材料力學(xué)--彎曲應(yīng)力

1、2021/6/161第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2021/6/162回顧回顧內(nèi)力內(nèi)力AF應(yīng)力應(yīng)力PITFAyFSM?2021/6/163純彎曲純彎曲梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒有剪力上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲純彎曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力上，既有彎矩，又有剪力橫力彎曲橫力彎曲5.1 5.1 純彎曲純彎曲2021/6/164 彎曲變形彎曲變形 實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象5.1 5.1 純彎曲純彎曲2021/6/165平面假設(shè)：平面假設(shè)：橫截面變形后保持為平面，只是繞橫截面變形后保持為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸線偏轉(zhuǎn)了一個角度。截面內(nèi)某一軸線偏轉(zhuǎn)了一個角度。5.1 5.1 純

2、彎曲純彎曲2021/6/166凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長伸長中間一層纖維長中間一層纖維長度不變度不變中性層中性層中間層與橫截面中間層與橫截面的交線的交線中性軸中性軸5.1 5.1 純彎曲純彎曲2021/6/1675.2 5.2 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力一、變形幾何關(guān)系一、變形幾何關(guān)系2021/6/168E二、物理關(guān)系二、物理關(guān)系:yE問題問題: :中性層中性層( ( y 的起點的起點) )在哪里？在哪里？ 怎樣算怎樣算? ?1時當(dāng)pxzy yy可確定橫截面上的應(yīng)力分布可確定橫截面上的應(yīng)力分布5.2 5.2 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力2021/6/

3、169平衡條件找答案平衡條件找答案;0 Y; 0 xm自動滿足自動滿足0X中性軸通過形心中性軸通過形心(y z 為形心主慣性軸為形心主慣性軸)三、平衡條件：三、平衡條件： yEE xzydA AdA AydAE 0 zSE AdAyE dA ;0 ZM0E0AySCz0Cy5.2 5.2 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力2021/6/1610yIMz Mmz MIEdAyEdAyzAA 2ZEIM 1 yEE 注意事項：注意事項：M，y與與 都有正負(fù)號都有正負(fù)號通常用其絕對值代入公式，用變形通常用其絕對值代入公式，用變形確定正應(yīng)力的正負(fù)（拉、壓）。確定正應(yīng)力的正負(fù)（拉、壓）。正應(yīng)力分布圖正應(yīng)力

4、分布圖ZIMyM最終內(nèi)力合成最終內(nèi)力合成0 ym0 zyAAIEdAyzEdAz 慣慣性性矩矩:zI2021/6/1611主要公式主要公式:變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系yEyE靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系Z1EIMZIMy為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1為曲率半徑為曲率半徑5.2 5.2 純彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力2021/6/1612彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力ZIMy細(xì)長梁的細(xì)長梁的純彎曲純彎曲或或橫力彎曲橫力彎曲( (近似使用近似使用) )橫截面慣性積橫截面慣性積 I Iyz =0=0彈性變形階段彈性變形階段)(p5.2 5.2 純

5、彎曲時的正應(yīng)力純彎曲時的正應(yīng)力2021/6/16135.3 橫力彎曲的正應(yīng)力橫力彎曲的正應(yīng)力純彎曲正應(yīng)力純彎曲正應(yīng)力ZIMy 彈性力學(xué)精確分析表明，彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度當(dāng)跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細(xì)長梁）時，（細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。彎曲近似成立。ZIyMmaxmaxmax橫力彎曲最大正應(yīng)力橫力彎曲最大正應(yīng)力2021/6/1614彎曲正應(yīng)力強度條件彎曲正應(yīng)力強度條件 maxmaxWMIyMzmaxmax1.1.彎矩最大的截面上彎矩最大的截面上2.2.離中性軸最遠處離中性軸最遠處2.2.脆性材料脆

6、性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttmax,ccmax,注意注意:1.:1.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI 強度條件強度條件maxZZyIW 在在max抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)2021/6/1615常見截面的常見截面的 IZ 和和 WZ圓截面圓截面矩形截面矩形截面空心圓截面空心圓截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW2021/6/1616aaFF

7、y解解: NmFaM90018. 01053豎放時豎放時4335412603012cmbhIZ求求:(1):(1)截面豎放時距離中性層截面豎放時距離中性層2020mm 處的正應(yīng)力和最大正應(yīng)力處的正應(yīng)力和最大正應(yīng)力max; ; (2) (2) 截面橫放時的最大正應(yīng)截面橫放時的最大正應(yīng)力maxMPayIMmmyZ3 .33:20MPayIMZ50105403. 09008maxmax橫放時橫放時4335 .1312306012cmhbIZ8maxmax105 .13015. 0900 yIMZmax2100MPa例例 圖示簡支梁圖示簡支梁 已知已知: : a =180=180mm , , F F

8、=5kN,=5kN,截面為截面為bh=30 60mm2 的矩形的矩形hb20例題例題2021/6/1617BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K點正應(yīng)力點正應(yīng)力2.2.C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（壓

9、應(yīng)力）（壓應(yīng)力）解：解：例題例題已知已知:E=200GPa,4.4.C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑2021/6/161830zy180120KBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql FSx90kN90kN2. C 截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCC例題例題2021/6/1619BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最

10、大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyM例題例題2021/6/1620BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1例題例題2021/6/1621 zIyMmaxmaxm

11、ax分析分析: : ？ 彎矩彎矩 最大的截面最大的截面M 圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力.MPa60mm1601d？ zWMmaxmax例題例題2021/6/1622（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）強度校核）強度校核B B截面：截面： MPaPa5 .41105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMBB MPaPa4 .46104 .4613. 0321605 .62326332ma

12、xdFbWMCCC C截面：截面：車軸滿足強度要求車軸滿足強度要求（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖F Fa aF Fb b解：解：例題例題2021/6/1623分析分析（1 1）確定危險截面）確定危險截面（）計算（）計算maxM（）計算（）計算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號zW 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重自重材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。例題例題2021/6/1624（4

13、 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號（5 5）討論）討論（3 3）根據(jù)）根據(jù) zWMmaxmax計算計算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(MWz （1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：36c36c工字鋼工字鋼3cm962zWkg/m6 .67q2021/6/1625作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校

14、核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct例題例題2021/6/1626mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：例題例題2021/6/1627（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖kN.m5 .

15、2kN.m4例題例題2021/6/1628（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,kN.m5 .2kN.m4例題例題 經(jīng)校核梁安全經(jīng)校核梁安全？倒過來是否安全倒過來是否安全2021/6/1629例例 已知簡支梁的最大彎矩已知簡支梁的最大彎矩M Mmaxmax=7.5kN=7.5kN m,m, =160=160MPaMPa求：按正應(yīng)力強度條件選擇下列求：按正應(yīng)力強度條件選擇下列 截面的尺寸并比較其重量。截面的尺寸并比較其重量。MkNm5 . 72 dD2 bh工字鋼工字鋼解：圓形323DWZ62b

16、hWZ矩形圓環(huán)圓環(huán))1 (3243DWZ工字鋼工字鋼maxMWZmmD2 .7816032105 . 736圓形mmD9 .79)5 . 01 (16032105 . 7346圓環(huán)mmb3 .4141606105 . 736矩形工字鋼39 .46 cmWZ10349cmWZ2148cmA 226 .37 cmA 2334 cmA 2414cmA 4321:AAAA1:43. 2:69. 2:43. 32mmkN152021/6/1630假設(shè)所有的假設(shè)所有的 都平行于都平行于 y5.4彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力剪切彎曲剪切彎曲Fs 0, 0 橫截面不再保持平面（翹曲）橫截面不再保持平面（翹曲）實心細(xì)長

17、梁實心細(xì)長梁 工程上一般忽略不計工程上一般忽略不計,薄壁或短粗梁薄壁或短粗梁 需要考慮切應(yīng)力及其強度條件需要考慮切應(yīng)力及其強度條件FdxdxFsMFsM+dMbh矩形截面梁：矩形截面梁：bh假設(shè)同一高度假設(shè)同一高度 y 處處 相等相等截面兩側(cè)截面兩側(cè) 平行于平行于 yFs通過通過y, 對稱于對稱于yM+dMMdxy2021/6/1631ZIbSFs矩形截面梁：矩形截面梁：yFN1FN2dxsdFFFNN220 XSIMdAyIMdAFZAZAN11SIdMMFZN 2bdxsdFZbISdxdM dxFsMFsM+dMM+dMMdxFdxbhysdF 5.4彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力y12021/6

18、/1632)4(2)2(22yhbyyhbyAS )2(21)2(21yhyhyy )4(222121yhbdybyShy)4(612)4(2223322yhbhFbhbyhbFSS0: 2hyAFbhFySS2323:0maxb2h2hyAyFsmax5.4彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力2021/6/1633例例 比較矩形截面懸臂梁的最大正應(yīng)力和最大比較矩形截面懸臂梁的最大正應(yīng)力和最大切切應(yīng)應(yīng)力力。 解：,maxFlMFFsmax,62maxbhFlbhF23maxFlhbhl4maxmax :,bhbh切切應(yīng)力假設(shè)不成立，將產(chǎn)生較大誤差應(yīng)力假設(shè)不成立，將產(chǎn)生較大誤差2021/6/1634圓形截面梁：

19、圓形截面梁：AFs34max薄壁圓環(huán)截面薄壁圓環(huán)截面：AFs2max工字鋼截面工字鋼截面：0maxdhFAFss腹板max 強度條件強度條件h0hdmax常用梁截面的最大切應(yīng)力。常用梁截面的最大切應(yīng)力。 2021/6/1635懸臂梁由三塊木板粘接而懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為成?？缍葹?m。膠合面的膠合面的許可切應(yīng)力為許可切應(yīng)力為0.34MPa，木木材的材的= = 10 MPa， =1MPa，求許可載荷求許可載荷 21maxmax6bhlFWMz1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖按正應(yīng)力計算按正應(yīng)力計算SF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721

20、 lbhF bhFAFS2/32/32max按切應(yīng)力計算按切應(yīng)力計算 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解：疊合梁問題疊合梁問題2021/6/1636 gZZSbhFbbhhbFbISF 341233323*g按膠合面強度條件計按膠合面強度條件計算算 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzSF F2021/6/1637單梁吊車由40a號工字鋼制成，在梁中

21、段的上下翼緣上各焊了一塊12010 mm2的蓋板，如圖所示。已知梁跨長l = 8 m, a = 5.2 m,材料的彎曲許用應(yīng)力140 MPa ,許用切應(yīng)力為80 MPa,試按正應(yīng)力強度條件確定梁的許試按正應(yīng)力強度條件確定梁的許可載荷可載荷,并校核梁的切應(yīng)力并校核梁的切應(yīng)力。(梁的自重暫不考慮)例題（活動載荷例題（活動載荷, 加強梁）加強梁）2021/6/1638 分析分析2021/6/16395.6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷6-72021/6/1640合理布置支座合理布置支座5-6

22、 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施FFF2021/6/1641合理布置支座合理布置支座5-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施2021/6/16425-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施F合理布置載荷合理布置載荷,使使 M max 盡可能小盡可能小2021/6/1643EIFLw3max021. 0FL/2L/2EIFLw3max014. 0FL/43L/4EIFLw3max0073. 0F=qLL/54L/5對稱對稱Mx3FL/16MxFL/4MxqL2/102021/6/1644EIqLw43max10326. 0 超靜定梁超靜定梁qL/2L/2 超靜定梁超靜定梁

23、EIqLw4max013.0qL82qLMxMx512/92qL32ql22021/6/16455-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施ZmaxmaxWM2. 2. 增大增大 WZ 合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面合理放置截面合理放置截面6-72021/6/164662bhWZ左62hbWZ右5-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施合理放置截面合理放置截面2021/6/16475-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面2021/6/16485-6 提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面2021/6/1649充分利用材料特性充分利用材料特性合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面脆性材料脆性材料： maxmax, yy 宜上下