清華大學微積分(高等數(shù)學)課件第18講定積分(三)

1、2021-10-131作業(yè)作業(yè)p176 習題習題6.3 16. 19. 20.p182 習題習題6.4 3(2)(6). 5. 7(3)(7). 9. p186 習題習題6.5 4. 5. 25. 預(yù)習預(yù)習: p1982102021-10-132第十八講第十八講 定積分定積分（三）（三） 一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法 （例題）（例題）二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法三、綜合例題三、綜合例題2021-10-133 dtttfdxxfbabtacttxbacxfba)()()(,)(,)()3(;)()2(; ,)()1(),(,)(1則則有有滿滿足足三三個個條條件件：

2、作作變變換換設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法定理定理1: (1: (定積分的換元積分法定積分的換元積分法) )2021-10-134有有為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時當當則則上上連連續(xù)續(xù)在在對對稱稱區(qū)區(qū)間間若若例例,)()1(,)(1xfaaxf aaadxxfdxxf0)(2)(0)( aadxxf有有為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時當當,)()2(xf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)知知又又由由作作變變換換對對于于右右端端第第一一項項)(:,xftx 證證(1)(1)()()(tftfxf 2021-10-135 000)()()(aaadttfdttf

3、dxxf為什麼為什麼? ? adxxf0)(定積分與積分變量定積分與積分變量 所用字母無關(guān)！所用字母無關(guān)！ aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaadxxfdxxfdxxf000)(2)()(0 2121221arcsindxxxx例如例如: :從而由換元公式，得從而由換元公式，得2021-10-136例例2 33291)3(dxxx計計算算 222sin1cossin dxxxx計計算算2 33291)3(dxxx例例3解解解解 332913dxx 3329dxx 202sin1cos2 dxxx 222sin1cossin dxxxx29 2021-10-137可可以以證證

4、明明：利利用用定定積積分分的的換換元元法法, ttaadxxfdxxfatxf0)()(,)(有有則則對對任任意意的的實實數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)是是一一個個以以若若證證 tattataadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00（1）（2）（3）證證(1)+(3)=02021-10-138 202202sin4sin xdxxdx)()()(00為為正正整整數(shù)數(shù)ndxxfndxxftnt atatdtttfdxxf0)()( 000)()()(aaadxxfdxxfdttfdtdxttx ,作作變變換換 ttaadxxfdxxf0)()(所以所以例如例如2021-10-

5、139分分部部積積分分公公式式則則有有有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導導數(shù)數(shù)上上在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(,)(),(xvxubaxvxu bababadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(|二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法定理定理2: (2: (定積分的分部積分法定積分的分部積分法) )2021-10-1310)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 得得公公式式利利用用是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)從從而而左左端端函函數(shù)數(shù)由由條條件件上上式式右右端端是是連連續(xù)續(xù),. )()(,lnxvxu |)()( )()(babaxvxudxxvxu bababadx

6、xvxudxxvxudxxvxuxvxu)()()()()()()()(而而右右端端的的積積分分為為 證證 利用牛頓利用牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式2021-10-1311|)()()()()()(bababaxvxudxxvxudxxvxu 于于是是得得到到 bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(| )()()()()()(| bababaxudxvxvxuxvdxu成成分分部部積積分分公公式式也也可可以以寫寫注注意意即即2021-10-1312 411lnln41dxxxdxxx原原式式 441ln1dxxx計計算算例例)2ln2(114141| dxxxxx

7、|41141)4ln2()4ln2(xxxxxx 22ln6 )2ln2(4141| dxxxxx 解解 2021-10-1313dxxxn 102)1(2計計算算例例dxxxnxxndxxxnnn 1011021102)1 (12)1 (11)1 (|dxxnnxxnnnn 102102)1()2)(1(2)1()2)(1(2| 解解 )3)(2)(1(2)1 ()3)(2)(1(2|103 nnnxnnnn2021-10-1314)(sin320nndxxinn 計計算算：例例21200 dxi1cossin|20201 xdxxi 解解 201)cos(sin xxdinndxxxnn

8、2022cossin)1( 201201)(sin)cos(sin)cos(| xdxxxnndxxxnn 2022)sin1(sin)1( nnninini)1()1(2 2021-10-1315得得到到時時當當,2kn 2! ! )2(! ! ) 12(sin2022 kkdxxikk)2(12 ninninn得得到到時時當當,12 kn1! ! ) 12(! ! ) 22(sin201212 kkdxxikk 2021-10-1316例例如如： 3252246135sin206 dxx35161357246sin207 dxx )(sincos2020nndxxdxxnn 可可以以證證明

9、明dxx 4082cos tx 2令令dtt 208cos21 153610522468135721 2021-10-1317三、綜合例題三、綜合例題并并作作出出幾幾何何解解釋釋。證證明明，且且上上二二階階可可導導非非負負在在設(shè)設(shè)),2()(0)(, 0)(0aafdxxfxfaxfa 證明證明 處處展展成成泰泰勒勒公公式式在在將將2)(axxf )2, 0(,)2(! 2)()2)(2()2()(2aaxfaxafafxf , 0)( xf)2)(2()2()(axafafxf 兩邊積分兩邊積分dxaxafafdxxfaa)2)(2()2()(00 例例112021-10-1318)2()2

10、)(2(21)2(02aafaxafaafa dxxfa0)(幾何解釋：幾何解釋：下下凸凸，)(, 0)(xfxf ,)2)(2()2(2)(在在曲曲線線的的下下方方處處的的切切線線在在axafafyaxf 梯梯形形面面積積曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積時時當當 ,), 0(0axy即即2021-10-1319 bababadxxgdxxfdxxgxfbacxgxf)()()()(,)(),(2222證證明明設(shè)設(shè)例例柯西柯西-許瓦茲不等式許瓦茲不等式證證為為參參變變量量研研究究txtgxf,)()(2 0)()()(2)(222 xgtxgxtfxf兩邊積分兩邊積分0)()()(2)(222 b

11、ababadxxfdxxgxftdxxgt關(guān)于關(guān)于t 的二次三項式的判別式的二次三項式的判別式, 0 即即 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2222021-10-1320 xxuduufuxdudttfxf000)()()(,)(3證證明明連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)例例證證分析：右邊是一次積分，左邊是兩次積分，分析：右邊是一次積分，左邊是兩次積分， 左邊算出一次。左邊算出一次。 xuuxdttfuddttfu0000)()(左左右右 xduufux0)()( xxduuufdttfx00)()(2021-10-1321.,)1(baxa的的某某個個區(qū)區(qū)間間自自變變量量依依賴賴于于不不

12、均均勻勻變變化化的的整整體體量量 niiaa1,.)2( 即即具具有有可可加加性性iiiixfaa )()3(求求得得近近似似值值可可“以以不不變變代代變變”部部分分量量可以應(yīng)用定積分計算的量有如下特點可以應(yīng)用定積分計算的量有如下特點:1、微元分析法、微元分析法四、定積分應(yīng)用四、定積分應(yīng)用2021-10-1322x)(xaxx a xyab)(xfy o xadttfxa)()(dxxfad)( )()(xfxa ,)(bacxf dxxfada)( )0()()( xxodxxfa 關(guān)鍵是關(guān)鍵是部分量部分量的近似的近似)()(badttfba 2021-10-1323局局部部量量的的近近似似

13、值值寫寫出出“不不變變代代變變”的的小小區(qū)區(qū)間間取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割區(qū)區(qū)間間,xxxba xxfa )(得得定定積積分分就就是是整整體體量量無無限限積積累累上上微微元元在在區(qū)區(qū)間間第第二二步步：令令, 0bax badxxfa)(微分近似微分近似)()(xxxfa 要要求求：微元分析法微元分析法2021-10-13242、幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用（一）平面圖形的面積（一）平面圖形的面積1. 直角坐標系下平面圖形面積的計算直角坐標系下平面圖形面積的計算axfyxbxax所所圍圍曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積曲曲線線軸軸和和連連續(xù)續(xù)及及由由直直線線)(,)1( 根據(jù)定積分的定義和幾

14、何意義知根據(jù)定積分的定義和幾何意義知 badxxfa)(2021-10-1325,)()(,baxxfxg 先先看看abxaxxgyxfy所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線由由曲曲線線 ,)(),()2( badxxgxfa)()(面積微元面積微元xdxx dxxgxfda)()( badxxgxfa)()(xabyo)(xfy )(xgy 2021-10-1326xyxy 1 xy2 xo21)1, 1(.2,11axxyxy所所圍圍成成的的面面積積及及直直線線求求由由曲曲線線例例 xyyx1解解方方程程組組 1121xx解解 21)1(dxxxa2ln23)ln2(|212 xx2021

15、-10-1327滿滿足足設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(),(yy ,)()(0dcyyy adycyyxyx所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線求求由由曲曲線線 ,),(),( 面面積積公公式式： dcdyyya)()( x)(yx cd)(yx yoydyy 2021-10-1328.1,5222ayxyx的的面面積積所所圍圍成成求求由由曲曲線線例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程組組解解oxy21yx 25yx 210221)51(22dyyyaa32)34(2|2103 yy211a 2102)41(2dyy2021-10-1329面面積積微微元元：小小圓圓扇扇形形 dda)(212 d面積微元面積微元 )( o2. 極坐標系下平面圖形面積的計算極坐標系下平面圖形面積的計算.,)(所所圍圍成成的的面面積積及及射射線線求求曲曲線線 da)(2122021-10-1330.)cos1(3aa的的面面積積所所圍圍成成求求心心臟臟線線例例 利利用用對對稱