考研數(shù)學(xué)一筆記.docx

1、.高等數(shù)學(xué)常用公式等比數(shù)列an a1 qn 1sna1 (1 qn )1 q等差數(shù)列ana1( n1)dsn(a1an )n2 122232n 21 n n1)(2n1)(62 132333n3n(n1)2極限nu1 u2un一、對于和式1 1進行適當(dāng)放縮有兩種典型的法當(dāng)為無窮大時，則當(dāng)為有限項，且專業(yè)資料._二、常用極限：nnm，1. limna1a2ammax ai1,2,3m ) (in2. f (x)dxlimni )xilimnba i ) baf (f (aba0i1ni 1nnbnn(i1)(ba) b af ( x)dxlimf ( i)xilimf (a3n)a0i 1ni1

2、n3. lim na1n4. lim nanb 1（,， a，b為常數(shù)）n5. lim x x1x06.若 lim ana，則n . lim a1a2anann .若 an0(n1,2,3)，則 lim n a1a2anan三、常見等價無窮小代換總結(jié)常見等價無窮小代換總結(jié)專業(yè)資料. sin x xx3x5o(x5 )3!5!x2x33o xln(1 x) x)2(3 ln(1 x) ( xx2x 3o( x3 )23 ex1 xx 2x3o( x3 )2!3! cos x 1x2x4x6o(x6 )2!4!6!專業(yè)資料.10.四、7 種未定型 （注意正真的0 和 1 與極限為 0 和 1 的區(qū)

3、別）設(shè)專業(yè)資料.五、求漸近線的步驟先求垂直漸近線：lim f ( x)xx0求水平漸近線：lim f (x)Ax專業(yè)資料.求斜漸近線： （ lim f ( x)時才需求斜漸近線，因為水平漸近線和斜漸近線不同時存x在）y kx b， klimf (x) ，blim fxkxxx( )x六、極值點的來源： 不可導(dǎo)點：駐點七、需要考慮左右極限的情況式子中含有e x式子中含有arctan x式子中含偶次根 x1 xx lim x 不存在x 0式子中含有取整符號 x含有 | xx0 |分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)專業(yè)資料.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)的分段點；抽象函數(shù)：不滿足求導(dǎo)法則；求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)太復(fù)雜?？蓪?dǎo)條件求高階導(dǎo)數(shù)分子

4、一動一靜分母有左有右上下同階或低階1.公式法2.歸納法3.萊布尼茲公式4.利用 Taylor 公式f ( x0 )f ( x0x)f ( x0 )x步驟寫出 Taylor 展開式將 f(x)間接展開利用對應(yīng)系數(shù)相等專業(yè)資料.中值定理涉及 f (x) 的中值定理，即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域a,b 上的性質(zhì)設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù) ，則定理一 （有界性）： | f ( x) |k(k0)定理二 （最值定理）： mf (x)M ，其中m ， M分別是f ( x) 在 a， b 上的最小值與最大值。定理三 （介值定理）：當(dāng) muM 時，其中 m ，M 分別是f ( x) 在 a ， b 上的最小值與

5、最大值， a,b 使得 f ( )u定理四 （零點定理）：當(dāng) f ( a)f (b)0 時，(a,b) 使得 f ( )0涉及導(dǎo)數(shù)f (x）的中值定理定理五（費馬引理） ：設(shè) f (x) 在的某領(lǐng)域_D_處可導(dǎo)如果對任意的f ( x)f ( x0) （或 f ( x)f ( x0) ），那么f ( x0 )0。補充一 （導(dǎo)數(shù)零點定理）設(shè)f ( x)在a,b可導(dǎo)，且f ( )() 0，則(a, b) 使得afb,f ( )0定理六 （羅爾定理）：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b 上連續(xù) ,在開區(qū)間 (a, b) 可導(dǎo) ,且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f (a) f (b) ,那 末 在 (a, b

6、) 至 少 有 一 點 (ab) , 使 得 函 數(shù) f ( x) 在 該 點 的 導(dǎo) 數(shù) 等 于 零 ， 即f ( ) 0 。專業(yè)資料.該定理的逆否命題：若 f ( x)0 在 (a,b) 沒有實根，即f (x )0 ，則推廣： 若 f (n) (x )0 在()D_ f (n) (x )0 ，則定理七 （拉格朗日中值定理） ：如果函數(shù)f ( x)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ,在開區(qū)間 (a, b) 可導(dǎo)那么在 (a,b) 至少有一點(ab) ，使等式f (b)f (a)f ()(ba) 成立。定理八（柯西中值定理） ：如果函數(shù)f (x) 及 g( x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ,在開區(qū)

7、間 (a, b) 可導(dǎo) ,且 g(x 在 ( a,b) 每一點處均不為零，那末在(a,b) 至少有一點(ab),使等式)f (b)f (a)f ()成立。g (b)g(a)g ()定理九 （ Taylor 公式）：如果函數(shù) f ( x) 在含有 x0 的某個開區(qū)間 (a,b) 具有直到 n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對任意 x(a,b) ，有f ( x) f ( x0 )f ( x0 )(x x0 )f (x0 ) ( x x0 ) 2f (n ) (x0 ) ( x x0 ) nf ( n 1 ) ( ) ( x x0 ) n 12!n!(n 1)!這里的與 x 之間的某個值。注：Taylor 公式常用

8、于處理含二階及二階以上導(dǎo)函數(shù)代數(shù)式的問題，證明的一般思路如下：專業(yè)資料.將 f ( x) 在處展開成比高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor 展開式關(guān)鍵在于如確定 x 與 x0 ，一般把題目中已知某點的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)值設(shè)為x0 區(qū)間端點為 x ，閉區(qū)間的中點有時也會用到對得到的式子進行適當(dāng)運算。b涉及積分af ( x)dx 的中值定理定理十 （積分中值定理）設(shè)f ( x) 在D_Dd_使得bxdx fbaf( )(a)推廣一 ：設(shè) f ( x) 在b)(b a)_(a, b) 使得f ( x) dx f (a推廣二 （第二積分中值定理） ：設(shè) f (x) 與 g(x) 在D_ g( x) 在() a,b

9、 ，使bb得 f ( x) g (x)dxa1.構(gòu)造輔助函數(shù)羅爾定理考點f ( )g (x)dxa逐項還原組合還原(uv )，uv同乘以1）同乘因子兩個模型求解微分方程同乘以2)2.找端點值使得專業(yè)資料.經(jīng)典不等式總結(jié)三角不等式 ：設(shè) a, b 為實數(shù)則 2 | ab |a2b 2 | a b | | a | | b | | a | | b | | ab |推廣 ：離散情況：設(shè)a1 , a2 , an 為實數(shù)，則| a1a2an | | a1 | | a2 | an |連續(xù)情況：設(shè)f (x) 在 a,b 可積，則bb| f ( x) |dx(ab)f (x)dxaa均值不等式 a, b R ，

10、2aba ba2b2(當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 )1122aba1 , a2 ,anR，nn a1a2 ana1 a2ana12a22an211nn1a1 a2an(當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an時取等號 )推廣：設(shè) bi0, m1 , m2 ,mk 是正整數(shù)，則m1b1m2 b2mk bkm1mk1m1m2mkb1bkm1m2mk專業(yè)資料.氏不等式 ：設(shè) x0, y0, p0, q0, 111 ，則 xyx py qpqpq柯西不等式 ： a 2b2c 2d 2ac bd2施瓦茨不等式：若 f (x), g( x) 在 a,b 可積，且平可積，則b2b2 ( x) dxb2 ( x) dxf ( x)

11、g (x)dxfgaaa其他不等式若 0axb,0c yd ，則cyabxd sin xx tan x(0x), sin xx( x0)21xln(11 )1 ,(0x)1xx積分1. 有理函數(shù)積分設(shè)有真分式，已被因式分解，若分母中有一個一因子，則分解式對應(yīng)項為：若分母中有一個因子，則分解式對應(yīng)項為：專業(yè)資料.ex:求積分的法公式法分項積分法第一類換元第二類換元分部積分法萬能代換區(qū)間再現(xiàn)萬能代換：令，則專業(yè)資料.區(qū)間再現(xiàn)： 在計算很多定積分和某些定積分證明時，有時需要互換積分限。常見互換積分限為：2. 比較廣義積分的斂散性比較判別法的極限形式設(shè)函數(shù)都是在區(qū)間非負(fù)連續(xù)函數(shù)，若lim f ( x)

12、l ，則ng (x)當(dāng)和同時收斂或同時發(fā)散；當(dāng)若收斂，則也收斂；當(dāng)發(fā)散，則也發(fā)散。設(shè)函數(shù)都是在區(qū)非負(fù)連續(xù)函數(shù)， lim f ( x)， lin g ( x)x ax alinf (x)l ，則x ag( x)時和同時收斂或同時發(fā)散。專業(yè)資料.多元函數(shù)求具體點的偏導(dǎo)數(shù)幾何意義偏導(dǎo)數(shù)考點求偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)偏積分微分f (x, y)f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )dxfy( x0, y0 ) dy lim220x 0( x x0 )( y y0 )y 0在 ( x0 , y0 ) 可微偏導(dǎo)個數(shù) =自變量個數(shù)項數(shù) =中間變量個數(shù)分線相加，連線相減偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)仍然是的函數(shù)抽象復(fù)

13、合函數(shù)可以用表示專業(yè)資料.微分程二階線性微分程特解的求法令 dD ，則 dyDy ； d 2D 2，則 d 2 yD 2 ydxdxdx 2dx 2于是 y a1 y a2 yf (x)( D 2a1 D a2 ) yf (x)令 F(D) D2a1Da2 ，則( D 2a1 D a2 ) yf ( x) F (D ) y f (x)y*1f ( x)F (D)1有如下重要性質(zhì)（注：D 表示微分，1表示積分）DF (D)1ekx1ekx , F (k ) 0F (D)F (k )當(dāng)F (k) 0時，1ekxx1ekxx1ekx , F ( k) 0F (D)F(D)F (k)當(dāng) F (k)0

14、時，1ekxx21ekx1 x 2ekxF (D)F(D)21sin ax1sin ax, F (a2 )0F(D2)F (a 2 )1 2cosax12)cosax, F (a 2 )0F (D)F (a當(dāng) F (a 2 )0 時，12)sin axx12sin axF (DF( D)1cosaxx1cos axF ( D2)( D2F)1ekxv( x) ekx1k)v(x)F (D)F (D專業(yè)資料.1(b0 x pb1x p 1b p )Q(D )(b0 x pb1 x p 1bp )F (D)其中 Q (D ) 為 1 除以 F ( D ) 按升冪排列所得商式，其D 的最高次數(shù)為右邊

15、多項式的最高次數(shù) p 。1 除以 F (D) 的運算如下1 a12 Da2 a2a2a1DD 21a11 D 21Da2a2其中 Q(D)1a1Da2a22a1D12a2Da2專業(yè)資料.2a12 D 3a1Da12D 2a2a2a2a12a2D2a1D322a2a2一階線性微分程組的解法x1a11x1a12 x2齊次微分方程組 x2a21 x1a22 x2解題程序：(Da11 ) x1a12 x20d則 (Da11 ) x1a12 x20引入微分算子 Ddta21x2 (D a22 ) x20(D )x10D a11a12(t), x2(t) 滿足令 (D)，則 x1a21D a22( D)

16、x20專業(yè)資料.求解 (D ) x10 （或( D )x2 0 ）；將求出的 xt或xt代入程中的第一個程，求出x(t ) (或第二個程求出x(t) ）1( （)2()）21注：求出其中一個解，再求另一個解時，宜用代數(shù)法，不要用積分法。x1a11x1a12 x2(t)非齊次微分方程組的解法x2a21 x1a22 x2(t )程的通解 = 對應(yīng)的齊次程的通解+ 非齊次程的一個特解。一個重要關(guān)系tanydd(,)其中表示極徑與點(, ) 切線間的夾角。ox概率論常用知識Anmn( n1)( nm1)n!(n m)!C nmn(n1)(nm1)n!m!m! (n m)!專業(yè)資料.C nmC nn m

17、mm 1m 1C nCnC n 1分組有序分組n 個 元 素 分 成 A1、 A2、 、 Ak 共 k 組 ， 其 個 數(shù) 分 別 為 a1、 a2、 、 ak，a1 a2akn ，則分組法的總數(shù)為 Cna1 Cna 2aCna3aaCaak112k無序分組n 個元素分成 k 個組，其中 k1 各組的元素為l1 ， k 2 各組的元素為l 2 個， ，km 各組的元素為 l m 個， k1k2kmk， l1 k1l 2k 2lm kmn 則分組法的總數(shù)為k1個k2 個km個Cnl1 C nl1ln ( k11)l1C nl2 klC nl2 k l l2C nl2 k l(k21)l2C klm lC (lkm1)lmC ll m11111 1mmmmAkk1Akk2Akkm12m函數(shù)定義()exxs 1,0sdx s0性質(zhì)(s1)s