磨損與潤滑課件3

1、一、潤滑劑q 潤滑油q 潤滑脂q 固體潤滑劑粘度的種類有很多，如：動力粘度、運動粘度、條件粘度等。潤滑脂的主要質量指標是：錐入度，反映其稠度大小。 粘度是潤滑油的主要質量指標，粘度值越高，油越稠，反之越??；潤滑油的牌號與運動粘度有一定的對應關系，如：牌號為L-AN10的油在40時的運動粘度大約為10 cSt。滴點，決定工作溫度。應用礦物油作潤滑劑的記載最早見于西晉張華所著博物志，書中提到酒泉延壽和高奴有石油，并且用于“膏車及水碓甚佳”。潤滑劑、添加劑和潤滑方法工程中常用運動粘度，單位是：St(斯)或 cSt(厘斯)，量綱為(m2/s)；：動植物油、礦物油、合成油。：潤滑油+稠化劑：石墨、二硫化

2、鉬、聚四氟乙烯等。提高油性、極壓性延長使用壽命改善物理性能添加劑的作用油性添加劑極壓添加劑分散凈化劑消泡添加劑抗氧化添加劑降凝劑增粘劑添加劑的種類潤滑劑、添加劑和潤滑方法 為了提高油的品質和性能，常在潤滑油或潤滑脂中加入一些分量雖小但對潤滑劑性能改善其巨大作用的物質，這些物質叫添加劑。二、添加劑 潤滑油潤滑在工程中的應用最普遍，常用的供油方式有：滴油潤滑、浸油潤滑、飛濺潤滑、噴油潤滑、油霧潤滑等 用于低速 用于高速 油脂潤滑常用于運轉速度較低的場合，將潤滑脂涂抹于需潤滑的零件上。潤滑脂還可以用于簡單的密封。潤滑劑、添加劑和潤滑方法三、潤滑方法常用的潤滑裝置浸油與飛濺潤滑噴油潤滑流體動力潤滑形成

3、的必要條件：q 楔形空間；q 相對運動（保證流體由大口進入）；q 連續(xù)不斷地供油。流體動力潤滑是指兩個作相對運動物體的摩擦表面，借助于相對速度而產生的粘性流體膜將兩摩擦表面完全隔開，由流體膜產生的壓力來平衡外載荷。 英國的雷諾于1886年繼前人觀察到的流體動壓現(xiàn)象，總結出流體動壓潤滑理論。20世紀50年代普遍應用電子計算機之后，線接觸彈性流體動壓潤滑的理論開始有所突破。流體潤滑原理簡介一、流體動力潤滑 流體潤滑原理簡介二、彈性流體動力潤滑 彈性流體動力潤滑理論是研究在點、線接觸條件下，兩彈性物體間的流體動力潤滑膜的力學性質。這時的計算必須把在油膜壓力下，摩擦表面的變形的彈性方程、表述潤滑劑粘度

4、與壓力間關系的粘壓方程與流體動力潤滑的主要方程結合起來，以求解油膜壓力分布、潤滑膜厚度分布等問題。 流體靜力潤滑是指借助外部供入的壓力油形成的流體膜來承受外載荷的潤滑方式。三、流體靜力潤滑 采用流體靜力潤滑可在兩個靜止且平行的摩擦表面間形成流體膜，其承載能力不依賴于流體粘度，故能用粘度極低的潤滑劑，且既可使摩擦副有較高的承載能力，又可使摩擦力矩降低。 潤滑的目的是在摩擦表面之間形成具有法向承載能力而剪切強度低的潤滑膜，用它來減少摩擦阻力和降低材料磨損。潤滑膜可以是由液體或氣體組成的流體膜或者固體膜。根據潤滑膜的形成原理和特征，潤滑狀態(tài)可以分為： (1)流體動壓潤滑； (2)流體靜壓潤滑； (3

5、)彈性流體動壓潤滑； (4)薄膜潤滑； (5)邊界潤滑 (6)干摩擦等六種基本類型狀態(tài)。潤滑狀態(tài)潤滑狀態(tài) 典型膜厚典型膜厚潤滑膜形成方式潤滑膜形成方式應用應用流體動壓流體動壓潤滑潤滑1100 m由摩擦表面的相對運由摩擦表面的相對運動所產生的動壓效應動所產生的動壓效應形成流體潤滑膜形成流體潤滑膜中高速度下的面接觸摩擦副，中高速度下的面接觸摩擦副，如滑動軸承如滑動軸承流體靜壓流體靜壓潤滑潤滑1100 m通過外界壓力將流體通過外界壓力將流體送到摩擦表面之間，送到摩擦表面之間，強制地形成潤滑膜強制地形成潤滑膜各種速度下的面接觸摩擦副，各種速度下的面接觸摩擦副，如滑動軸承、導軌等如滑動軸承、導軌等彈性流

6、體彈性流體動壓潤滑動壓潤滑0.11 m與流體動壓潤滑相同與流體動壓潤滑相同中高速度下的點線接觸摩擦中高速度下的點線接觸摩擦副，如齒輪、滾動軸承等副，如齒輪、滾動軸承等薄膜潤滑薄膜潤滑10100nm與流體動壓潤滑相同與流體動壓潤滑相同低速度下的點線接觸高精度低速度下的點線接觸高精度摩擦副，如精密滾動軸承等摩擦副，如精密滾動軸承等邊界潤滑邊界潤滑150nm潤滑油中的成份與金潤滑油中的成份與金屬表面產生物理或化屬表面產生物理或化學作用而形成潤滑膜學作用而形成潤滑膜低速度或者重載荷條件下的低速度或者重載荷條件下的摩擦副摩擦副干摩擦干摩擦110nm無潤滑或自潤滑的摩擦副無潤滑或自潤滑的摩擦副 各種潤滑狀

7、態(tài)所形成的潤滑膜厚度不同，但是單純由潤滑膜的厚度還不能準確地判斷潤滑狀態(tài)，尚須與表面粗糙度進行對比圖 5-1列出潤滑膜厚度與粗糙度的數量級。 只有當潤滑膜厚度足以超過兩表面的粗糙峰高度時，才有可能完全避免峰點接觸而實現(xiàn)全膜流體潤滑對于實際機械中的摩擦副，通常總是幾種潤滑狀態(tài)同時存在，統(tǒng)稱為混合潤滑狀態(tài)。 根據潤滑膜厚度鑒別潤滑狀態(tài)的辦法雖然是可靠的，但由于測量上的困難，往往不便采用。另外，也可以用摩擦系數值作為判斷各種潤滑狀態(tài)的依據。圖為摩擦系數的典型數值。 隨著工況參數的改變可能導致潤滑狀態(tài)的轉化。下圖 是典型的 Streibeck 曲線，它示出滑動軸承的潤滑狀態(tài)轉化過程以及摩擦系數隨無量綱

8、軸承特性數的變化。這里，為潤滑油粘度； U 為滑動速度； p 為軸承單位面積載荷。 研究各種潤滑狀態(tài)的特性及其變化規(guī)律所涉及的學科各不相同，處理問題的方法也不一樣。對于流體潤滑狀態(tài)，包括流體動壓潤滑和流體靜壓潤滑，主要是應用流體力學和傳熱學、振動力學等來計算潤滑膜的承載能力及其它物理特性。在彈性流體動壓潤滑中，由于載荷集中作用，還要根據彈性力學分析接觸表面的變形以及潤滑劑的流變學性能。對于邊界潤滑狀態(tài)，則是從物理化學的角度研究潤滑膜的形成與破裂機理。而在混合潤滑和干摩擦狀態(tài)中，主要的問題是限制磨損，它將涉及到材料科學、彈塑性力學、傳熱學、化學和物理學等內容。 密度是潤滑劑最常用的物理指標之一。

9、在潤滑分析中，通常認為潤滑油是不可壓縮的，并且忽略熱膨脹的影響，因而將密度視為常量。事實上，潤滑油的密度也是壓力和溫度的函數，在某些條件下，例如彈性流體動壓潤滑狀態(tài)，必須考慮潤滑油的密度變化，進行變密度的潤滑計算。 潤滑油所受壓力增加時，其體積減小因而密度增加，研以密度隨壓力的變化可用壓縮系數 C 來表示，即這里， V 是已知質量 M 的體積由此可得p= 0 1 + C(p- p0)式中， 0 和 p 分別為在壓力 p0 和 p 下的密度。1)-1-(6 1)/(1dpdVVdpVMdMVdpdC 對于潤滑油可取 C 的表達式為C (7.25 lg ) 10 10 （ m2 N)式中粘度的單位

10、為 mPa s 。 為了計算方便，也常采用如下的密度與壓力關系式式中 p 的單位用 GPa 。 溫度對密度的影響是由熱膨脹造成體積增加，進而使密度減小設潤滑油的熱膨脹系數為 t ，則。 t=0 1t(t- t0) (5-1-3)式中t 為溫度 t 時的密度，而0 為溫度 t0 時的密度，t的單位為1 。2)-1-(6 ) 1.7p10.6p(1 0p 粘度是潤滑劑重要的物理性質。在一定工況條件下，其是決定潤滑膜厚度的主要因素。雖然潤滑劑的粘度不直接影響邊界潤滑膜厚度，但對于邊界潤滑下的粗糙表面，由于在接觸峰點之間形成的油包也承受一部分載荷，而潤滑劑的粘度與油包的承載能力密切相關。粘度還影響摩擦

11、力，高粘度的潤滑劑不僅引起很大的摩擦損失和發(fā)熱，而且難以對流散熱，使摩擦溫度的升高，可能導致潤滑膜破裂和表面磨損。所以，對于任何實際工況條件，都存在合理的粘度值范圍。 潤滑劑的粘度和密度是隨溫度、壓力等工況參數而變化的。在以液體作潤滑劑的流體動壓潤滑中，主要的問題是粘度性質及其與溫度的關系。氣體潤滑時，潤滑劑的可壓縮性即密度隨壓力的變化將具有重要作用。而對于彈性流體動壓潤滑狀態(tài)，溫度和壓力對粘度的影響以及潤滑劑的壓縮性都將成為不可忽視的問題。 流體流動時，由于流體與固體表面的附著力和流體內部分子間的作用，不斷產生剪切變形。而流體的粘滯性就是流體抵抗剪切變形的能力。 動力粘度 牛頓認為流體的流動

12、是許多極薄的流體層之間的相對滑動。如圖所示，在厚度為 h 的流體表面上有一塊面積為一的平板，在力 F 的作用下以速度 U 運動。此時，由于粘性流體的內摩擦力將運動依次傳遞到各層流體，由于流體的粘滯性，在相互滑動的各層之間將產生切應力，即流體的內摩擦力，由它們將運動傳遞到各相鄰的流體層，使流動較快的層減速，而流動較慢的層加速，形成按一定規(guī)律變化的流速分布。當 A,B 表面平行時，各層流速 u 將按直線分布。粘度是流體粘滯性的度量，用以描述流動時的內摩擦。粘度是流體粘滯性的度量，用以描述流動時的內摩擦。 牛頓提出了粘滯切應力與切應變率成正比的假設，稱為牛頓粘性定律，即 (5-1-4)其中，為剪應力

13、，即單位面積上的摩擦力， FA；為剪應變率，即剪應變隨時間的變化率?？芍杭魬兟实扔诹鲃铀俣妊亓黧w厚度方向的變化梯度。這樣，牛頓粘性定律可寫成式中的比例常數定義為流體的動力粘度。動力粘度是切應力與速度梯度之比。dzdudtdxdzddzdxdtddtd5)-1-(6 dzdu 在國際單位制 (SI) 中，動力粘度的單位可采用 Nsm2 或寫作Pas。各種不同流體的動力粘度數值范圖很寬?？諝獾膭恿φ扯葹?0.02 mPa s ，而水的粘度為 1 mPa s ，潤滑油的粘度范圍為2400mPas，熔化的瀝青可達700mPas 。凡是服從牛頓粘性定律的流體統(tǒng)稱為牛頓流體，實踐證明：在一般工況條件下

14、的大多數潤滑油，特別是礦物油均屬于牛頓流體性質。 工程中常常將流體的動力粘度與其密度的比值作為流體的粘度，運動粘度，通常用符號表示即。/ （6-1-6 ）運動粘度的單位在國際單位制中用 m2/s 。通常潤滑油的密度0.71.2g/cm3，礦物油密度的典型值為 0.85g/cm3，因此運動粘度與動力粘度的近似換算式可采用。 0.85 （ 6-1-7 ） 按照分子學的觀點，凡是流體都是由大量的處于無規(guī)則運動狀態(tài)的分子所組成，流體的粘度是分子間的引力作用和動量的綜合表現(xiàn)，分子間的引力隨著分子間的距離增大而急劇減小，而分子的動量取決于運動速度。 當溫度升高時，流體分子運動的平均速度增大，而分子間的距離

15、也增加。這樣就使得分子的動量增加，而分子間的作用力減小。因此，液體的粘度隨溫度的升高而急劇下降，從而嚴重影響它們的潤滑作用。為了確定摩擦副在實際工況條件下的潤滑性能，必須根據潤滑劑在工作溫度下的粘度進行分析。這樣，熱分析和溫度計算成為潤滑理論的主要問題之一。而氣體的粘度隨溫度的升高而略有增加。 粘度隨溫度的變化是潤滑劑的一個十分重要的特性。通常潤滑油的粘度越高，其對溫度的變化就越敏感。 為了對摩擦副在實際工況條件下的潤滑性能進行分析，必須知道潤滑劑在工作溫度下的粘度以及隨溫度的變化規(guī)律。 對于潤滑劑的粘度溫度特性已作了大量的研究，并提出了許多關系式。各種公式都存在著應用上的局限性。Reynol

16、dsVogel式中0 為溫度為 T0 時的粘度；為溫度為 T 時的粘度；為溫粘系數，可近似取 0.03/； b 為常數。 Reynolds 粘溫方程在數值計算中使用起來較方便，而 Vogel 粘溫方程描述粘溫關系更為準確。8)-1-(6 )(00TTe9)-1-(6 )(0Tbe 為了便于工程應用，常需繪制粘溫關系線圖。美國材料試驗學會 ( 美國材料試驗協(xié)會) 線圖得到普遍采用，它是一種經驗方法?；?Walther 提出的關系式， 當的單位用 mm2/s 時，得 d10 ，a 0.6 ，則 Walther關系式可以近似地寫成 loglog(十 0.6) A Blog T (6-1-10) 在

17、美國材料試驗學會坐標紙上，采用雙對數的縱坐標和單對數的橫坐標，式 (6-1-10) 為一直線。因此，美國材料試驗學會線圖的優(yōu)點是只需測定兩個溫度下的粘度值以決定待定常數一和 B ，然后根據直線即可確定其它溫度下的粘度。 對于通常的礦物油，采用美國材料試驗學會線圖十分有效，還可將直線的斜率用作評定潤滑油粘溫特性的指標。cTbda/1 確定粘度指數的方法是將待測的油與兩種標準油進行對照選擇標準油時，兩種標準油的VI值分別規(guī)定為100和0，還應使它們在210F(99)時的運動粘度與待測油的相等，再根據它們在100F(38)時的運動粘度按下式計算待測油的 VI值，如圖，即其中L，H和U分別為0VI,

18、100VI標準油和待測油在100F時的運動粘度值。大多數工業(yè)用潤滑油的VI值介于0100之間。粘度指數高的潤滑油表示它的粘度隨溫度的變化小，因而粘溫性能好。粘度指數原用來評定礦物油的粘溫特性，而應用于合成油和多級油時，其VI值通常要超過100，要重新修訂。11)-1-(6 100HLULVI 采用粘度指數采用粘度指數 (VI (VI 值值) ) 來表示各種潤滑來表示各種潤滑油粘度隨溫度的變化程度，也是一種應用油粘度隨溫度的變化程度，也是一種應用普遍的經驗方法。普遍的經驗方法。 當液體或氣體所受的壓力增加時，分子之間的距離減小而分子間的引力增大，因而粘度增加通常，當礦物油所受壓力超過0.02GP

19、a時，粘度隨壓力的變化就十分顯著，隨著壓力的增加粘度的變化率也增加當壓力增到幾個GPa。 粘度與壓力的關系常用的是 Barus 公式 (1893 年) ，它用于液體具有適當的精度，而且便于數學運算，即式中，為壓力p時的粘度；0為大氣壓下的粘度；而定義為液體的粘壓系數。實踐證明：當壓力很高時，Barus公式計算的粘度值過大，可用其他粘壓公式計算。12)-1-(6 0pe 在通常的使用條件下，潤滑油可以視為牛頓流體。對于牛頓流體，切應力與切應變率的關系是通過原點的直線，如圖中的C。 直線的斜率表示粘度數值，因此，牛頓流體的粘度只隨溫度和壓力而改變，而與剪應變率無關。 凡是不同于上述特性的流體統(tǒng)稱為

20、非牛頓流體。如圖中的A，B和D所示，非牛頓性可以表現(xiàn)為塑性,偽塑性和膨脹性等型式。對于偽塑性和膨脹性流體，通常用指數關系式近似地描述其非線性性質，即 (6-1-13)式中和n為常數, 對于牛頓流體,n1而定義為動力粘度。n 圖中A代表的塑性體亦稱Bingham體，它顯示出一種屈服應力s，當切應力超過s時才產生流動，其流變關系式為 (6-1-14) 潤滑脂的非牛頓性質類似于Bingham體，但切應力與切應變率呈非線性關系。潤滑脂的流變特性可用下列公式近似地表達。 為了改善使用性能，現(xiàn)代潤滑油通常含有由多種高分子材料組成的添加劑，以及合成潤滑劑的大量使用，它們都呈現(xiàn)出強烈的非牛頓性質，使得潤滑劑的

21、流變行為成為潤滑設計中不可忽視的因素。s15)-1-(6 ns 粘度計的種類繁多，按照它們的工作原理可以歸納為三類，即毛細管式、落體式和旋轉式粘度計。 毛細管式粘度計是以一定容積的流體，依靠壓力差或者自身的重量，流過一根標準毛細管所需的時間來測定流體的粘度。毛細管粘度計又有絕對粘度計和相對粘性計兩種型式。絕對粘度計是根據粘性流體力學的公式來計算粘度值；而相對粘度計是用已知粘度的液體進行校準，先獲得粘度計常數，再確定待測流體的粘度。由于尺寸誤差不影響測量結果，相對粘度計的精度較高。 常用商業(yè)毛細管式粘度計有雷氏(紅色木材),賽氏(Saybolt)和恩氏(Engler)粘度計三種。它們的結構類似，

22、只是所用流體的容積和毛細管尺寸不同。雷氏粘度計通常用于英國，賽氏粘度計多使用于美國，而蘇聯(lián)和歐洲國家以及我國則采用恩氏粘定計。這三種粘度計的測量值可與厘斯換算。 最常用的落體式粘度計是用一個鋼球在充滿待測流體的管子中下落的終速度來測定粘度的。當球與管子的間隙很小時，落球粘度計可用來測量氣體的粘度，而且還可以測量處于高壓力下的流體粘度。落體粘度計的另一型式是落筒粘度計，它由兩個立式同心圓筒組成，兩圓筒之間灌滿待測流體，外筒固定，內筒下落。落筒粘度計主要用以測量高粘度的流體，并能方便地改變切應變率以測量非牛頓流休的粘度。 旋轉式粘度計的兩個元件之間充滿待測流體，其中一個固定而另一個旋轉。通過測定相

23、對旋轉時使流體受剪切的阻力矩來計算粘度。它的主要型式有轉筒粘度計和錐板粘度計，前者由兩個同心圓筒組成，后者由一平面和一圓錐面組成。這些粘度計能在不同的速度下旋轉，可以測量不同切應變率時的粘度，特別適用于非牛頓流體的測量。 還有許多特殊用途的粘度測量裝置。從數學觀點分析，各種流體潤滑計算的基本內容是對NavierStokes方程的特殊形式Reynolds方程的應用和求解。1883年Tower對火車輪軸的軸承進行實驗，首次觀察到流體動壓現(xiàn)象。隨后，1886年Reynolds根據流體力學提出了潤滑的基本方程，成功地揭示了流體薄膜產生動壓的機理，為現(xiàn)代流體潤滑理論奠定了基礎。 Reynolds 方程是

24、二階偏微分方程。以往依靠解析方法求解，必須經過許多簡化處理才能獲得近似解，因而理論計算具有很大的誤差。當今由于計算機技術的迅速發(fā)展，復雜的潤滑問題有可能進行數值解算。此外，先進的測試技術對于潤滑現(xiàn)象可進行深入細致的觀察，從而建立更加符合實際的物理數學模型。這樣，許多工程問題的潤滑計算大大接近于實際。目前，潤滑計算已在機械設計中占有更重要的地位。 對于剛性表面的流體潤滑，通常稱流體動壓潤滑理論，它基于下列的基本方程，即 (1)運動方程：代表動量守恒原理，亦稱為NavierStokes方程； (2)連續(xù)方程：代表質量守恒原理； (3)能量方程：代表能量守恒原理； (4)狀態(tài)方程：建立密度與壓力、溫

25、度的關系； (5)粘度方程：建立粘度與壓力、溫度的關系。 對于彈性表面的潤滑問題，還需要加入彈性變形方程，因此稱為彈性流體動壓潤滑理論。 由運動方程和連續(xù)方程推導出的 Reynolds 方程是流體潤滑理論最基本的方程。 以上假設對于一般流體潤滑問題而言，基本上是正確的。而假設是為簡化而引入的，只能有條件的使用。在某些特殊工況下必須加以修正。 運用上述假設，由NavierStokes方程和連續(xù)方程可以直接推導出Rcynolds方程。下面我們采用流體力學中微元體分析方法推導 Reynolds 方程。其主要步驟是： 由微元體受力平衡條件，求出流體沿膜厚方向的流速分布； 將流速沿潤滑膜厚度方向積分，求

26、得流量； 應用流量連續(xù)條件，最后推導出 Reynolds 方程的普遍形式。 潤滑膜中微元體在X方向的受力如圖所示，它只受流體壓力p和粘性力的作用 (假設,) 。 設u，v，w分別為流體沿坐標X，Y, Z方向的流速，流速u 為主要速度分量，其次是v 而z為沿膜厚方向的尺寸，其數值比x或y都小得多。因此，與速度梯度 和 相比較，其它速度梯度數值甚小，均可忽略不計。這樣，在X方向的受力中， (dxdz) 表面無粘性剪力作用。由X方向受力平衡，可得1)-2-(6 )()(dxdydydzdxxppdxdydzzpdydz2)-2-(6 zxpzzuv 根據牛頓粘性定律 (假設(5)、 (6)故以上得出

27、流體壓力，沿X，Y, Z三個方向的變化率。由于p不是z的函數(假設(3)，而也不是z的函數(假設(3)，將式 (6-2-3) 對 z 積分兩次，于是21212)(CzCzxpdzCzxpuzu4)-2-(6 )(zvzyp3)-2-(6 )(zuzxp）（假設且)3( 0 zp1Czxpdzxpzu用邊界條件確定C1和C2。由于界面上流體速度等于界面速度(假設(2)，如果兩固體表面的速度為U0和Uh，即當z0時，uU0；當zh時，uUh,如圖所示。求得02UC21212)(CzCzxpdzCzxpu1Czxpdzxpzu2)(01hxphUUCh 因此，潤滑膜中任意點沿X方向的流速為 左圖表示

28、流速u沿Z向的分布。它由三部分組成：式 (6-2-5) 中的第三項表示整個潤滑膜以U0速度運動，沿膜厚方向即 Z 向各點的速度相同。第二項則是流速沿膜厚方向按三角形分布，它代表由于兩表面的相對滑動速度 (UhU0) 引起的流動，所以是 “速度流動”。而第一項為拋物線分布，它表示由 引起的流動，故稱“壓力流動”。5)-2-(5 )()(21002UhzUUzhzxpuh6)-2-(5 )()(21 002VhzVVzhzypvh同理xp 現(xiàn)在讓我們來分析高度為膜厚h的微元柱的流量變化。如圖，設單位寬度上的質量流量為 mx 和my，而容積流量為qx 和 qy ，則hxudzm0hyvdzm0hxu

29、dzq0hyvdzq0 考慮到潤滑膜厚度甚小，等溫潤滑時可以認為密度沿膜厚方向不變化，因此將 u,v 的表達式代入上頁的式子，并進行定積分，可以推得xxqm7)-2-(6 2)(1203hUUxphqhxyyqm8)-2-(6 2)(1203hVVyphqhy由流量連續(xù)條件，流入微元的質量應等于流出微元質量，可得 這里w0和wh具有兩種含意：其一是兩固體表面以速度w0和 wh向上運動，引起膜厚h發(fā)生變化。此時，(w0wh)dxdy表示容積的變化率，而(w0wh)可寫成 。另一種情況是當兩固體表面為多孔性材料，流體以速度 w0流入，而以速度wh流出微元柱，因而引起流量變化。上式經化簡后可得dxd

30、ywdxdyymmdydxxmmdxdywdxmdymhyyxxyx)()(00)()()(0wwqyqxhyx將將qx, qy代入代入, 并令并令U=U0+Uh, V=V0+Vh, 則得一般形式雷諾方程則得一般形式雷諾方程9)-2-(6 )(2)()( 6)()(033wwhVyhUxyphyxphxhth Reynolds 方程 (5-2-9) 的左端表示潤滑膜壓力在潤滑表面上隨坐標 x, y 的變化，右端表示產生潤滑膜壓力的各種效應。 將式 (5-2-9) 右端展開，各項的物理意義如下：擠壓效應變密度效應伸縮效應動壓效應- )4(- , (3)- , (2)- , )1 (thyVhxU

31、hyVhxUhyhVxhU9)-2-(5 )(2)()( 6)()(033wwhVyhUxyphyxphxh 圖(1)說明通?；瑒虞S承的形狀特征及其所產生的動壓效應。當下表面以速度 U 運動時，沿運動方向的間隙逐漸減小，潤滑劑從大口流向小口，形成收斂間隙。此時，由于速度流動引起的單位長度上的流量由圖中三角形面積表示，因此沿運動方向流量逐漸減少。為了保證流量連續(xù)條件，必然產生如圖所示的壓力分布。由此壓力引起的壓力流動將減少大口的流入流量，而增加小口的流出流量，以保持流過各斷面的流量相等。由此可見，流體沿收斂間隙流動將產生正壓力，而沿發(fā)散間隙流動一般不能產生正壓力。 , )1 (yhVxhU 圖(

32、b)表示伸縮效應。當固體表面由于彈性變形或其它原因使表面速度隨位置而變化時，將引起各斷面的流量不同而破壞流量連續(xù)條件，因此產生壓力流動。為了產生正壓力，表面速度沿運動方向應逐漸降低。在通常的潤滑問題中，伸縮效應實際上不存在。 , (2)yVhxUh 圖(c)為變密度效應。當潤滑劑密度沿運動方向逐漸降低時，雖然各斷面的容積流量相同，但質量流量不同，也將產生流體壓力。密度的變化可以是潤滑劑通過間隙時，由于溫度逐漸升高所造成的，也可以是外加熱源使固體溫度不同而造成的。雖然變密度效應產生的流體壓力并不高，但是這種作用有可能使相互平行的表面具有一定的承載能力。yVhxUh , (3) 圖 (d) 表示兩

33、個平行表面在法向力作用下相互接近，使?jié)櫥ず穸戎饾u減薄而產生壓力流動，此稱擠壓效應。但是，當兩個表面相互分離的形成低壓常導致潤滑膜破壞和產生空穴現(xiàn)象。動壓效應和擠壓效應通常是形成潤滑膜壓力的兩個主要的因素。在往復運動的潤滑表面和受沖擊載荷的軸承中，擠壓效應具有重要的作用。th )4(Reynolds 方程是潤滑理論中的基方本程，流體潤滑狀態(tài)下的主要特性，都可以通過求解這一方程后推導出來。 當運動速度和潤滑劑粘度已知時，對于給定間隙形態(tài) h(x，y) 和邊界條件，將Reynolds方程積分，即可求得壓力分布p(x，y)。Reynolds方程中含有粘度，密度，膜厚等變量，它們一方面影響壓力場和溫度

34、場的數值，同時又受壓力場，溫度場以及固體表面變形的影響。因此，為了精確地求解流體潤滑問題，往往需要將Reynolds方程和能量方程，熱傳導方程，彈性變形或熱形變方程以及潤滑劑的狀態(tài)方程等聯(lián)立求解。這樣，在數學上存在很大的困難。迄今為止，除對個別特定的條件可以得到解析解之外，通常都借助于數值方法，采用電子計算機運算。潤滑膜作用在固體表面的摩擦力可以將與表面接觸的流體層中的剪應力沿整個潤滑膜范圍內積分而求得，即 考慮到剪應力作用方向，上式中正號為z0 表面上的摩擦力，而負號為zh 表面上的摩擦力。 將式 (5-2-5) 代入牛頓粘性定律，可得dxdyFhzh, 0, 0hUUhzxpxuh)()2

35、(210 因而，對于下表面 z 0 和上表面 z h ，求得摩擦力為11)-2-(6 )(20dxdyhUUxphFhh10)-2-(6 )(200dxdyhUUxphFh 摩擦力求得之后，進而可以確定摩擦系數FW，以及摩擦功率損失和因粘性摩擦所產生的發(fā)熱量。 在整個潤滑膜范圍內將壓力 P(x, y) 積分就可求得潤滑膜支承的載荷量，即 積分的上下限根據壓力分布來確定。 通過潤滑膜邊界流出的流量可以按下式計算 將各個邊界的流出流量總和起來即求得總流量。計算流量的必要性在于確定必須的供油量以保證潤滑油填滿間隙。同時，流量的多少影響對流散熱的程度，根據流出流量和摩擦功率損失還可以確定潤滑膜的熱平衡

36、溫度。pdxdyWdxqdyqQyxxyQ 或 Reynolds 方程是一個二維二階非線性偏微分方程，用解析方法求解十分困難，因而需要采取一系列的簡化。雖然，由于當今電算技術的迅速發(fā)展，使得這些簡化計算遠不如以往重要。但是，從節(jié)省計算機時著眼，簡化仍然是有價值的。 通常采用以下的簡化形式：通過適當地選擇坐標系統(tǒng)，例如使兩固體表面相對運動的方向與坐標軸重合，總可以使 F0 。通常的固體表面沿運動方向各點的速度相同，即 U 不是 x 的函數。這樣，Reynolds方程可以簡化為)(2)( 6)()(033wwhxUyphyxphxh 如果固體表面不是多孔性材料，無流體滲入或滲出此時， wh 和 w

37、0 表示兩表面沿膜厚方向的運動速度，而 (whw0) 可寫成 。 在理論上說，穩(wěn)定狀態(tài)下工作的軸承潤滑 應為零。但在實際機械中，由于振動往往使 與 具有相同的量級。因此，忽略擠壓效應即令 (whw0)=0 的根據不足。但由于包含擠壓項的Reynolds方程求解非常復雜, 同時忽略擠壓項以后的計算偏于安全，通常對于穩(wěn)態(tài)工況的軸承，Reynolds方程簡化為12)-2-(6 )(6)()(33hxUyphyxphxththth)( hxU 在壓力和溫度變化不大的條件下，液體潤滑劑的密度可視為常數，則適用于液體潤滑的 Reynolds 方程為 對于氣體潤滑，氣體的密度由狀態(tài)方程確定，通常認為 p/等

38、于常數。大多數氣體潤滑處于等溫狀態(tài)，取 1 ，即p，因此氣體潤滑的Reynolds方程可用下列形式13)-2-(5 6)()(33xhUyphyxphx14)-2-(5 )(6)()(33hpxUypphyxpphx 當潤滑膜中的熱效應不是十分顯著時，可視為等溫狀態(tài)，即流體粘度在整個潤滑膜中保持不變，此時15)-2-(6 6)()(33xhUyphyxphx 如圖，如果潤滑表面在X方向的寬度為B，沿Y方向的長度為L。當L遠大于B時，則 遠小于 近似地 ，即沿 y 方向無流動。此時得到一維的 Reynolds 方程 若在某一點 h 處，存在 dp/dx0，因此積分常數c=6U ，于是該方程可整理

39、成必須指出：式 (6-2-16) 中的 是待定常數，它的數值應根據邊界條件來確定。dxdhUdxdphdxd6)(3積分一次后，可得積分一次后，可得chUdxdph63hh16)-2-(6 63hhhUdxdph0ypypxp0yp如圖，當L遠小于B時，則 遠大于 。此時，近似地令 ，稱為無限短近似通常 h 只隨 x 變化而與 y 無關，所以。積分兩次后，得 由邊界條件：當y=L/2 時，p=0；當y=0時，由于對稱性，dp/dy=0，求得積分常數c1=0,所以，21323cycdxdhhyUpdxdhUdydphdyd6)(3dxdhhLUc3224317)-2-(6 )4(13223Lyd

40、xdhhUp0 xpxp yp 0 xp 式 (6-2-17) 給出了任何已知幾何形狀下各點潤滑膜壓力的數值。由此可見：用無限短近似方法計算壓力分布十分簡便，但是這個公式在應用上對間隙形狀有一定要求。 由于h是x的函數，dh/dx也是x的函數。在X方向上，只有當dh/dx=0 或者h處，才能滿足p=0的條件，而成為潤滑膜的起始點或終止點。因此，無限短近似公式只能應用于在 X 方向的邊緣處滿足上述條件的場合。 式 (6-2-17) 中 (y2L2/4) 的因子表明壓力 p 沿 Y 方向的變化按照拋物線規(guī)律分布。這一點常作為有限長軸承簡化計算的理論依據。 通常，無限短近似理論用在L/B1/3的情況

41、下將得到滿意的結果，而無限長近似一般適用于L/B3 的情況。17)-2-(6 )4(13223LydxdhhUp 在積分 Reynolds 方程求解壓力分布中，需要應用壓力分布的邊界條件來確定積分常數。一般說來，根據幾何結構和供油情況是不難確定油膜起始點和終止點位置的。 但是，對于某些潤滑表面諸如徑向軸承，它們同時包含收斂和發(fā)散油楔，如圖為徑向軸承的展開。在收斂油楔部分無疑將形成油膜，而在發(fā)散油楔部分如何確定油膜終止點位置上存在著不同的觀點。 如圖所示，Sommerfeld邊界條件是最早提出來的。其要點是收斂區(qū)形成正壓力，發(fā)散區(qū)形成負壓力，而且壓力分布是反對稱的，即在最大間隙hmax和最小間隙

42、hmin處，壓力p0。 然而，這種條件在物理上是不可能滿足的，因為實際的油膜不可能承受數量大而持續(xù)作用的負壓力。潤滑油只能承受較高負壓的沖擊波或者很小的持續(xù)負壓。 顯然，在負壓區(qū)油膜將破裂，混入空氣或蒸汽而造成空穴現(xiàn)象，從而喪失承載能力。但由于Sommerfeld邊界條件可以方便地求解壓力分布，有時用作潤滑問題的定性分析。 為了排除負壓問題，簡單的方法是采用半Sommerfeld邊界條件。假設收斂油楔的油膜壓力與Sommerfeld邊界條件相同。在hmax和hmin處，令p0。而在發(fā)散區(qū)內，取全部壓力為零。 但是，半Sommerfeld 邊界條件在物理上也是不能實現(xiàn)的，因為在收斂區(qū)和發(fā)散區(qū)的流

43、量不相等，破壞了連續(xù)條件。但由于它使用方便，所給出的壓力分布與實際情況相當接近而且偏于安全，所以常應用于工程計算。 Reynolds邊界條件既克服了發(fā)散區(qū)的負壓問題，也滿足流量連續(xù)條件。其將油膜的起始點取在最大間隙處，即在hmax處，令p0 。而油膜的終止點是根據油膜自然破裂確定的，它位置在最小間隙之后發(fā)散區(qū)內的某點，該點同時滿足p=0以及 的條件。Reynolds邊界條件可以保證流動連續(xù)性，在油膜起始點和終止點之間，潤滑膜是連續(xù)的。而在終止點以后，由于間隙逐漸擴大，潤滑油不可能充滿整個間隙，因而分裂成條狀流動，一部分為液體，一部分為空氣或真空。 圖中繪制了三種邊界條件所得出的壓力分布曲線。實

44、際測量的結果與 Reynolds 邊界條件比較接近，但由于其油膜終止點位置必須根據計算確定，使用時不及其它邊界條件方便。0 xp 各類流體潤滑問題都涉及狹小間隙中的流體粘性流動，描寫這種物理現(xiàn)象的基本方程為Reynolds方程，其普遍形式是 如前所述，這個橢圓型的偏微分方程僅僅對于特殊的間隙形狀才可能求得解析解。對于復雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，根本無法用解析方法求解。而當今迅速發(fā)展的電算技術使得數值解法成為求解潤滑問題的有效途徑。)(2)()( 6)()(033wwhVyhUxyphyxphxh 數值法是將偏微分方程轉化為代數方程組的變換方法。它的一般原則是：首先將求解域劃分成有限個

45、數的單元，并使每一個單元充分的微小，以致于可以認為在各單元內的未知量 (如油膜壓力p) 彼此相等或者依照線性變化，而不會造成很大的誤差。然后，通過物理分析或數學變換方法，將求解的偏微分方程寫成離散形式，即是將它轉化為一組線性代數方程。該代數方程組表示了各個單元的待求未知量與周圍各單元未知量的關系。最后，根據高斯消去法或者高斯 Seidel 迭代法求解代數方程組，從而求得整個求解域上的未知量。 用來求解 Reynolds 方程的數值方法很多，最常用的是有限差分法和有限單元法，近十多年發(fā)展成熟的邊界元方法在潤滑計算中開始得到應用。這些方法都是將求解域劃分成許多個單元，但是處理方法各不相同。在有限差

46、分法和有限單元法中，代替基本方程的函數在求解域內是近似的，但能夠完全滿足邊界條件。而邊界元方法所用的函數在求解域內完全滿足基本方程，但在邊界上則近似地滿足邊界條件。1.滑塊與推力軸承2.徑向滑動軸承 楔形滑塊是潤滑設計中最簡單的問題，當滑塊的幾何形狀不十分復雜時，常?？梢缘玫浇馕鼋?。另外，通過對滑塊問題的分析不僅有助于了解潤滑的基本特性，而且也是推力軸承潤滑設計的基礎。求解無限長滑塊問題由于不考慮端泄，雷諾方程簡化為一維常微分方程。當膜厚方程已知時，可以求得方程的通解。再代入邊界條件和連接條件得到壓力分布。利用壓力分布可以求得載荷、摩擦力和流量等潤滑特性參數。 求解滑塊問題的雷諾方程為對這一方

47、程積分兩次后，其通解可以寫為式中 C1 和 C2 為積分常數，由下面的邊界條件確定。常用的兩種壓力邊界條件是：1)-4-(5 6)(3dxdhUdxdphdxd23126ChdxCdxhUp）為待定出口邊界，和；為滑塊寬度）為出口邊界，；BxxxpppBBxxppxxxxxxxx( 0 0 0)2(,( 0 0 ) 1 (00 對膜厚函數不連續(xù)或其導數不連續(xù)時，以不連續(xù)處為分界線分別寫出兩邊壓力方程，這樣待定積分常數的個數會相應增加。因此必須在不連續(xù)處加上相應的連接條件。設不連續(xù)處的坐標為 x* ，則連接條件是：（1）壓力連接條件（2）流量連續(xù)條件2)-4-(6 *0*0 xxxxpp3)-4

48、-(6 2)(122)(12*0*0213213xxxxhUUxphhUUxph以無限長直線滑塊作為算例，如圖。設 K=(h1h0)/h0，有h=h0(1+ Kx/B) 用于膜厚h和坐標x成線性，將膜厚對x求導，得將上式代入一維雷諾方程，并對變量 h 進行積分可得式中， 為 dp/dx=0 處即最大壓力處的油膜厚度。dxBhKdh0)21(620ChhhKhBUph收斂比收斂比利用邊界條件h=h0和h=h1時，p=0 求得從而單位長度承載量：式中，L為y方向長度。 將W對K求極值，即令dW/dK=0,可以求得對應于最大承載量的K值，得K1.2，h1/h0=2.2 時，W為最大值。5)-4-(6

49、 22) 1ln(6)(2ln6/202210010120220010KKKhKBUhhhhhhhKBUpdhKhBpdxLWhhB1010101 2hhChhhhh4)-4-(6 )111(610210100hhhhhhhhKhBUp 通常，傾側式滑塊被支承在一個支點上，滑塊可以繞支點自由擺動，以自動調整兩表面的收斂比。顯然，為使傾側式滑塊保持平衡，支承中心的位置必須與滑塊上所受油膜壓力的合力(即載荷作用點)相重合。將式 (5-4-2) 、式 (5-4-3) 代入，經積分運算后，得BpxdxLWx00/6)-4-(6 2)1ln()2(2)1ln()32(2)6(0KKKKKKKKBx 表面

50、上的切應力為單位長度的摩擦力為式中，F(xiàn)h，h 和F0,0 分別為zh和z0表面上的摩擦力與切應力。 上式第一項積分可用分部積分法求得，即因此可以得到摩擦力為BBhhdxhUhxpdxLF000,0,)2(/Uhhzxpzu)2(LWBKhpdxBKhdhphpdxhxpBBBB222220000007)-4-(6 2) 1ln(/000,LWBKhKKhUBLFh 由于是無限長滑塊, 不存在端泄流動, 即qy0 ，則流量為 可以證明，當 h 時，dp/dx=0, 故單位長度的流量為LLxxdyUhdxdphdyqQ030)212(8)-4-(6 212100KKUhdyhULLQLxh 由直線

51、構成的滑塊還有如圖的組合滑塊和 Rayleigh 階梯滑塊等，求解雷諾方程時需要在膜厚不連續(xù)處引入連接條件如式 (6-4-2),式 (6-4-3) 。除了直線滑塊外，其他類型的滑塊有曲面滑塊、組合滑塊和階梯滑塊等。 關于有限長滑塊的潤滑計算需要求解二維的 Reynolds 方程，除少數情況可以采用解析方法之外，還有電模擬法和數值計算方法。 電模擬法常用的有電解槽模擬和直流電網絡模擬等。這種方法的依據是：決定電壓和電流之間關系的微分方程和決定流體壓力和流量之間關系的微分方程基本相同，這樣，在按對應關系建立的電模擬裝置上，測出各點的電參量即可推算相應的潤滑參數。 模擬法可以取足夠多的點作為測定對象

52、，求得大量數據。在計算機普遍使用以前，模擬法得到廣泛的應用。當前對于有限長的潤滑問題，采用電算技術求得數值解特別簡便，并且適用于復雜的幾何形狀和各種工況下的潤滑性能計算。 流體動壓潤滑推力軸承主要用于重型機械設備，如水輪機、立式風扇和泵、大型透平機械，以及船舶推進器等。 推力軸承的承載能力受速度的影響很大。為了形成充分的動壓潤滑，通常要求平均滑動速度大于 3m/ s。而最高滑動速度受到摩擦功率損失以及因發(fā)熱而產生的最大溫度的限制，據資料可達到 90m/s。推力軸承典型的平均油膜壓力為 3.5 7MPa，對直徑為 800mm 的推力軸承,可承受載荷 6 105N。 為了提高推力軸承的承載能力，應

53、使軸承表面盡可能多的部分構成收斂楔形，因此，通常將軸承表面均分為若干扇形滑塊，如圖所示。 滑塊之間留作供油油溝，油溝所對應的圓心角占15。滑塊寬度B0.85 Dm/n ；滑塊長度L(D1D2)/2，而軸承的總承載量應為nW 。這里，D1，Dm和D2分別為控力盤的外徑，中徑和內徑, n 為滑塊數。 影響推力軸承性能的兩個重要因素是溫度和滑塊變形。粘性發(fā)熱所造成的溫度升高使?jié)櫥偷恼扯蕊@著下降，在滑塊中央的粘度通常只有入口粘度的2040。精確地考慮溫度影響需要進行變溫度的潤滑計算。但在工程設計中，也常根據油膜的平均溫度來粗糙地考慮粘度的變化。 在忽略熱傳導的前提下，根據潤滑膜的熱平衡條件可以計算平

54、均溫升 T ，即cQT=kH (5-4-9 ）其中，為潤滑油密度；c為潤滑油比熱；Q為流量；H為摩擦功率損失；而k為半經驗常數，k0.6 。 依照T決定油膜平均溫度和潤滑油的粘度值。計算時，采用反復迭代的方法，直到各項參數相互適應為止。 實踐證明：在推力軸承中，由于滑塊的安裝制造誤差、工作中的彈性變形和熱變形等因素所造成的間隙變化，往往超過最小油膜厚度的數值，因此，有必要考慮這些因素的影響。計算滑塊的彈性變形和熱變形涉及到求解薄板撓曲的雙調和方程，通過數值計算可以得到所需的結果。 圖是兩種可傾瓦推力軸承，(a)為可傾瓦推力軸承，其扇形塊的傾斜角能隨載荷的改變而自行調整，因此承載性能優(yōu)越；(b)

55、為彈性支承推力軸承，其扇形塊的支承有較大彈性，因此傾斜角可以在一定范圍內隨載荷改變而改變。 在流體動壓潤滑的機械零件中最常見的是徑向軸承。通常軸承孔的直徑比軸頸直徑大千分之二左右，當軸頸處于偏心位置時，兩個表面組成收斂楔形。通過軸頸的轉動，使?jié)櫥ぎa生流體動壓以支承軸頸上的載荷。實際上軸承的工作情況十分復雜，由于影響因素很多和數學上的困難，當前的潤滑理論都經過不同程度的簡化。軸頸旋轉將潤滑油帶入收斂間隙而產生流體動壓，油膜壓力的合力與軸頸上的載荷相平衡，其平衡位置偏于一側，如圖所示。 軸心 O2 的平衡位置通過兩個參數可以完全確定，即偏位角和偏心率。偏位角為軸承與軸頸中心的連心線 O1O2 與

56、載荷 W的作用線之間的夾角。而偏心率 e/ c ，這里 e 為偏心距， c 為半徑間隙 cR1R2 。由圖的幾何關系和正弦定律可得：H=ecos+ c=c(1+ cos)（6-4-10）式表示的軸承間隙形狀為余弦函數，該表達式的誤差僅為 0.1 。 無限短徑向軸承理論對于長徑比 L/D0.25 的軸承可得到滿意的近似結果，近代的軸承多采用較小的 L/D 數值，特別是高速軸承。如果采用半Sommerfeld邊界條件，承載油膜在0 范圍，將載荷W表示為沿連心線方向的分量 Wx 和垂直連心線方向的分量 Wy ，如下圖，則有17)-2-(6 )4(13223LydxdhhUp：由上面的簡化計算得到11

57、)-4-(6 )4()cos1 (sin3 2232yLRcUp也可表達為將式 (5-4-11) 代入后，經積分運算可得則承載量為22223)1 (cLUWx2/3223)1 (4cLUWy12)-4-(6 )1 (16)1 (4 )1 (16)1 (16)1 (2222223222222322cLUcLUWWWyx 220cosLLxdydpRW 220sinLLydydpRW 將承載量無量綱化得到的一個表征軸承承載能力的綜合參數稱為 Sommerfeld 數，它的表達式為 上式表明：與 L/D 和有關，即當 L/D 和的數值增加時，值也增加，故承載量 W 增加。但是，選擇過大的 L/D 數

58、值將使軸承的發(fā)熱和溫度增加，反而使得潤滑油的有效粘度降低。而值的增大使 hmin 的數值減小，它受到必須保持兩粗糙表面不互相接觸的限制。22/RcULW于是，式于是，式 5-4-12 變?yōu)樽優(yōu)?3)-4-(6 1) 116()1 ()(22222DL偏位角的計算公式為已知 上述方程在極坐標系中的圖形為一半圓，如圖所示。由此可知：確定軸心平衡位置的兩個參數和彼此不是獨立的。隨著軸承工作參數的改變，軸心位置將在關系描繪的半圓上運動，所以稱它為軌跡圓。214tanxyWW如果近似地取如果近似地取/4=1,則對照以上兩式可得則對照以上兩式可得cecoscoscos1cossintan2 軸承在運轉中潤

59、滑油不停地泄漏，為了保持完整的潤滑油膜和軸承冷卻，就必須不斷地補充潤滑油。補充流量由兩部分組成：一部分是承載油膜起始點和終止點的流量差；另一部是壓力供油時從軸承供油處附近直接流出的流量。前者是由油膜壓力引起的，稱為端泄流量；而后者為與供油壓力有關的軸向流量，它對軸承的冷卻有一定的影響。徑向軸承圓周方向流量 q 為由于無限短軸承理論中的 ，因此 q Uh/2總流量為 Q UhL/2由于在起始點h=c(1+) ，終止點h=c(1),所以端泄流量為UhpRhq2112314)-4-(6 )1 (21)1 (21ULcULcULcQ0p潤滑油通入軸承通常有三種結構：周向油槽、給油孔、軸向油槽或油腔供油

60、引起的軸向流量。取決于供油壓力、潤滑油粘度以及供油處結構和幾何形狀, 而與軸的旋轉速度無關。 由無限短軸承理論得 ，即沿圓周方向不存在由于壓力變化引起的切應力，因而=U/h ，則作用在軸頸上的摩擦力為16)-4-(6 ) 162. 0()1 (82/122/322LRcWF15)-4-(6 )1 (122/122/2/20cURLdyRdFLL按無限短軸承理論求得的摩擦系數為按無限短軸承理論求得的摩擦系數為0p 無限長軸承可以近似地取 dp/dy=0 即不考慮端泄，以角坐標表示的無限長軸承的 Reynolds 方程為：將h=c(1+cos) 的數值代入積分后得式中 ， C1 為積分常數。 通過