第2章拉氏變換的數(shù)學方法

1、第第2章章 拉普拉氏變換數(shù)學方法拉普拉氏變換數(shù)學方法u2.1 概述概述u2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)u2.3 拉氏變換和拉氏反變換的定義拉氏變換和拉氏反變換的定義u2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換u2.5 拉氏變換的性質拉氏變換的性質u2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法u2.7 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程2.1 概述概述( )( )( )( )my tcy tky tf tu拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換，簡稱，簡稱拉氏變換拉氏變換，是積分變換中，是積分變換中一種常用的方法，其作用有：一種常用的方法，其作用有： 把復雜的運算轉

2、換為簡單的運算；把復雜的運算轉換為簡單的運算； 揭示變量之間的關系或函數(shù)的某些特性。揭示變量之間的關系或函數(shù)的某些特性。 例如：例如：對于對于m-c-k系統(tǒng)來說，其動力學方程為：系統(tǒng)來說，其動力學方程為： 求解此方程可以得到系統(tǒng)的動態(tài)特性及其響應過渡過程。求解此方程可以得到系統(tǒng)的動態(tài)特性及其響應過渡過程。一般情況下，微分方程求解困難，因此可用一般情況下，微分方程求解困難，因此可用Laplace變換方變換方法求解。其過程為：法求解。其過程為： ( )( )( )( )my tcy tky tf t用用Laplace變換將微分變換將微分方程轉換為代數(shù)方程方程轉換為代數(shù)方程求代數(shù)求代數(shù)方程解方程解用

3、用Laplace反變換反變換求微分方程的解求微分方程的解2.1 概述概述2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)()2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)2.2 復數(shù)和復變函數(shù)復數(shù)和復變函數(shù)2.3 拉氏變換和拉氏反變換的定義拉氏變換和拉氏反變換的定義2.3 拉氏變換和拉氏反變換的定義拉氏變換和拉氏反變換的定義2.3 拉氏變換和拉氏反變換的定義拉氏變換和拉氏反變換的定義表表2-1 拉氏變換對照表拉氏變換對照表(P17)2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換羅比塔法則

4、羅比塔法則2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換 00st2001fttss111tesssstststLtedted ted ts000t)(tttf2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換asdtedteeeLasstatat10)(00 te0 t0) t (fata sdte dte ee La sstatat 1 0) (02.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換歐拉歐拉公式公式 cossincossinj tj tetjtetjt j tj tj tj tteejteesin()/2cos()/2 00()()0022sinsin21 2111

5、 2sinj tj tststsjtsjteeLtt edtedtjedtedtjj sjsjLts 2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換00()()0022coscos21 2111 2cosjtjtststsjtsjteeLtt edtedtedtedtsjsjsLts 2.4 典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質1s69ss2s1s1) t (tcos3te114232tL：例1s69 ss2 s1s1) t ( t cos3te 1 14 23 2t L ：例1s69 ss2 s1s1) t ( t cos3te 1 14 232

6、t L ：例2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質0t ()f t ( )f t2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質f1(t)f1(t-T)2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質，t1=T 時，t=(n+1)T等比數(shù)列前n項和2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質 課堂作業(yè)：課堂作業(yè)：l 本題也可以用位移性質直接寫出本題也可以用位移性質直接寫出2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質

7、拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.5 拉氏變換性質拉氏變換性質2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法11( )( )( )2jstjf tLF sF s e dsj 1111( )()( )()()atbteeF sf ts a s bb a s a s bb a 221111111( )( )()tF sf ttes ssss 例例2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法一、部分分式法一、部分分式法分解成因式相乘的形式分解成因式相乘的形式2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法1. F(s)無重極點的情況無重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反

8、變換的數(shù)學方法1. F(s)無重極點的情況無重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2. F(s)有重極點的情況有重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2. F(s)有重極點的情況有重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2. F(s)有重極點的情況有重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法2. F(s)有重極點的情況有重極點的情況2.6 拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法二、用二、用MATLAB函數(shù)求解原函數(shù)函

9、數(shù)求解原函數(shù)2.7 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程u用拉氏變換解常微分方程，首先是通過拉氏變換將常微分用拉氏變換解常微分方程，首先是通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，然后求解象函數(shù)，最后利用方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，然后求解象函數(shù)，最后利用拉氏反變換求得微分方程的解。拉氏反變換求得微分方程的解。 其步驟如下：其步驟如下： 對方程兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程。對方程兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程。 由代數(shù)方程解象函數(shù)。由代數(shù)方程解象函數(shù)。 對象函數(shù)兩邊拉氏反變換，得微分方程的解。對象函數(shù)兩邊拉氏反變換，得微分方程的解。 2.7 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程

10、26( )(0)(0)5( )(0)6 ( )s Y ssyysY syY ss 22(56) ( )2126s ssY sss23122126( )(2)(3)23KKKssY ss sssss 解：等式兩邊取拉氏變換解：等式兩邊取拉氏變換22566d ydyydtdt(0)2, (0)2 yy例例 解微分方程解微分方程22566d ydyydtdt例例 解微分方程解微分方程22566d ydyydtdt例例 解微分方程解微分方程其中其中(0)2, (0)2 yy其中其中將初始條件代入，得將初始條件代入，得所以所以21222321261(2)(3)02126(2)5(2)(3)22126(3)4(2)(3)3ssKss sssssKss sssssKss sss 154( )23Y ssss 123( ) ( )154tty tLY see 2.7 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程利用部分分式法可求得利用部分分式法可求得所以所以可得可得2.7 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程2.