數(shù)理方程第二章 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)-2

1、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 有界弦的自由振動(dòng)有界弦的自由振動(dòng) 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo) 圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題 非齊次方程的解法非齊次方程的解法 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理 關(guān)于二階常微分方程本征值問題的一些結(jié)論關(guān)于二階常微分方程本征值問題的一些結(jié)論分離變量法提要分離變量法提要: :深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院有界桿的長(zhǎng)度為有界桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其兩端保持絕熱，已知桿內(nèi)初，其兩端保持絕熱，已知桿內(nèi)初始溫度分布為始溫度分布為 (x)，求解桿內(nèi)任意時(shí)刻的溫度分布，求解桿內(nèi)任意時(shí)刻的溫度分布的定解問題的定解問題：0,0)()0,0(0

2、0222LxxtxuxuxutLxxuatu(1)(2)(3)例1：熱傳導(dǎo)(第二類邊界條件)2.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()(),(tTxXtxu0)()(0)()(2 tTatTxXxX設(shè)方程（設(shè)方程（1 1）有形式解：）有形式解：代入方程（代入方程（1 1）分離變量：）分離變量：（4）（5）（6）)()()( )()( 2常數(shù)tTatTxXxX分離變量：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)()0(LXX將邊界條件（將邊界條件（3 3）代入形式解（）代入形式解（4）：）：這樣空間函數(shù)這樣空間函數(shù) X(x) 構(gòu)成下列常微分方程構(gòu)成下列常微分方程的邊值問題的

3、邊值問題: :0)()( xXxX（8）（7）0)()0(LXX深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 ：(9)(9)的通解的通解2. : (9)2. : (9)的通解的通解)exp()exp()(kxBkkxAkxX0(9)(10)BxAxX)(0B有特解有特解:X0(x) = A ( (常數(shù)常數(shù)) )由由(10)(10)得得 , , 0)exp()exp()(kxBkxAxX為了滿足邊界條件為了滿足邊界條件(10),(10),必須有必須有0)exp()exp(0kLBkLABA0 BA0)(xX0)exp()exp(11kLkL0)()0(LXX0)()( xXxX(平庸解平庸解 )(BxX但但下面求

4、解邊值問題：k深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院為了滿足邊界條件為了滿足邊界條件(10),(10),必須有必須有03. ,3. ,方程方程(9)(9)的通解為的通解為0sin0LAB0sinL), 3, 2, 1(nnL2LnnxLnAxXncos)(9)(10)0)()0(LXX0)()( xXxXcossin)(sincos)(xBxAxXxBxAxX求解邊值問題：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2LnntLnactTnn2exp)(0)()(2tTLnatT將將 代入關(guān)于代入關(guān)于 T 的方程的方程: :這個(gè)解是定解問題的本征解這個(gè)解是定解問題的本征解，它滿足泛定方程它滿足泛定方程和齊次邊界條件，但是不

5、能表征任意初始條件和齊次邊界條件，但是不能表征任意初始條件其通解為其通解為這樣這樣0)()(2tTatTxLntLnaCtTxXtxunnnncosexp)()(),(2 解方程:深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院xLntLnaCCtxunncosexp),(210利用傅里葉系數(shù)公式利用傅里葉系數(shù)公式, ,得到得到xLnCCxnncos)(10LnLxdxLnxLCdxxLC000cos)(2)(1C0是本征值是本征值 =0相相應(yīng)的特解應(yīng)的特解X0(x) = A 初始條件初始條件：一般解與初始條件：xLntLnaDDtxunncosexp2),(210LnxdxLnxLD0cos)(2如果：如果：(n

6、=1,2,3,)(n=0,1,2,3,)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度?),(xu概念：系統(tǒng)在任意時(shí)刻的平均穩(wěn)定定義為u(x,t)對(duì)空間的積分除以系統(tǒng)的長(zhǎng)度LLdxtxuLtU0),(1)(深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院LdxxLxu0)(1),(LLxx常數(shù)),(xu)()0 ,(xxu絕熱絕熱曲線下面積曲線下面積相等相等(總熱量保持恒定總熱量保持恒定)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：1.直觀分析深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0),(CxuxLntLnaCCtxunncosexp),(210系統(tǒng)最終趨于熱平衡溫度系統(tǒng)最終趨于熱平衡溫度: : 這一過程是絕熱的這一過程是絕熱的 (

7、(總熱量保持恒定總熱量保持恒定) )：0CLdxxL0)(1初始溫度初始溫度的平均值的平均值系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：2.動(dòng)力學(xué)分析深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院222xuatuBxAxu),(熱傳導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)行為熱傳導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)行為: :熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)行為熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)行為: :系統(tǒng)在條件系統(tǒng)在條件 下的穩(wěn)態(tài)溫度下的穩(wěn)態(tài)溫度: :系統(tǒng)是絕熱的系統(tǒng)是絕熱的( (總熱量保持恒定總熱量保持恒定):):0222xua0ttuAxu),( )A0, 00Lxxxuxu熱傳導(dǎo)方程的穩(wěn)態(tài)解熱傳導(dǎo)方程的穩(wěn)態(tài)解（適用于任何情況）（適用于任何情況）LdxxL0)(1初始溫度初始溫度的平均值的平均值0B系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：3.穩(wěn)態(tài)分析將u

8、(x,t)代入，可求出平均溫度U(t)=C0深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院有界桿的長(zhǎng)度為有界桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其左端保持恒定溫度，其左端保持恒定溫度( (攝氏零攝氏零度度) )，右端絕熱。已知桿內(nèi)初始溫度分布為，右端絕熱。已知桿內(nèi)初始溫度分布為 (x), ,求求解關(guān)于桿內(nèi)任意時(shí)刻溫度分布的定解問題：解關(guān)于桿內(nèi)任意時(shí)刻溫度分布的定解問題：0,0)()0,0(00222LxxtxuuxutLxxuatu(1)(1)(2)(2)(3)(3)例：熱傳導(dǎo)(混合邊界條件)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()(),(tTxXtxu0)()(0)()(2 tTatTxXxX設(shè)方程（設(shè)方程（1 1）有形式解：）有形式解：代

9、入方程（代入方程（1 1）分離變量：）分離變量：（4 4）（5 5）（6 6）)()()( )()( 2常數(shù)tTatTxXxX分離變量：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)(,0)0(LXX將邊界條件（將邊界條件（3 3）代入形式解（）代入形式解（4）：）：這樣空間函數(shù)這樣空間函數(shù) X( (x) ) 構(gòu)成下列常微分方構(gòu)成下列常微分方程的邊值問題程的邊值問題: :0)()( xXxX（8 8）（7 7）0)(,0)0(LXX深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院cossin)(sincos)(xBxAxXxBxAxX為了滿足邊界條件為了滿足邊界條件(10),(10),必須有必須有3.3. 00, ,方程方程(9)

10、(9)的通解為的通解為0cos0LBA0cosL), 2, 1, 0(212nnLxLnBxXn212sin)(9 9)(1010)0)(, 0)0(LXX0)()( xXxX2212Lnn 求解邊值問題：在0和0時(shí)，得到平庸解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院tLanctTnn2222)2(12exp)(這個(gè)解是定解問題的本征解這個(gè)解是定解問題的本征解, ,它滿足泛定方程它滿足泛定方程和齊次邊界條件和齊次邊界條件其通解為其通解為這樣這樣0)()(2tTatTxLntLanCtxunn212sin)2(12exp),(2222解方程:深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院xLntLanCtxunn212sin)2

11、(12exp),(22220 xLnCxnn212sin)(0 利用傅里葉系數(shù)公式利用傅里葉系數(shù)公式, ,得到得到LnxdxLnxLC0212sin)(2一般解與初始條件：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0),(xu系統(tǒng)從左端逸出系統(tǒng)從左端逸出( (或吸收熱量或吸收熱量) )，最終趨于熱平衡溫度最終趨于熱平衡溫度: :xLntLanCtxunn212sin)2(12exp),(22220系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)溫度：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院設(shè)有一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為設(shè)有一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)，L兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為 和和 ，0 xLx 0桿的側(cè)面桿的側(cè)面是絕熱的，是絕熱的， 且在左端點(diǎn)且在左端點(diǎn) 處溫度為零攝氏度

12、，而在另一端處溫度為零攝氏度，而在另一端 處，處，0 xLx 桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為零的介質(zhì)中去（參考第一章的第三類邊界條件）桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為零的介質(zhì)中去（參考第一章的第三類邊界條件）x左端點(diǎn)處左端點(diǎn)處溫度為零溫度為零熱量流動(dòng)的方向熱量流動(dòng)的方向(高溫高溫 低溫低溫)周圍溫度為零周圍溫度為零已知已知:初始溫度分布為初始溫度分布為求求:桿上的溫度變化規(guī)律桿上的溫度變化規(guī)律?, )(x L例：熱傳導(dǎo)(第三類邊界條件)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院L0 x左端點(diǎn)處溫度左端點(diǎn)處溫度為零為零熱量流動(dòng)的方向熱量流動(dòng)的方向(高溫高溫 低溫低溫)周圍溫度為零周圍溫度為零解解: 這是一個(gè)定解問題這

13、是一個(gè)定解問題, 其一維熱傳導(dǎo)方程為其一維熱傳導(dǎo)方程為 ,0,0,222tLxxuatu其中其中 cka 2邊界條件為邊界條件為00 xu,0),(),(xtLuhtLu其中其中1kkh 桿內(nèi)的熱傳桿內(nèi)的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù)左端溫度為零左端溫度為零桿與周圍介質(zhì)的熱桿與周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)交換系數(shù)ktxu, ),(周圍介質(zhì)內(nèi)的熱傳周圍介質(zhì)內(nèi)的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù)11,kuL深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院L0Sxku,11,ku當(dāng)桿與外界有熱交換時(shí)，熱量由桿內(nèi)當(dāng)桿與外界有熱交換時(shí)，熱量由桿內(nèi)(高溫高溫)向桿外向桿外(低溫低溫)流動(dòng)，而溫度梯流動(dòng)，而溫度梯度的方向，則是指向溫度升高的方向。因此，由傅立葉熱學(xué)實(shí)驗(yàn)

14、知度的方向，則是指向溫度升高的方向。因此，由傅立葉熱學(xué)實(shí)驗(yàn)知ssuuknuk)(11ssuunukk)(11周圍介質(zhì)的溫度為零周圍介質(zhì)的溫度為零界面界面0),(),(xtLuhtLu0),(),(xtLuhtLussuxukk11kkh 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院初始條件為初始條件為)()0 ,(xxu 于是于是, 定解問題為定解問題為0),(0 xtxu00),(),(txtLuhtLuLxxxu0, )()0 ,( ,0,0,222 tLxxuatu一、對(duì)此，試探性提出方程組中第一個(gè)方程的分離變量形式的非零解。一、對(duì)此，試探性提出方程組中第一個(gè)方程的分離變量形式的非零解。)()(),(tT

15、xXtxu 上式分別對(duì)上式分別對(duì) x 、 t 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo))()(;)()(22tTxXtutTxXxu 上面的結(jié)果，反回去代入原方程，得上面的結(jié)果，反回去代入原方程，得深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()()()(2tTxXatTxX 或或)()(xXxX )()(2tTatT 這樣，變量被分離了，這樣，變量被分離了，同時(shí)得到兩個(gè)常微分方程！同時(shí)得到兩個(gè)常微分方程！0)()(2tTatT0)()( xXxX二、捆綁邊界條件二、捆綁邊界條件,解出解出)(xX依據(jù)邊界條件依據(jù)邊界條件 , 由由0)0(X,00 xu0),(),(xtLuhtLu0)()(LXhLX得到：代入：)()(),(tTxXt

16、xu 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 ：(9)(9)的通解的通解2. : (9)2. : (9)的通解的通解0)()(, 0)0(LXhLXX0(9 9)(1010)由由(10)的前式，得出的前式，得出A=0，后式得出：，后式得出：BL+hB=0 0)exp()exp()(kxBkxAxX為了滿足邊界條件為了滿足邊界條件(10),(10),必須有必須有0 BA0)()( xXxX(平庸解平庸解)()(BxXBxAxX)exp()exp()(kxBkkxAkxX0)exp()exp()exp()exp(0kLBkkLAkhkLBkLABA0)exp(1)exp(111kLhkkLhk下面求解邊值問題

17、:(平庸解平庸解)k深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院二、捆綁邊界條件，解出二、捆綁邊界條件，解出)(xX 方程的非零解為方程的非零解為)(xXxBxAxX sincos)( 00)0( AX依據(jù)邊界條件：依據(jù)邊界條件：0)()(LXhLX0cossinLhL從而有xBxXxBxX cos)(sin)( ，再再由由的值！的值！以下的任務(wù)：求出以下的任務(wù)：求出 在=0和0情況下，得出平庸解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0cossinLhLLhLLhhtg上面方程上面方程(超越方程的超越方程的)的根，可視為曲線的根，可視為曲線21ytgy交點(diǎn)的橫坐標(biāo)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).ytgy 12y2112角角函函數(shù)數(shù)基基本本關(guān)

18、關(guān)系系得得對(duì)對(duì)上上式式移移項(xiàng)項(xiàng)，并并依依據(jù)據(jù)三三即，令為求,LhLhLtgLLcossin深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院取正根（負(fù)根僅差一符號(hào)）無窮多取正根（負(fù)根僅差一符號(hào)）無窮多,321n因此，求得了關(guān)于因此，求得了關(guān)于 方程的方程的)( xX本征值：本征值：,2222222222121LLLnn本征函數(shù)：本征函數(shù)：.sin)(xBxXnnn ytgy 12y2112LhL,:之前有令深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院三、在右列方程組中，解出非零的三、在右列方程組中，解出非零的 )(tT0)()(22 tTatT 0)()(2 xXxX )exp()(22taAtTnnn故)()(),(tTxXtxun

19、nn 因因此此有有), 3 , 2 , 1(sin)exp(22nxtaCnnn)exp(sin22taAxBnnnnnnnBAC 其其中中0)()(22 tTatTnnn 于于是是)()(22tTatdtdTnnn 移移項(xiàng)項(xiàng)tdatTtTdnnn22)()( 也即也即xBxXnnnsin)(,2222222222121LLLnn深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院四、寫出疊加形式的解，并捆綁初始條件，確定任意常數(shù)。四、寫出疊加形式的解，并捆綁初始條件，確定任意常數(shù)。0), 0( tu;)()0 ,(xxu ,0,0,222 tLxxuatu 由于泛定方程和邊界條件都是齊次的由于泛定方程和邊界條件都是齊次的, 所以疊加之后仍是原方程的解所以疊加之后仍是原方程的解xtaCtxutxunnnnnnsin)exp(),(),(2211)exp(sin)()(),(22taAxBtTxXtxunnnnnnn因此有), 3 , 2 , 1(sin)exp(2