《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(共6頁)

1、任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計 高一級 王拴禮 一、 學(xué)情分析在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對于學(xué)生來說，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，新課的引入會比較容易和順暢。學(xué)生要面對的新的學(xué)習(xí)問題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。二、教學(xué)目標(biāo)分析 （一）知識與技能 1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2已知角終邊上一點(diǎn)，會求角的各三角函數(shù)值；3記住三角函數(shù)的定義域、值域以及象限符號。（二）過程與方法 銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生把這個定義推廣到任意角，通過單位圓和角的終邊

2、，探討任意角的三角函數(shù)值的求法，最終得到任意角三角函數(shù)的定義根據(jù)角終邊所在位置不同，分別探討各三角函數(shù)的定義域、象限符號。（三）情感、態(tài)度與價值觀1使學(xué)生認(rèn)識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；2通過共同探究，發(fā)現(xiàn)新知的過程，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識以及大膽猜想、勇于探索的科學(xué)精神 三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析（1） 教學(xué)重點(diǎn) 三角函數(shù)是函數(shù)的一個特例，與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認(rèn)識新概念的本質(zhì)屬性。因此本課時的教學(xué)重點(diǎn)是：通過概念的同化與精致過程，

3、幫助學(xué)生理解任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號），并在這個過程中突出單位圓的作用。 （二）教學(xué)難點(diǎn)本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段研究過銳角三角函數(shù)，研究范圍是銳角；研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其學(xué)生的主體作用。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開闊學(xué)生的視野，并揭示由此帶來的新問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問題置于坐標(biāo)系中，幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識銳角三角函數(shù)，這

4、樣做激活了學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，并且用新的視角認(rèn)識已有知識經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)了舊知識，同時為新的研究內(nèi)容做好鋪墊。認(rèn)識一個函數(shù)，關(guān)鍵是認(rèn)識函數(shù)的三要素。在任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中也可能在自變量和對應(yīng)法則上出現(xiàn)問題，應(yīng)該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素，比如正弦函數(shù)y=sin中自變量是角，并且R，對應(yīng)法則是一個角與其正弦值對應(yīng)，至于這個值怎么計算，在此處是規(guī)定為角終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過例2可以看出，也可以利用比值定義。對于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進(jìn)行計算得到函數(shù)值，這一點(diǎn)本質(zhì)上是統(tǒng)一的，要引導(dǎo)學(xué)生類比理解。綜合上述分析，本課時的教學(xué)難點(diǎn)是： 用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù)；三角

5、函數(shù)符號. 四、學(xué)法與教學(xué)用具分析 利用“班班通”的幾何畫板改變角的位置，認(rèn)識角的終邊位于不同象限時如何定義角的三角函數(shù)值，充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料，幫助學(xué)生形成比較全面的認(rèn)知。5、 教學(xué)過程設(shè)計 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課1、復(fù)習(xí)引入（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù). 請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？ （設(shè)計意圖：溫故而知新。要讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始。）對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào)： 2. 引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景2）我們

6、已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！ （設(shè)計意圖：現(xiàn)有認(rèn)知水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生知識沖突，進(jìn)行必要啟發(fā)，將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的再創(chuàng)造征途。） 留時間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo). 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點(diǎn)名讓學(xué)生回答. 用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來研究任意角的三角函數(shù). （2） 主題探究，合作交流 問題1 本章研究的問題是

7、三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系?，F(xiàn)在請你結(jié)合初中時我們學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？（設(shè)計意圖：將已有知識坐標(biāo)化,分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，同時使本課時的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系起來。）預(yù)計的回答：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語言表述時可能會出現(xiàn)困難即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。 解答過程：（1）再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在直角POM中，M是直角，于是。

8、 MOyP(x,y)x （2）坐標(biāo)化：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限在的終邊上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），它與原點(diǎn)的距離過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為X，線段的長度為y則：； 問題2 對于確定的角，這三個比值是否會隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？（設(shè)計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認(rèn)識，用數(shù)學(xué)的簡潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定基礎(chǔ)。該問題與問題1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預(yù)計的困難：由于學(xué)生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)

9、生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角 ，三個比值不以點(diǎn)P在 的終邊上的位置的改變而改變大小我們可以將點(diǎn)P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓上述P點(diǎn)就是的終邊與單位圓的交點(diǎn)， 銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示 問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫

10、出角的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。（設(shè)計意圖：具體認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學(xué)生用計算器算cos的現(xiàn)象。）活動形式：由學(xué)生

11、分組獨(dú)立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認(rèn)識。學(xué)生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導(dǎo)用坐標(biāo)表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域。結(jié)論：如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么：aA(1,0)_OP(x,y)yx（1）叫做的正弦(sine)，記做，即 ；（2）叫做的余弦(cosine)，記做，即；（3）叫做的正切(tangent)，記做，即問題4：在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？ （設(shè)計意圖：通過這樣的活動強(qiáng)化學(xué)生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達(dá)到對概念的初步精致。）預(yù)計的困難：學(xué)生對三角函數(shù)的

12、自變量認(rèn)識可能會存在問題。教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預(yù)計的答案：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y）。說明：（1）當(dāng)時，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義，除此情況外，對于確定的值，上述三個值都是唯一確定的實(shí)數(shù)（2）當(dāng)是銳角時，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值（3）正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（三）例題講解例1 求的正弦、余弦和正切值。

13、（設(shè)計意圖：鞏固對定義的理解。）分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解。解：如圖5，可知在RTOPC中，OPC=30o，所以O(shè)C=，CP=，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是。根據(jù)定義可得： 例2 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3，-4)，求角的正弦、余弦和正切值。（設(shè)計意圖：通過問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步加深對定義的理解。）分析：如右圖，由OMPOM0P0，可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.解：由已知，可得|OP0|=5如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0，則|M0P0|=4，|MP|=-y，|OM0|=3，|OM|=-x，OMPOM0P0，于是si

14、n=y=；cos=x=；tan=（點(diǎn)評：本例是已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值問題可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上，再由定義得解）探究：請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時，縱坐標(biāo)y0，點(diǎn)P在第三、四象限時，縱坐標(biāo)y0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的從而完成上面探究問題即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”六、課堂小結(jié)1本章的三角函數(shù)定義與初中