正切創(chuàng)新設計

1、23.1 銳角的三角函數(shù)、教材分析：本節(jié)課是義務教育課程標準滬科版九年級 （ 下） 第 23章解直角三角形第一節(jié)銳角 三角函數(shù)第一課時， 主要內(nèi)容是： 了解坡度 , 理解正切并能利用它們解決簡單的問題 . 本章內(nèi) 容是三角學中最基礎內(nèi)容，也是今后進一步學習三角學的必要基礎 . 教科書在運用學過的相 似三角形知識的基礎上推出當直角三角形的銳角大小確定后， 直角三角形的兩邊之比為一定 值，從而引入銳角三角函數(shù)的概念，進一步強化數(shù)形結(jié)合思想，有利于數(shù)學知識的串聯(lián)、延 伸.在日常生活中，刻畫傾斜程度（坡度）常常用傾斜角（坡角）的大小來表達，但是在大 量的實際問題中，傾斜角（坡角）是不可測量的，用傾斜角

2、的正切來刻畫傾斜程度（坡度） 學生不易想到；所以用“同底不等高”與“底、高都不等”的四組三角形比較坡面的傾斜程 度，引入坡度（坡比）的概念，通過坡度與坡角之間的對應關系，引出正切（刻畫的是角度 與線段比值之間的函數(shù)關系）及銳角三角函數(shù)的概念 . 其間，學生進一步認識和體會了函數(shù) 及函數(shù)的變化與對應思想，領悟了數(shù)形結(jié)合思想 .銳角三角函數(shù)正切、正弦、余弦 . 相比較而言，正切是生活中用得最多的，如山的 坡度、堤壩的坡度、 梯子靠在墻上的傾斜程度等都是用正切來刻畫的 .學好正切， 為學正弦、 余弦奠定基礎，又為高中系統(tǒng)學習三角函數(shù)做好鋪墊，同時架構(gòu)了直角三角形的邊角關系 .二、學情分析 學生已經(jīng)掌

3、握直角三角形中兩銳角之間的關系（互余）、三邊之間關系（勾股定理）， 能靈活運用角的大小比較，相似圖形的性質(zhì)及判定方法解決問題，有較強的推理證明能力， 為學習銳角三角函數(shù)知識奠定了知識基礎 .三、教學目標分析鑒于課標、教材及學情分析，確定本課的教學目標：1. 了解當銳角固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是固定的這一事實 . 初步理解角度與數(shù)值之 間的一一對應的函數(shù)關系 .2. 能正確地運用 tanA 表示直角三角形（其中一個銳角為 A）中兩邊（直角）之比，并能進 行簡單的計算 .3. 聯(lián)系生活實際，經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程，培養(yǎng)學生 觀察分析、類比歸納 的探究問題的能力 .4. 借助探究活

4、動，體驗數(shù)形結(jié)合思想進而分析問題，解決問題 .四、教學重、難點的確定鑒于課標的要求及教材與學情分析，確定本課的重、難點：重點： 理解正切的意義，能正確地運用 tanA 表示直角三角形（其中一個銳角為A）中兩邊（直角）之比 .難點 ：理解正切的意義 .五、教法和學法分析 結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點和學生的學情情況，從學生比較感興趣的走上坡路的生活經(jīng)驗， 提出問題（怎樣描述坡面的坡度（傾斜程度），以問題的解決（坡度、坡比、坡角、水平 寬度、鉛直高度及正切等概念）為主線，始終在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設置問題，倡導 學生主動參與教學實踐活動， 以獨立思考和合作交流的形式， 在教師的引導下發(fā)現(xiàn)、 分析和 解

5、決問題，在引導分析時，給學生流出足夠的思考時間和空間，讓學生去聯(lián)想、探索，從真 正意義上完成對知識的自我建構(gòu) . 另外，采用多媒體輔助教學，以直觀呈現(xiàn)教學素材，從而 更好地激發(fā)學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率。六、教與學互動設計（一）創(chuàng)設情境、激活已有經(jīng)驗1. 在RtABC中， C=90，三邊長分別為 a,b,c, A與 B之間的關系為 . a,b,c 之間的關系為 .設計意圖】回顧直角三角形中兩銳角之間的關系（互余）、三邊之間關系（勾股定理）2. 在測量底部不能直接到達電視塔的高度 AB時，從與塔底成一條直線的地面上D,C 兩處，測得電視塔頂?shù)难鼋欠謩e為 30和 45，兩個觀測點之

6、間的水平距離CD為 50 米 . 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，能求得電視塔的高度嗎？你能用勾股定理解決這個問題嗎？你想解決嗎，下面請和老師一起探究吧！【設計意圖】 這是本章的導圖，是利用勾股定理不能解決的直角三角形中的測量問題. 該問題既能引出學習三角函數(shù)的必要性， 又激發(fā)學生帶著解決問題的欲望進入本章的學習， 同時 學生又能從中體會到三角函數(shù)在實際問題中的重要作用二、師生互動，導學達標同學們，我們都有過走上（下）坡路的經(jīng)驗 , 坡面有陡有平 , 怎樣描述坡面的坡度（傾 斜程度）呢 ?【設計意圖】 從學生的切身的生活經(jīng)驗出發(fā)， 激發(fā)學生的求知欲， 調(diào)動學生學習的主動性和 積極性 .（PPT展示）在圖（ 1）

7、中,有兩個直角三角形 ,直角邊 AC與A1C1表示水長度 ,BC與B1C1表示鉛 直高度，斜邊 AB與A1B1 分別表示兩個不同的坡面 , 坡面AB和A1B1哪個更陡 ?你是怎樣判斷的 ?歸納總結(jié)：坡面的鉛直高度 h和水平長度 l 的比叫做坡面的坡度 （或坡比 ）, 記作 i, 即 i= h （坡度通常l寫成 hl 的形式） .坡面與水平面的夾角叫做坡角 （或稱傾斜角 ）, 記作 .【設計意圖】 在日常生活中，刻畫傾斜程度（坡度）常常用傾斜角（坡角）的大小來表達，但是在大量的實際問題中，傾斜角（坡角）是不可測量的，用傾斜角的正切來刻畫傾斜 程度（坡度）學生不易想到；所以用“同底不等高”與“底、

8、高都不等”的四組三角形比較坡面的傾斜程度，引入坡度（坡比）的概念 . 其間，學生進一步認識和體會函數(shù)及函數(shù)的變 化與對應思想，領悟了數(shù)形結(jié)合思想 .同學們，坡度 i 與坡角 之間有關系嗎 ?若有，請指出有何關系，如何刻畫？ 坡度越大 , 坡角越大 , 坡面就越陡 .（ 師進一步展示 PPT）BC aAC b如圖,在銳角 A的一邊上任取一點 B,自點 B向另一邊作垂線 , 垂足為 C,得到 RtABC;再 任取一點 B1, 自點 B1向另一邊作垂線 , 垂足為 C1, 得到另一個 RtAB1C1這樣 , 我們可以得 到無數(shù)個直角三角形 , 這些直角三角形都相似 .在這些直角三角形中 , 銳角 A

9、的對邊與鄰邊之比 BC ,B1C1 ,B2C2 究竟有怎樣的關系 ?AC AC1 AC2歸納總結(jié)：在圖 5 的這些直角三角形中，當銳角 A 大小確定后，無論直角三角形的大小怎樣變化， A的對邊與領邊的比值總是一個固定值在 Rt ABC中,把銳角 A的對邊與鄰邊的比叫做 A 的正切（tangent）, 記作 tan A,（讀法）A的對邊tan AA的鄰邊特別強調(diào)：tanA 是在直角三角形中定義的 , A 是一個銳角tanA 是一個比值（直角邊之比 .注意比的順序 ,且 tanA0,無單位 .）tanA 是一個完整的符號 ,表示 A的正切 ,習慣省去“”號； 的正切表示為： tan ；但 BAC的

10、正切應表示為 :tan BAC； 1 的正切表示為 :tan 1， 將來遇到銳角的正切問題，必須放到直角三角形中去解決（如沒有直角三角形，可作 輔助線構(gòu)造直角三角形顯然， 坡面的傾斜程度坡度 （ i） 與坡角（ ）之間的關系通常用坡角（ ）的正 切來描述 .即 i h tan .l【設計意圖】 通過圖 5直角三角形中， 當銳角 A大小確定后， 無論直角三角形的大小怎樣 變化， A的對邊與領邊的比值總是一個固定值，引出正切（刻畫的是角度與線段比值之間 的函數(shù)關系）及銳角三角函數(shù)的概念. 進而將坡度與坡角的正切之間的關系統(tǒng)一起來.跟蹤練習：1. 判斷正誤1)如圖 1，2)如圖 2，BC tanAA

11、CBC tanAAC10tanA7如圖 2，3)小結(jié)：1、銳角正切值要在直角三角形中進行計算；2、tanA 沒有單位，它表示一個比值例 1】 如圖 ,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3, 求tanA和tanB.解：BC 3tanA ， tanBAC 4ACBC變式： ( 1)在ABC中,AB=5， BC=3， C=90，求 tanA 和tanB 的值 小結(jié)： 在直角三角形中，已知任意兩邊的長度，可求兩銳角的正切值3(2)在 RtABC中，C=90，BC=3，tanA，求 AB的值.4小結(jié)： 在直角三角形中，已知任一邊長度和一銳角正切值，可求另兩邊的長度. 另外相等的拓展提升1、如右圖

12、 , ACB=90 CD AB. tanA()( )()()( )()小結(jié)： 銳角 A 在不同的直角三角形中可以有不同的對邊與鄰邊，但正切值不變 銳角，它們的正切值也相等 .2. 等腰 ABC,AB=AC=13,BC=10求, tanB.小結(jié)： 在非直角三角形中求角的正切值，要作輔助線構(gòu)造直角三角形來解決問題 .三、反思感悟，積累經(jīng)驗1. 坡度：坡面的鉛直高度 h 和水平長度 l 的比叫做坡面的坡度。2. 正切：在 Rt ABC中, 銳角 A的對邊與鄰邊的比叫做 A 的正切3. 正切的注意事項 四、布置作業(yè)1.P114 頁練習 1、 2、32. 用類比的方法探究銳角三角函數(shù)(正弦、余弦)及特殊

13、角(30、45、 60)三角函數(shù)值.教學思考：1.1 從生活中的問題出發(fā) , 激發(fā)興趣蘇霍姆林斯基指出 : “在人的心靈深處 ,總有一種根深蒂固的需要 , 這就是希望自己是一 個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者 .”課開始 ,我借助本章的導圖，它是勾股定理不能解決的直角三 角形中的測量問題 . 該問題既能引出學習三角函數(shù)的必要性，又激發(fā)學生帶著解決問題的欲 望進入本章的學習，同時學生又能從中體會到三角函數(shù)在實際問題中的重要作用. 從而了激發(fā)學生的學習興趣 , 促使他們產(chǎn)生強烈的求知欲 .1.2 注重揭示數(shù)學概念的本質(zhì)銳角三角函數(shù)對學生來說是一個全新的概念， 在本課時， 甚至在本章它是集重點、 難點、 關

14、鍵問題于一體的基礎概念 . 銳角三角函數(shù)與學生以前所學的一次函數(shù)、 二次函數(shù)及反比例 函數(shù)有所不同，它揭示的是角度與數(shù)值（線段比值）的對應關系. 本節(jié)課以正切函數(shù)為例，通過相似三角形， 得出結(jié)論： 當一個銳角的度數(shù)一定時， 這個角的對邊與鄰邊的比始終是一 個常數(shù)， 這就揭示了銳角與比值的對應關系， 即對于每一個銳角， 都有一個確定的比值與之 對應，從而給出正切函數(shù)的定義 . 也就說明對于銳角 A 的每一個確定的值， tanA 有唯一確定 的值與它對應，所以 tanA 是銳角 A的函數(shù).同樣地， sinA ，cosA也是銳角 A的函數(shù).這樣學 生對變量的性質(zhì)以及變量之間的對應關系有更深刻的認識，

15、 加深了對數(shù)學概念及數(shù)學本質(zhì)的 理解 .銳角三角函數(shù)概念是由直角三角形引入的， 不是由直角坐標系引入， 目的是為了降低難 度，引導學生充分而準確地理解好三角函數(shù)概念對后續(xù)學習有著極其重要的意義 .1.3 對數(shù)學思想方法的把握 本課時蘊含著重要思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應思想、函數(shù)思想、 符號化思想、 類比法、不完全歸納法等 . 本章的內(nèi)容是數(shù)形結(jié)合的最佳材料 . 不論在引入概念、 計算化簡、 解決實際問題時， 都可以引導學生通過畫圖幫助分析， 由圖形找出直角三角形中 的邊、 角的關系， 加深對銳角三角函數(shù)概念的理解 .比如， 正切的意義說明對于每一個銳角， 都有一個確定的比值與之對應，也就說明對于銳角 A 的每一個確定的值， tanA 有唯一確定 的值與它對應，所以 tanA 是銳角 A 的函數(shù) . 同樣地， sinA ， cosA 也是銳角 A 的函數(shù) . 突出一 一對應思想、 函數(shù)思想、 符號化思想， 這樣促使學生對變量的性質(zhì)以及變量之間的對應關系 有更深刻的認識，加深了對數(shù)學概念及數(shù)學本質(zhì)的理解 .1.4. 對數(shù)學思維方式的感悟 本節(jié)蘊含