雙曲線導學案及答案

1、第二講雙曲線（2課時）班級姓名【考試說明】1. 了雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率、）2.理解數(shù)形結合的思想.3. 了解雙曲線的簡單應用.【知識聚焦】（必須清楚、必須牢記）1 .雙曲線定義平面內與兩個定點Fi , F2的等于常數(shù)（小于| F1F2I）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做_，兩焦點間的距離叫做 _集合 P= Mil MF1 |MF1| = 2a, | FiF2| = 2c,其中 a, c 為常數(shù)且a0, c0.（1）當時，P點的軌跡是雙曲線；（2）當時，P點的軌跡是兩條射線；當時，P點不存在.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程x

2、2 = 1 (a0, b0) a ba b = 1 (a0，b0)圖形yF申歹性質范圍對稱性頂點漸近線離心率實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長 |A1A2|= ;線 段B1B2叫做雙曲線的虛軸， 它的長|B1B2|=; a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c 的關系c2=(ca0, cb0)3實軸和目等的雙曲線叫做等軸雙曲線.離心率是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，且等軸雙曲線兩條漸近線互相垂直.一般可設其方程為 x22=入（入工0）.2 2 2 2-一x y一x y4. 巧設雙曲線方程（1）與雙曲線孑一書=1 （ a0, b0）有共同漸近線的方程可表示為gt （ t豐

3、0）.2 2（2）過已知兩個點的雙曲線方程可設為x + y = 1 （ mi0, b0）的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為（）A. 5C.D. 22. （2015 安徽）下列雙曲線中，漸近線方程為y=2 X的是(22 yA . x2 = 1 B.42X2-分 12X 2Dy y2= 12014級高三理科數(shù)學導學案平面解析幾何編制：高春芳審閱：厲強2xk滿足0k0）的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為 .5. （教材改編）經(jīng)過點A（3， 1），且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為 .2 26. 設雙曲線X2 9= 1（a0）的漸近線方程為3X2y= 0，則a的值為（）

4、a 9A.4 B.3C.2D.12 2 2 2nxyyx7（ 2013 湖北）已知0 e 0, b0)的一條漸近線平行于直線I : y = 2x+ 10,雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A.2202x2y “3x23y2,3x3y2 *B.一 1C.1D.-12052510010025總結反思1變式題(1)(2015 課標全國n )已知雙曲線過點(4 , - 3)，且漸近線方程為y =歹，則該雙曲線的標準方程為5設橢圓C的離心率為-5-,焦點在X軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓 C的兩個焦點的距離的差的絕對值13等于8，則曲線C2的標準方程為探究點三雙曲線的幾何性質2

5、 2x y例3(1)過雙曲線2= 1( a0,a bb0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A與另一條漸近線交于點B,若FB= 2FA則此雙曲線的離心率為A. 2B.D.2014級高三理科數(shù)學導學案平面解析幾何編制：高春芳審閱：厲強(2015 山東)平面直角坐標系xOy中，雙曲線2XC： -2 a2y2十=1( a0, b0)的漸近線與拋物線 C2： x = 2py(p 0)交于點0, A, B若AOAB勺垂心為C2的焦點，貝U G的離心率為總結反思2 2x y變式題(1)(20 15 重慶)設雙曲線-2= 1(a0, b0)的右焦點是F,左，右頂點分別是 A, A,過F作AA的垂a b

6、線與雙曲線交于 B, C兩點，若AB丄AC,則該雙曲線的漸近線的斜率為()1A + _ 2B.乎C. 1D土 2(2015 湖北)將離心率為e1的雙曲線C的實半軸長a和虛半軸長b(a b)同時增加n(m0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對任意的a,b, e1 b 時，e1e2；當i ae2C.對任意的a,b, &e2D.當 ab 時，e1e2；當I ab 時，e10)的離心率等于2，直線y= kx 1與雙曲線E的右支交于 A, B兩點.求k的取值范圍;若|AB = 6 ,3,點C是雙曲線上一點，且 3C= n(OAOB，求k, m的值.總結反思變式題已知雙曲線C的兩個焦點

7、分別為% 2,0) , F2(2 , 0)，雙曲線 C上一點 P 到 F1,F2的距離差的絕對值等于2.(1)求雙曲線C的標準方程;l的方程; 經(jīng)過點M2,1)作直線l交雙曲線C的右支于A, B兩點，且M為AB的中點，求直線已知定點G(1,2)，點D是雙曲線 C右支上的動點，求| DF| + | DG的最小值.【課后作業(yè)】1. （2015 廣東）已知雙曲線 C:2y=1的離心率5e = 4,且其右焦點為F2（5,0），則雙曲線C的方程為（）B.C.2 2x yD. = 1342設直線I過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直,與C交于A, B兩點，|AE|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為

8、（）A. 2B.3 . （2014 江西）過雙曲線2 X C:2g蒼=1的右頂點作X軸的垂線，與 C的一條漸近線相交于點 A若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,O兩點（O為坐標原點則雙曲線C的方程為（）22x yA. = 1 B.41222x y -=179C.2XD.124 . (2015 課標全國I)已知MX0,y）是雙曲線C：y = 1上的一點，F(xiàn)1,F2是C的兩個焦點，若IMF MFb0）的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列,a1離心率為22x ye1；雙曲線 呂一忌=1 ( a20, b?0)的實軸長、虛軸長、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2.則e等于（C.6.已知F為雙曲線C：2

9、2x - = 1的左焦點,P, Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的 2倍，點A（5 , 0）在線段PQ上，則 PQF勺周長為2 27.已知雙曲線魚一3m= 1的一個焦點是（0,2）2 2，橢圓 m= 1的焦距等于4,則n=&若點0和點F( 2,0)分別為雙曲線?一y 2 2 2 2 2= 1(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則OP- FP的a取值范圍為.2x9. (2014 浙江)設直線x 3y+ mt= 0( m 0)與雙曲線 孑yb2=1(a0, b0)的兩條漸近線分別交于點A, B 若點 F(m,0)滿足| PA = | PB，則該雙曲線的離心率是 2X 210 .已

10、知橢圓C的方程為丁+ y = 1,雙曲線C2的左、右焦點分別是 C的左、右頂點，而 C2的左、右頂點分別是 G的4左、右焦點. 求雙曲線G的方程；若直線l :y = kx + ,：2與雙曲線G恒有兩個不同的交點 A和B,且0A- OB2(其中O為原點)，求k的取值范圍.雙曲線參考答案【基礎回眸】21 .答案 A解析 由題意得 b= 2a,又 a + b = C, 5 a2 = cl /. e = g= 5, e= 5.22. 答案 A解析 由雙曲線漸近線方程的求法知：雙曲線x2 4 = 1的漸近線方程為y =2x，故選A.2 23. 答案 A解析 因為0k0)，其漸近線方程為y=嘆，即 my=

11、 x，不妨選取右焦點v3m 3，7 m vF( Q3m 3, 0)到其中一條漸近線 x心尸0的距離求解，得 d=正5. x y = 1解析設雙曲線的方程為x2y2 = 1(a0)，把點A(3, 1)代入，得a2= 8,故所求方程為x y = 1. 88a a88 =羽.寸16. C解：由雙曲線方程可知漸近線方程為y=二x，又a0,可知a= 2.故選C.a17. D解：易知雙曲線 C實軸長為2cos 0，虛軸長為2sin 0，焦距為2,離心率為；雙曲線C實軸長為2sin 0 ,COS 01n虛軸長為2sin 0 tan 0 ,焦距為2tan 0，離心率為，又0 0 0,解得 入 V 2人十2 人

12、十1或入一1.【典例精講】2例 1 1.x 2 2 2雙曲線的標準方程為6436=1或占-36 y = 1（x w 1） 2.B81. 解析 如圖所示，設動圓 M與圓C及圓C2分別外切于 A和B根據(jù)兩圓外切的條件，得 |MC |AC| =|MA, |MC |BC| =|MB ,因為 | MA = | MB，所以 | MC T AC| = | MC | BC| ,即|MC |MC = |BC| |AC| = 2,所以點M到兩定點 G、C2的距離的差是常數(shù)且小于 | CC2| = 6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點 M的軌跡為雙曲線的左支（點M與C2的距離大，與 C的距離?。?，2其中a= 1, c=

13、3b2= 8.故點M的軌跡方程為 x2 y = 1（x0).9 m- 28 n= 1,72m- 49 n= 1,1m= 一,75解得丄 n= 25.2 2雙曲線的標準方程為卷-75=1.孑一b2= 1 或? R= 1(a0, b0).由題意知，2b= 12,2.A解：由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y= bx與直線y= 2x十10平行， - = 2.又雙曲線的一個焦點在直線Iaa上，一 2c + 10= 0, c= 5. a2+ b2= c2= 25將b = 2a代入上式得 a2= 5, b2= 20,故雙曲線的方程為 X 呂=1.5202 2 2x 2x y變式答案(1)4 y = 1話一

14、9 = 1解析(1)由雙曲線漸近線方程為1 一y = qX,可設該雙曲線的標準方程為2X 2-y =入(入工0)，已知該雙曲線過點 (4 ,42,3)，所以(叮3) 2=入，即入2一X 2=1,故所求雙曲線的標準方程為-y = 1.(2)由題意知橢圓G的焦點坐標為Fi( 5,0) , F2(5,0),設曲線C2上的一點P,則| PF| |PF2| = 8.由雙曲線的定義知:a= 4, b= 3.故曲線C2的標準方程為2 2 232= 1.即卷一呂=1.例3答案 (1)CI解析 (1)如圖，T FB= 2FA A為線段BF的中點，/ 2=7 3.b又/ 1=z2, / 2=6o,a=tan 60

15、 =3,2“ b、2, e = 1 + ( ) = 4, e= 2.a(2)由題意，不妨設直線 OA的方程為y = x，直線OB勺方程為y=bx.由aby=孑,2X = 2py,2b得 x = 2p ?, a22pb2pb- x =, y= aa22pb 2pbp A a, a .設拋物線C2的焦點為F,則F 0, 22pb2 p 匚a 2 . kAF=.2pba AFX OB 二 kAF koB= 1,2pb2 p孑-22pbabb =1,/b2 = 4.設C的離心率為e,貝U e2= $=a 4ab2 一a =1+ 4=59344. e= 2變式答案(1)C(2)B(1)如圖，雙曲線g訂=

16、1的右焦點F( c, 0)，左，右頂點分別y0/22為 Ai( a,0), A2( a, 0),易求 Be, a , Cc,a貝y kAzC=- , kAB=a eb2 得(1 k)x + 2kx 2=0.(*)a又AB與AC垂直,a+ eb2a則有 kA1B- kA?C= 1,即a+ eb2b4a .a2=1 , 2a ee a22b1,. a = b,即卩a= b,漸近線斜率k=- = 1.ae1=、疋,e =、/爲.不妨令耳，化簡得?鶉n0),得bman, 得 ba時，有abm即ee2；當ba時，有b1,2 2A = 2k 4 1 k X 2 0,k1,即,2k 2,所以1k ,2故k的

17、取值范圍是k|1 k ,；2由(*)得Xl + X22k2k2 1 , X1X2=p-k2 1, /-I AB =p 1 + F .X1 + X22 4X1X2=1 + ：12 = 6 3 ,555整理得 28k4 55k2+ 25= 0, k2= 7或 k2= 4，又 1k| GF| + 2 = 5 + 2,故 | DF| + | DG 的最小值為 Q5 + 2.【必做題】1. C解析因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為c 5222e=a= 4 所以 c= 5, a = 4, b2= c2 a2 = 9,所以所求雙曲線方程為216 9 =1，故選 C.2. 答案 B22解析設雙曲

18、線的標準方程為 ?一 = 1(a0, b0)，由于直線過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線I的方程222. 4x y22 cb為：x = c 或 x = c,代入2= 1 得 y= b(二1) = 2,a ba a y = E，故| AB = 2b，依題意 2b = 4a,aaa.2 2 2bc a2= 2 , 2a a=e2 1 = 2,. e= ,3.x = a,由by = ax，2 2 ,； a 4 2+ b 2= 4，即(a 4)2 + b2= 16.而 a2+ b2= 16 ,二 a= 2, b= 2 3.二雙曲線 C 的方程為扌一1.4答案 A解析 由題意知 a=2, b= 1,

19、 c = 3,. Fi( 一工；3, 0) , F2(j3, 0), MF= ( ;3 xo, yo) , MF= ( J3 xo, yo) .t MF MF0, ( -; 3 xo)(打3 xo) + yo0,即xo 3 + yS0. t點 Mxo, yo)在雙曲線上,2XO222yo = 1, 即 卩 xo= 2+ 2yo,2+ 2yo 3+ yo0,橢圓的焦距為4,所以c2= n 1 = 4或1 n= 4，解得n= 5或一 3(舍去).2&答案 3 + 2 3,+口 解析 由條件知a2+ 1= 22 = 4,. a2= 3,.雙曲線方程為 專y2= 1,2 22 x 22 2x設 P點坐標為(x, y)，則 (x, y), FP= (x + 2, y) , t y = 1, OP- FP= x + 2x + y = x + 2x+ 1 437=x2+ 2x 1= 3(x+ 3)2 4 又T x 3( P為右支上任意一點),P FP3+ 2 .3.9.答案2 2雙曲線豐一討1的漸近線方程為bb丄 y=?,y= x.由 aaam bm3b a 3