勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2= c2)要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：(1) 已知直角三角形的兩邊求第三邊(在 ABC中， C 90，則c a2 b2 ,b . c2 a2 , a c2 b2 )(2) 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊(3) 利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關(guān)系a2+b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角 形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定

2、一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過 數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：(1) 首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c ；(2) 驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若 c2 = a2+b2，則 ABC是以/ C為直角的 直角三角形2 2 2 2 2 2(若c a +b，則 ABC是以/ C為鈍角的鈍角三角形；若 c a +b，則 ABC為銳角 三角形)。(定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形 三邊長a , b , c滿足a c b，那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但 是b為斜邊)3:

3、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系這樣的兩個(gè)命題叫做區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定 理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三 角形有關(guān)。4:互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)， 互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1 勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊 邊關(guān)系的題目。3 勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中 易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股

4、定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a, b, c有下列關(guān)系：a2+b2= c2, ?那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法.5. ?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn) 算，通過學(xué)習(xí)加深對(duì) 數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示

5、方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4SS正方形EFGH1 2 2S正方形ABCD,41ab (b a) c,化簡可證方法.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c2222ab c大正方形面積為S (a b)2a2 2ab b2所以a2 b2ab方法三：S梯形2(a b) (ab)， S梯形2S ADES ABE 2 ab2b2，化簡得證6:勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 a2 b2 c2中，a， b， c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)E aC記住常見的勾股數(shù)可以提高解

6、題速度，如3,4,5 ； 6,8,10；5,12,13 ；7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n2 1 ( n2, n為正整數(shù)）；2n 1,2n 2n,2n 2n 1 ( n 為正整數(shù))22小2m n ,2mn, m（m n, m， n為正整數(shù)）二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1 在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 .求AB的長已知AB 17, AC 15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2c222解： AB AC BC 10題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多

7、少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理 aC+BC=aW,即aC+92=152,所以aC=144,所以AC=12.例題2如圖（8），水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水解析：同例題1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 ACD中上ACD=90 ,在Rt ACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一” 的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理，aC+cD=aD設(shè)水深 AC= x 米，那么 AD

8、=AB=AC+CB=x+0.52 2 2x +1.5 = （ x+0.5 ）解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用一一1 例題3 如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB - AB4那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)1現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FB - AB可以設(shè)AB=4a那4么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 Rt AFD、Rt BEF和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出 DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DE

9、F是否是直角三角形。詳細(xì)解題步驟如下:解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 Rt CDE中, DE=cD+cE=(4a) 2+(2 a) 2=20 a2同理 E=5a2, DF 2=25a2 DEF中, EF2+ DE2=5a2+ 20a 2=25a2=DF DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長度例題4如圖4,已知長方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn) 巳將厶AD 折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折

10、疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過程如下：解：根據(jù)題意得 Rt ADE Rt AEF/Z AFE=90 , AF=10cm, EF=DE設(shè) CE=xcm貝y DE=EF=C9 CE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：222卄222AB+BF=AF,即卩 8+BF=10,/ BF=6cm CF=B BF=10- 6=4(cm)在Rt ECF中由勾股定理可得：EFcE+cF,即卩(8 x) 2 =x2+422 64 16x+x =2+16 x=3(cm),即 CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例題5如圖5,王師傅想要檢測桌

11、子的表面 AD邊是否垂直與 AB邊和CD邊，他測得AD=80cm AB=60cm BD=100cn, AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證 AD 、r+匚邊與CD邊是否垂直？&c解析：由于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖 4,矩形ABCD表示桌面形狀，在 AB上截取AM=12cm在AD上截取AN=9cm想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長度？），連結(jié)MN測量MN的長度。如果MN=15則AM+AN=MN所以AD邊與AB邊垂直； 如果 MN= 15,貝V 92+122=81+144=225, a 2工 225,即 92+122工 a 2,所以/ A不是直角。利用勾股定理

12、解決實(shí)際問題 一一A例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身 高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈 5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN,BCL AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長度。已知 AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算 BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題:變式1:如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)PA=2,PB=2、3

13、 ,PC=4,例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP重合, 若AP=3求PP的長。分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將厶BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形變式2、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 ,試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.變式：如圖，人。是厶ABC的中線， 翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,Z ADC=45 ,把厶 ADC沿直線 AD 求BC的長.題型八:關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用 ：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN勺距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，”周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1 19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊 沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B