平行四邊形經(jīng)典例題

1、平行四邊形基礎(chǔ)知識平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形疋有兩組對邊分別平行的四邊有一個角是直角有一組鄰邊相等的平有一組鄰邊相等且兩腰相等的梯形是等義形是平行四邊形。的平行四邊形是行四邊形是菱形。有一個角是直角的腰梯形。矩形。平行四邊形。1、對邊平行且相等。1、四個角都是直1、四條邊都相等。具有平行四邊形、矩1、兩腰相等兩底平行性2、對角相等，鄰角互補。角。2、兩條對角線互相垂形、菱形的所有特2、同一底上的兩角相質(zhì)3、對角線互相平分2、對角線相等。直，并且每一條對角線征。等平分一組對角。3、兩條對角線相等1、定義:1、定義：1、定義:1、先證明是矩形再1、定義：先判斷是梯2、判定定理：2、

2、判定定理：2、判定定理：證明一組鄰邊相等。形在證明兩腰相等。(1)兩組對邊分別相等的四(1)對角線相等(1 )一組鄰邊相等的2、先證明是菱形再2、同一底上的兩個角判邊形是平行四邊形。的平行四邊形是平行四邊形是菱形。證一個角是直角。相等的梯形是等腰梯(2)兩組對角分別相等的四矩形。(2 )對角線互相垂直形。疋邊形是平行四邊形。(2)有三個角是的四邊形是菱形。3、對角線相等的梯形(3) 一組對邊平行且相等的直角的四邊形是是等腰梯形。四邊形是平行四邊形。矩形。(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三

3、邊，且等于第三遍的一半。DC2、由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題例1、如圖1,平行四邊形 ABCD中，AELBD CHBD,垂足分別為E、F.求證：/ BAE=/DCF.（圖1）AECDM例2、如圖2，矩形ABCD中，AC與BD交于0點，BELAC于E, CHBD于F.求證：BE = CF.例3、已知：如圖3，在梯形 ABCD中, AD/BC AB= DC點E、F分別在 AB CD上，且BE= 2EACF = 2FD.求證：/ BEC =/CFB.例4、如圖6，E、F分別是 ABCD的AD BC邊上的點，且 AE = CF.(1) 求證： A

4、BEA CDF口(2) 若 M、N分別是BE DF的中點，連結(jié) MF、EN,試判斷四邊形 MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論例5、如圖7 ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊 AD BC分別相交于點E, F.，求證:AFCE是菱形.例6、如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，0是它的中心，E、F是對角線AC上的點.(1) 如果，則 DEC2A BFA (請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件)(2) 證明你的結(jié)論.例7、如圖9，已知在梯形 ABCD中，AD/BC AB = DC,對角線AC和BD相交于點O,E是BC邊上一個動點（點E不與B、C兩點重合），EF/BD交AC于點F，EG/AC交BD于

5、點C.（1）求證：四邊形 EFOG勺周長等于2OB;B圖9C備用圖（1）備用圖（2）圖13（2） 請你將上述題目的條件“梯形 ABCD中, AD/BC AB = DC”改為另一種四邊形， 其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形 EFOG勺周長等于2OB仍成立，并將改編后的題目畫 出圖形，寫出已知、求證、不必證明 .例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設(shè)計兩種方案（平分方案畫在備用圖13（1）、（2） 上），并給予合理的解釋.四、練習(xí)一、選擇題1. 下列命題正確的是（）（A）、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形（B）、對角線相等的四邊形一定

6、是矩形（C）、兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形（D）、在兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2. 已知平行四邊形ABC的周長32, 5AB=3BC,則AC勺取值范圍為（）A. 6AC10 ; B. 6AC16; C. 10AC16; D. 4AC163. 兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是（）（A） 1（B） 2（C） 3（ D 44. 延長平形四邊形ABCD勺一邊AB到E,使BE= BD,連結(jié)DE交BC于F,若/ DAB=120 , / CFE= 135,AB= 1 ,_則AC的長為()(A) 1(B)(C)事(D)5 若菱形ABC中AE垂直平分BC于E

7、, AE= 1cm,則BD的長是（(A) 1cm(B) 2cm(C) 3cm(D) 4cm6. 若順次連結(jié)一個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線（）（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如圖，等腰 ABC中, D是BC邊上的一點，DE/ AC, DF/ AB, AB=5那么四邊形 AFDE勺周長是(A) 5(B) 10(C) 15(D 20（第8題）（第 9題）（第10題）8.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABC折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN _則線段CN勺長是（）.(A) 3cm(B)4cm(C) 5cm(D) 6c

8、m9.如圖，在直角梯形ABCD中,AD/ BC/ B=90 ,AC將梯形分成兩個三角形，其中 ACD是周長為18 cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長是（(A)9 cm (B)12cm(c)9 cm (D)18 cm210.如圖，在周長為20cm的口ABC中, ABAD AC BD相交于點O, OELBD交AD于E,則AAB的周長為（(A)4cm(B)6cm (C)8cm (D)10cm11.如圖(A)4、3(B) 3 3(C) 4一2(D)812.如圖,已知四邊形 ABC中，R、P分別是BC CDk的點，E、F分別是AP RP勺中點，當(dāng)點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結(jié)論圖2

9、第12題圖成立的是（）A、線段EF勺長逐漸增大、線段EF的長逐漸減小C線段EF勺長不變、線段EF勺長與點P13.在梯形ABCD中,adAC5cmB. 7 cmC.D. 6cm2,四邊形ABC為矩形紙片.把紙片ABC折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF若CD= 6,則AF等于（）14. 國家級歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇(如圖)，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫 6種顏色的花.如果有 AB / EF / DC , BC / GH/AD，那么下列說法中錯誤的是(A.紅花、綠花種植面積一定相等紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定

10、相等.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等二、填空題1.如果四邊形四個內(nèi)角之比1: 2:4,則這四邊形為.形。 2.若正方形的對角線長為2cm,則正方形的面積為.3. 若矩形一個內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是.4.已知：平行四邊形ABC的周長是30cm,對角線AC BD相交于點O, AO的周長比厶BO的周長長5cm，則這個平行四邊形的各邊長為.5.已知：平行四邊形 ABCD中, AE丄BC交CB的延長線于點3E, AF丄CD交 CD的延長線于點 F, AB+ BO CD DA= 32cm, BC= 5 AB,/ EAB 2 / C, _則 BE長為，則/ C6.在平面直

11、角坐標(biāo)系中，點A B、C的坐標(biāo)分別是A( - 2,5) , B( - 3,- 1) , C(1, - 1),在第一象限內(nèi)找一點 D,使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點 D的坐標(biāo)是7.已知：如圖8,正方形ABC中，對角線AC和B相交于點Q的長為E、（1）（2）（第 9 題）8 如圖9 (1)是一個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的一個菱形.對于圖 10(1)中的等腰梯形,請寫岀它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論:9如圖，在四邊形中，是對角線的中點，分別是的中點,，則的度數(shù)是10如圖，菱形 ABCD勺兩條對角線分別長 6和8,點P是對角線AC上的一個動

12、點，點 M N分別是邊AB BC的中點，則PM+PN的最小值是11.如圖，在四邊形 ABCDK E、F、G H分別是ABBD CD AC的中點，要使四邊形 EFGH是菱形，四邊形 ABC%應(yīng)滿足的一個條件是（12 題）（13題）12、如圖所示，O為矩形ABC的對角線交點，DF平分/ AD(交AC（14 題）于E, BC于F,Z BDF=15，則/3,COF=13. 如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點0，過點0的直線分別交 AD和BC于點E、F, AB 2, BC則圖中陰影部分的面積為 .14、如圖，矩形的面積為4,順次連結(jié)各邊中點得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點得到四邊形，依此類

13、推，求四邊形的面 積是15、如圖已知 0是口 ABCD勺對角線交點， AC= 24，BA 38，AA 14,那么 OBC的周長等于16、在平行四邊形 ABCD中, Z C=Z B+Z D,則/ A=，/ D=17、一個平行四邊形的周長為70cm,兩邊的差是10cm,則平行四邊形各邊長為 cm。18、已知菱形的一條對角線長為12cm,面積為30cni，則這個菱形的另一條對角線長為 cm19、菱形ABCD中, Z A= 60，對角線BD長為7cm,則此菱形周長cm20、 如果一個正方形的對角線長為2，那么它的面積o21、 如圖2矩形ABCD的兩條對角線相交于 0,Z AOB= 60,AB = 8,

14、則矩形對角線的長。22、 如圖 3,等腰梯形 ABCD中, AD/ BC, AB/ DE BC= 8, AB= 6, AD- 5 _則厶 CDE周長o21、 正方形的對稱軸有條22、 如圖4, BD是口 ABCD勺對角線，點E、F在BD上，要使四邊形 AECF是平行四邊形，還需增加的一個條件是23、 要從一張長為40cm,寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為 18cm,寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出張。三、解答題1.如圖，在四邊形 ABCD中, Z A=60 , Z B=Z D=90 ,BC=2,CD=3,求 AB的長。2.如圖，在等腰梯形ABCD中, AD/ BC,AB=CD=2Z BAD

15、=120對角線AC平分Z BCD求等腰梯形ABCD的周長3將平行四邊形紙片 ABCD按如圖方式折疊，使點 C與A重合，點D落到D處，折痕為EF.DX(1) 求證： ABEA AD F;(2) 連接CF,判斷四邊形AEC是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論4. 已知：如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=CD對角線AC BD相交于點 E,/ADB=60 , BD=10 BE： ED=4： 1，求梯形 ABCD的腰長.5. 如圖，菱形 ABCD E, F分別是BC, CD上的點，/ B=Z EAF= 60/ BAE= 18 求/ CEF的度數(shù)。6.已知：如圖，在 ABC中，ABAC ADIB

16、C垂足為點(1)求證：四邊形 ADC助矩形；(2)當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.D,人“是厶ABC7卜角/ CAM勺平分線，CEL AN垂足為點 E,7.如圖，四邊形 ABCD中，一組對邊 AB=DC=4另一組對邊 ABC對角線BD與邊DC互相垂直，M N、H分別是AD BC BD的中點，且/ ABD=30求：(1) MH的長(2) MN的長8. 如圖所示，在 ABC中，/ BAC=90 ,AD丄B,BE平分/ ABC,EF/ BC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論9. 如圖，ABCD是正方形，CE/ BD, BE= BD, BE交 DC于點 F,求證：(1

17、)Z BEC= 30(2) DE= DF10. 如圖，在正方形 ABCD中, P為對角線BD上一點,PELBC垂足為 E, PF丄CD垂足為 F,求證： EF= AP11. 如圖，四邊形 ABCD勺對角線AC BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F。若PE=PF且 AP+AE=CP+CF( 1 )求證： PA=PC;(2)若 AD=12,AB=15,/DAB=60 ,求四邊形 ABCD勺面積.10.如圖所示，已知在 口ABCD中, E, F分別是AD, BC的中點，求證：MN/ BC.11.已知：如圖， E為口ABCC中DC邊的延長線上的一點，且 CE= DC連結(jié)AE分別交BC

18、BD于點F、G,連結(jié)AC交BD于Q 連結(jié) OF求證：AB= 2OF.12. 如圖，在矩形ABC中，AD=8cm AB=6cm點A處有一動點E以 1cm/ s的速度由點A向點E運動，同時點C處也有一動點F以2cm/ s 的速度由點C向點D運動，設(shè)運動的時間為x (s),四邊形EBFD勺面積為y (cmi),求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。21,如圖16，已知四邊形 ABCD是平行四邊形，/ BCD的平分線CF交邊AB于F，Z ADC的平分線DG交邊AB于G(1)線段AF與GB相等嗎?(2)請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得EFG為等腰直角三角形，并說明理由AE 圖1822,圖1

19、6如圖17,已知口ABCD, E為Al!的中點,CE的延長線交BA的延長線于點 E(1)試說明線段 CD與 FA相等的理由;(2)若使/ F=Z BCF ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并說明你的理由(不要再增添輔助線) 23, (08上海市)如圖，已知平行四邊形 ABCD中，對角線 AC，BD交于點0，E是BD延長線上的點，且 ACE是等邊三角形.(1) 求證：四邊形 ABCD是菱形;(2)若 AED 2 EAD，求證：四邊形 ABCD是正方形.24, 已知：如圖19,四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且 DE= BF請你 以F為一

20、個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）（1）連結(jié)；（ 2）猜想：=；（ 3）證明：25, 如圖20,已知正方形 ABCD勺對角線 AG BD相交于點 O E是AC上一點，連結(jié) EB,過點A作AML BE 垂足為M AM交BD于點F.（1）試說明0E= OF;（2）如圖21,若點E在AC的延長線上，AML BE于點M交DB的延長線于點 F,其它條件不變，則結(jié)論“ 0E13. 如圖在直角梯形 ABCD中,AD / BC, / B=90 AD=24cm,AB=8cm,BC=26cn動點P從A開始沿 AD邊向D以1cm/s的

21、速度運動，動 點Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運動,P,Q分別從點A,C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè) 運動的時間t,t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形，等腰梯形？C14已知：如圖，在直角梯形 ABCD中，/ B= 90,AD/ BC, AA 24cm, BC= 26cm,動點P從A點開始沿 AD邊 向D以1cm/秒的速度運動，動點 Q從C點開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運動，P、Q分別從A C同時出發(fā), 當(dāng)其一點到端點時，另一點也隨之停止運動， 設(shè)運動時間為t秒，t分別為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？ 等腰梯形？.在厶ABC中，借助作圖工具

22、可以作出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的 AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計，并畫出圖形說明。（1 ）在厶ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在厶ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在厶ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在厶ABC（AB工AC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線與拼圖示意圖。15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形（圖甲）；將余下的部分分成 4個全等的圖形（圖已）仿照示例，請你將一個正三角形

23、割去四分之一后余下的部分。（1）分成3個全等的圖形（在圖一中畫岀示意圖）；（2） 分成四個全等的圖形（在圖二中畫出示意圖）；（3）你還能利用所得的 4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎？若能，畫出大致的示意圖。16. 如圖是 王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在 A處有一口井，王大爺要想從 A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分 成面積相等的兩部分.請你為王大爺設(shè)計一條引水渠的方案，畫岀圖形，并簡要寫岀作圖的主要步驟.解：作圖步驟:17. (1) 如圖 25-1，在四邊形 ABCD 中，AB= AD,/ B=Z D= 90, E、F 分別是邊 BC CD 上的點，且/ EAF=/ BAD 求證：EF = BE + FD;(2) 如圖25-2在四邊形 ABCD中, AB= AD, / B+/ D= 180, E、F分別是邊 BC CD上的點，且/ EAF=/ BAD,中的結(jié)論是否 仍然成立？不用證明.(3) 如圖 25-3 在四邊形 ABCD中, AB= AD,/ B+/ ADC= 180, E、F分別是邊BC CD延長線上的點，且/ EAF=/ BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不 成立，請寫岀它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.18. 將邊長OA=8 OC=10的矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點