 一個(gè)邏輯函數(shù)完全用小項(xiàng)表示，則稱該邏輯函數(shù)是小項(xiàng)標(biāo)一個(gè)邏輯函數(shù)完全用小項(xiàng)表示，則稱該邏輯函數(shù)是小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。準(zhǔn)形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.6邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換 邏輯函數(shù)

25、表達(dá)式的轉(zhuǎn)換是把邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換是把邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式。轉(zhuǎn)換方法是采用邏輯代數(shù)方法。在轉(zhuǎn)換中轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式。轉(zhuǎn)換方法是采用邏輯代數(shù)方法。在轉(zhuǎn)換中使用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。使用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。1.“積之和積之和”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成小項(xiàng)表達(dá)式表達(dá)式轉(zhuǎn)換成小項(xiàng)表達(dá)式 “積之和積之和”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成用小項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式，首先表達(dá)式轉(zhuǎn)換成用小項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式，首先要將被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成要將被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成“積之和積之和”表達(dá)式。然后，在表達(dá)式。然后，在“積之和積之和”表達(dá)式中使用表達(dá)式中使用X = X(Y + Y)，用以擴(kuò)充被轉(zhuǎn)換表

26、達(dá)，用以擴(kuò)充被轉(zhuǎn)換表達(dá)式中每一個(gè)式中每一個(gè)“與項(xiàng)與項(xiàng)”中缺少的邏輯變量，使得每一個(gè)中缺少的邏輯變量，使得每一個(gè)“與項(xiàng)與項(xiàng)”是小項(xiàng)。式中的是小項(xiàng)。式中的X是某個(gè)是某個(gè)“與項(xiàng)與項(xiàng)”中已有的邏輯變量，中已有的邏輯變量，Y是擴(kuò)是擴(kuò)充的邏輯變量。在擴(kuò)充中如果有相同的小項(xiàng)產(chǎn)生出來，進(jìn)行充的邏輯變量。在擴(kuò)充中如果有相同的小項(xiàng)產(chǎn)生出來，進(jìn)行合并。被轉(zhuǎn)換的表達(dá)式就是用小項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式。合并。被轉(zhuǎn)換的表達(dá)式就是用小項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 如果被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)是如果被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)是“和之積和之積”表達(dá)式，則需要首表達(dá)式，則需要首

27、先把先把“和之積和之積”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成表達(dá)式轉(zhuǎn)換成“積之和積之和”表達(dá)式，然后再使表達(dá)式，然后再使用上述方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。用上述方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。2.“和之積和之積”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成大項(xiàng)表達(dá)式表達(dá)式轉(zhuǎn)換成大項(xiàng)表達(dá)式 “和之積和之積”表達(dá)式轉(zhuǎn)換成大項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，首先要將被表達(dá)式轉(zhuǎn)換成大項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，首先要將被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成“和之積和之積”表達(dá)式，然后在表達(dá)式，然后在“和之積和之積”表達(dá)式中使用表達(dá)式中使用X =(X + Y) ( X + Y )，用以擴(kuò)充被轉(zhuǎn)換表達(dá)式中，用以擴(kuò)充被轉(zhuǎn)換表達(dá)式中的每一個(gè)的每一個(gè)“和之積和之積”項(xiàng)中缺少的邏輯變量，使得每一個(gè)項(xiàng)中缺少的邏輯變量，使得每一個(gè)“

28、和和之積之積”是大項(xiàng)。式中是大項(xiàng)。式中X是某個(gè)是某個(gè)“和之積和之積”項(xiàng)中已有的變量，項(xiàng)中已有的變量，Y是擴(kuò)充的邏輯變量。在擴(kuò)充中如果有相同大項(xiàng)產(chǎn)生進(jìn)行合并。是擴(kuò)充的邏輯變量。在擴(kuò)充中如果有相同大項(xiàng)產(chǎn)生進(jìn)行合并。被轉(zhuǎn)換的表達(dá)式就是用大項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式。被轉(zhuǎn)換的表達(dá)式就是用大項(xiàng)表示的標(biāo)準(zhǔn)形式。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.2邏輯函數(shù)的化簡 如前所述，一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式有不同的形式。由于一如前所述，一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式有不同的形式。由于一個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)邏輯電路，邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式不同，個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)邏輯電路，邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式不同，它們所代表的

29、邏輯電路的結(jié)構(gòu)就不相同，但是在功能上又是相它們所代表的邏輯電路的結(jié)構(gòu)就不相同，但是在功能上又是相同的。邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式越簡單，它所對(duì)應(yīng)的邏輯電路就同的。邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式越簡單，它所對(duì)應(yīng)的邏輯電路就越簡單。這是邏輯電路設(shè)計(jì)中要考慮的問題。為了減少邏輯電越簡單。這是邏輯電路設(shè)計(jì)中要考慮的問題。為了減少邏輯電路的復(fù)雜性，降低成本，對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式存在化簡的問題。路的復(fù)雜性，降低成本，對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式存在化簡的問題。邏輯函數(shù)的化簡是去掉表達(dá)式中多余的邏輯函數(shù)的化簡是去掉表達(dá)式中多余的“與項(xiàng)與項(xiàng)”或者是或者是“或或項(xiàng)項(xiàng)”，求得最簡的邏輯函數(shù)。所謂最簡的邏輯函數(shù)，一是邏輯，求得最簡的邏輯函數(shù)。所謂

30、最簡的邏輯函數(shù)，一是邏輯函數(shù)表達(dá)式中的函數(shù)表達(dá)式中的“與項(xiàng)與項(xiàng)”、“或項(xiàng)或項(xiàng)”個(gè)數(shù)最少，二是個(gè)數(shù)最少，二是“與項(xiàng)與項(xiàng)”、“或項(xiàng)或項(xiàng)”中的邏輯變量的個(gè)數(shù)最少。中的邏輯變量的個(gè)數(shù)最少。 對(duì)邏輯函數(shù)化簡目前使用最多的方法是代數(shù)化簡法和卡諾對(duì)邏輯函數(shù)化簡目前使用最多的方法是代數(shù)化簡法和卡諾圖化簡法，下面分別進(jìn)行介紹。圖化簡法，下面分別進(jìn)行介紹。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 2.2.1代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法 使用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)，需要熟記和靈活運(yùn)用邏輯代數(shù)中使用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)，需要熟記和靈活運(yùn)用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。采用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)的過程無一定的的公理、定理和規(guī)則。采用代數(shù)化

31、簡邏輯函數(shù)的過程無一定的規(guī)律可循，化簡過程中每一步的進(jìn)展取決于對(duì)公理、定理和規(guī)規(guī)律可循，化簡過程中每一步的進(jìn)展取決于對(duì)公理、定理和規(guī)則熟練使用的程度。則熟練使用的程度。1.“積之和積之和”表達(dá)式的化簡；下面歸納了幾種化簡表達(dá)式的化簡；下面歸納了幾種化簡 “積之和積之和”表達(dá)式的方法，可以在邏輯函數(shù)化簡中參考。表達(dá)式的方法，可以在邏輯函數(shù)化簡中參考。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1

32、 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 3.卡諾圖化簡原理卡諾圖化簡原理 使用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，關(guān)鍵是如何把卡諾圖中的小項(xiàng)，使用卡諾圖化簡

33、邏輯函數(shù)，關(guān)鍵是如何把卡諾圖中的小項(xiàng)，即填即填“1”的方格進(jìn)行化簡，直到把邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最簡的的方格進(jìn)行化簡，直到把邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最簡的“與與或或”表達(dá)式。因此，在卡諾圖上對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡是表達(dá)式。因此，在卡諾圖上對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡是找出一種方法對(duì)卡諾圖中的小項(xiàng)進(jìn)行化簡。對(duì)卡諾圖中小項(xiàng)進(jìn)找出一種方法對(duì)卡諾圖中的小項(xiàng)進(jìn)行化簡。對(duì)卡諾圖中小項(xiàng)進(jìn)行化簡使用到前面介紹的小方格相鄰的概念。行化簡使用到前面介紹的小方格相鄰的概念。 下面以三變量（下面以三變量（A，B，C）為例說明卡諾圖化簡的原理。）為例說明卡諾圖化簡的原理。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯

34、代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)5.卡諾圖化簡邏輯函數(shù)舉例卡諾圖化簡邏輯函數(shù)舉例 例例2-7 用卡諾圖將邏輯用卡諾圖將邏輯函數(shù)函數(shù)F（A, B, C, D） = m(0, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15) 化簡為最簡化簡為最簡“積之和積之和”表達(dá)式。表達(dá)式。 解：第解：第1步，畫出該邏輯步，畫出該邏輯函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)函數(shù)的卡諾圖，

35、把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖表示在卡諾圖上，如圖2-13所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第第2步，根據(jù)圖步，根據(jù)圖2-13把盡量滿把盡量滿足相鄰關(guān)系的足相鄰關(guān)系的2m個(gè)小方格作個(gè)小方格作為一個(gè)卡諾圈。該邏輯函數(shù)為一個(gè)卡諾圈。該邏輯函數(shù)有有5個(gè)卡諾圈，它們都是質(zhì)蘊(yùn)個(gè)卡諾圈，它們都是質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。然后檢查每一個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)。然后檢查每一個(gè)質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)是不是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)涵項(xiàng)是不是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)于是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)于，于是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)于，它有一個(gè)它有一個(gè)m3不被覆蓋，不被覆蓋，因此是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)于因此是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。對(duì)于它有一個(gè)它有一個(gè)m6不被任何其他不被任何其他的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)覆蓋，因此是

36、的質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)覆蓋，因此是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。同理也是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。同理也是首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。因此，所求的首要蘊(yùn)涵項(xiàng)。因此，所求的最簡邏輯函數(shù)為最簡邏輯函數(shù)為 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例例2-8 用卡諾將圖邏輯函用卡諾將圖邏輯函數(shù)數(shù)F（A，B，C，D）= m(0,2,4,10,11,14,15) 化簡為最簡化簡為最簡“積之和積之和”表達(dá)式。表達(dá)式。 解：第解：第1步，畫出該步，畫出該函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖如圖2-14所示。所示。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例例2-9 使用卡諾

37、圖將邏輯函數(shù)使用卡諾圖將邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）= M（0，2，4，6，9，12，14）化簡為）化簡為“和之積和之積”形式的最簡邏輯形式的最簡邏輯函數(shù)。函數(shù)。 解：這是一個(gè)用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)。對(duì)于一個(gè)用大解：這是一個(gè)用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)。對(duì)于一個(gè)用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)，它化簡的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是最簡項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)，它化簡的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是最簡“和之積和之積”式。為了在卡諾圖上把用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)化簡成最簡式。為了在卡諾圖上把用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)化簡成最簡“和之積和之積”式，首先把用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成用小式，首先把用大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成用小項(xiàng)表示，即項(xiàng)表示，即F（A, B, C, D）= m (1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13,15)，將其表示在卡諾圖中，如圖，將其表示在卡諾圖中，如圖2-15所示。然后在卡所示。然后在卡諾圖上對(duì)填諾圖上對(duì)填“0”的小方格進(jìn)行化簡，求出最簡反函數(shù)的小方格進(jìn)行化簡，求出最簡反函數(shù)F。再對(duì)最簡反函數(shù)再對(duì)最簡反函數(shù)F使用反演規(guī)則，得到由使用反演規(guī)則，得到由“和之積和之積”形式的形式的最簡邏輯函數(shù)。最簡邏輯函數(shù)。 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第2章 布爾代數(shù)基礎(chǔ) 2.1 邏輯代數(shù)