與黃金價(jià)格掛鉤的存款理財(cái)產(chǎn)品（金融工程案例分析）ppt課件

1、理財(cái)富品與黃金價(jià)錢掛鉤的存款理財(cái)富品與黃金價(jià)錢掛鉤的存款理財(cái)富品 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 與黃金價(jià)錢掛鉤的構(gòu)造性存款理財(cái)富品，其收益除了與黃金價(jià)錢的某個(gè)目的的累計(jì)數(shù)相關(guān)以外，還可以與黃金價(jià)錢的某種觸發(fā)目的有關(guān)。 例如：東亞銀行2006年發(fā)行的區(qū)間觸發(fā)型存款理財(cái)富品可歸結(jié)為一種雙妨礙期權(quán)。 2006年2月20日，東亞銀行在廣州推出了兩款與黃金價(jià)錢掛鉤的保本型美圓存款理財(cái)富品，期限為一年。最低申購(gòu)額為5000美圓，分別對(duì)應(yīng)看“漲和看“溫暖盤整的不同市場(chǎng)預(yù)期，產(chǎn)品能夠的最高收益率高達(dá)8%。假設(shè)黃金價(jià)錢以美圓/盎司為單位于1年內(nèi)均處于一個(gè)事先指定的區(qū)間長(zhǎng)度為140美圓的范圍內(nèi)，那么投資者一年后便得到最高

2、的8%投資收益。即使黃金價(jià)錢于該1年內(nèi)的某些時(shí)辰超出限定區(qū)間范圍，投資者依然可以根據(jù)黃金價(jià)錢第一次超出限定范圍前的總?cè)諗?shù)，于到期日獲取收益： 投資金額4%D/N 其中D為在察看期內(nèi)從初始日至初次穿破日但不包括穿破日在內(nèi)之總?cè)諗?shù)，N為察看期之總?cè)諗?shù)實(shí)踐為黃金買賣日的總天數(shù)。設(shè)定的區(qū)間以黃金初始價(jià)錢70美圓和黃金初始價(jià)錢70美圓分別為區(qū)間的上下限。模型的建立模型的建立 (a) 黃金價(jià)格tS服從幾何 Brown 運(yùn)動(dòng)： tttdSdtdWS （1） 其中為期望回報(bào)率，為波動(dòng)率，和均為大于零的常數(shù)。tW為標(biāo)準(zhǔn)的 Brown 運(yùn)動(dòng)，即 0,ttdWVar dWdt。 (b) 黃金價(jià)格的限定區(qū)間為,abS

3、S，初始時(shí)刻的價(jià)格為0S，且滿足：0abSSS。 (c) 美元的市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)0r 。黃金價(jià)格不觸及限定區(qū)間,abSS時(shí)的利率為0r，觸及限定區(qū)間是的利率為1r（一般可假設(shè)1rr0r） 。 (d) 市場(chǎng)是無(wú)套利的。 (e) 銀行只有在產(chǎn)品到期tT時(shí)刻才付給客戶收益。在整個(gè)產(chǎn)品期間，無(wú)論是銀行方還是客戶方均無(wú)權(quán)提前結(jié)束合約（即不考慮違約情形） 。 (f) 交易是在時(shí)間區(qū)間0,T連續(xù)進(jìn)行的。 (g) 不考慮黃金的存儲(chǔ)、交易費(fèi)用及稅收。 設(shè)單位美元存款理財(cái)產(chǎn)品的價(jià)值為V，它顯然依賴于黃金價(jià)格S和時(shí)間t。下面利用-對(duì)沖技巧，給出產(chǎn)品定價(jià)的數(shù)學(xué)模型 2222102VVVSrSrVtSS 即是標(biāo)準(zhǔn)

4、的Black-Scholes方程。 推導(dǎo)V滿足的定解條件 如果黃金價(jià)格在整個(gè)觀察期0, T內(nèi)不觸及區(qū)間 ,abSS，則投資者得最高收益利率0r，即得終值條件： 0( , )1V S TrT ，abSSS 如果黃金價(jià)格從初始時(shí)刻開(kāi)始，直到t時(shí)刻為止，第一次觸及區(qū)間的端點(diǎn)aS或bS，此時(shí)投資者的收益利率為1r，由于本金及利息都必須等到到期日才結(jié)算，計(jì)算t時(shí)刻的收益應(yīng)把到期日T的收益貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻，從而得邊界條件： 一旦黃金價(jià)錢超越價(jià)錢上限或低于價(jià)錢下限，根據(jù)產(chǎn)品的合約規(guī)定就不再計(jì)算利息，期權(quán)就終止了，即使黃金價(jià)錢再次回到限定范圍內(nèi)，也不再重新計(jì)息。因此滿足向上敲出-向下敲入的雙妨礙期權(quán)的特征。 從

5、而問(wèn)題的求解區(qū)域?yàn)?( , ),0abS t SSStT 綜合以上的分析，我們得到單位存款理財(cái)富品價(jià)值 滿足以下偏微分方程的定解問(wèn)題：2222()10102(, )(, )(1)( ,)1r TtabVVVSrSrVtSSV StV Strt eV S Tr ，T， ( , )0abS ttTSSS 這是一個(gè)線性偏微分方程的初邊值問(wèn)題。下面將求出它的級(jí)數(shù)解 模型的求解 對(duì)于雙妨礙期權(quán)問(wèn)題，我們將用Fourier 展開(kāi)方法求解 作函數(shù)及自變量變換，雙妨礙期權(quán)問(wèn)題變成常系數(shù)拋物型方程的齊次邊值問(wèn)題 ()1(1)r TtUVrt e, ln,aSxTtS 222120111,22(0, )(ln,

6、)0,( ,0).rbaUUUrrUrexxSUUSU xrr 0ln,000lnbabaSxTSTSxS 再作函數(shù)變換xUWe，并選取適當(dāng)?shù)某?shù) ， 使得問(wèn)題(6)中的方程化為標(biāo)準(zhǔn)的熱傳導(dǎo)方程。 為此令 221()2r ，222122rr 那么上述定界問(wèn)題變?yōu)橐?guī)范的熱傳導(dǎo)方程混合問(wèn)題： 記ln0baSlS，將上面問(wèn)題的解展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)： 1( , )( )sinnnnW xTxl 同時(shí)將問(wèn)題7中方程的右端項(xiàng)、初值函數(shù)也作正弦函數(shù)展開(kāi)，比較系數(shù)并求解相應(yīng)的常微分方程初值問(wèn)題得 其中 22 221 ( 1)1nlnnnbell ， 2222222nrnl 我們最后得到 2()2()1011( ,

7、 )sin1nnT tlT tnnnarnSV S tb errelS ()1(1)r T trt e 例如假設(shè)初始時(shí)刻的黃金價(jià)格為0S=540/每盎司， 觀察區(qū)間上限為 bS 540 美元+70 美元 = 610美 元 ， 區(qū) 間 下 限 為 aS 540美 元 70美 元 = 470美 元 ，0.016r ,00.08,r 10.04r ，0.3182，1T 。如果以 1000000 項(xiàng)的級(jí)數(shù)值（在CPU 速度為 P4 2.8G，內(nèi)存為 512M 的 PC 機(jī)上的計(jì)算時(shí)間為 1.643 秒）作為精確解時(shí)，前 N項(xiàng)數(shù)值近似解的誤差見(jiàn)圖 1。 圖 1.級(jí)數(shù)解的計(jì)算項(xiàng)數(shù)與計(jì)算誤差的關(guān)系 下面考察

8、市場(chǎng)參數(shù)對(duì)產(chǎn)品價(jià)值的影響。 我們分別取市場(chǎng)波動(dòng)率為0.1,0.2, 0.3, 0.4，美元市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.016r ，00.08r ，10.04r ，1T 。觀察區(qū)間為0070,70SS。產(chǎn)品初始時(shí)刻價(jià)值與初始時(shí)刻黃金價(jià)格以及不同市場(chǎng)波動(dòng)率的關(guān)系見(jiàn)圖 2。 圖 2 產(chǎn)品價(jià)值與初始時(shí)刻黃金價(jià)格以及波動(dòng)率的關(guān)系 下面再考察市場(chǎng)上美元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)產(chǎn)品價(jià)值的影響。 分別取0.010,0.015,0.020,0.025,0.030r ，00.08r ，10.04r ，0.3182，1T 。產(chǎn)品價(jià)值與初始時(shí)刻黃金價(jià)格以及不同風(fēng)險(xiǎn)利率的關(guān)系見(jiàn)圖 3。 圖3 不同美元利率的產(chǎn)品價(jià)值隨黃金價(jià)格變化關(guān)系圖 圖4 金價(jià)限