流體力學(xué)習(xí)的題目及問題詳解

1、第一章 緒論1-1 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的條件是什么？答： 所研究問題中物體的特征尺度 L，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于流體分子的平均自由行程l，即 l/L 1 ）， 物體浸入液體 1中的體積為 V1 ，浸入液體 2 中的體積為 V 2 ，求物體的浮力。答： 設(shè)微元面積 dS上的壓力為 p ，其單位外法向量為 n ，則作用于 dS上的流體靜力為 dPpndS 。沿物體表面積分，得到作用于整個物體表面的流體靜力為 P pndS 。S設(shè) V1 部分的表面積為 S1 ，設(shè) V2 部分的表面積為 S2 ，兩種液體交界面處物體的截面積為S0 ，并建立下述坐標(biāo)系，即取交界面為交界面處的壓力為 p0 。xoy 平面， z 軸垂直向上為

2、正，液體深度 h 向下為正，顯然 h z。因此 P pndSSpndS pndS 。 S1S2在 S1 上 p p01h p0 1z，在 S2上 p p02z ；代入到上式中得到：P p 01 z ndSp02 z n dSS1S2p0 ndS1 z n dSp0 ndS2 z ndSS1S1S2 S2p0ndSp0ndS1 z ndS2 z n dSS1S2S1S2在此，需要注意到，由于在交界面上 z 0，因此有1z ndS2z ndS 0 。將這兩S0S0項分別加入到上式的第二個括號和第三個括號中，則原式成為：p0 ndSp0ndS1 z ndS1 z ndSS1 S2S1S02 z nd

3、S 2 z ndSS2S0p0 ndS1z ndSSS1 S02z ndSS2 S0利用高斯公式，可以得到：Pp0 dV1z dV2 z dVVV1V20 1V1k 2V2 k1V1 2V 2 k即物體受到的浮力為 P1V12V2 k 。第三章 流體運(yùn)動學(xué)3-1 粘性流體平面定常流動中是否存在流函數(shù)？答： 對于粘性流體定常平面流動，連續(xù)方程為：0；存在函數(shù)：P(x,y,t)v和Q x, y,t u，并且滿足條件：QP。xy因此，存在流函數(shù)，且為：v dxu dy 。x, y,t Pdx Qdy3-2 軸對稱流動中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程 ?答：如果流體為不可壓縮流體， 流動為無旋流動， 那么

4、流函數(shù)為調(diào)和函數(shù)， 滿足拉普拉斯方 程。3-3 就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。1)um x m y,v2 2 2 22 x y 2 x y22Kt y x2 2 2xy2Ktxy2 2 2xy，其中m ， K 為常數(shù)。答： （1）流場的加速度表達(dá)式為：uuuvvvaxu v ,ayuv。txytxy由速度分布，可以計算得到：u0,v0，因此ttum22y2 x2 ，um2xy ；x22 2 2 ， xyy22 x22； yvm2xy ，vm2 x2 yx22 2 2 ， xyy22 x22。 y代入到加速度表達(dá)式中：ax0mxm2y22xmym2xy22x2 y22x22y

5、222x2 y22x22y2m2x22x22 yay0mxm2xymym2x2 y22 x2 y22 x22 y222 x2 y22 x22 y2m2y22 x22 y22 ）由速度分布函數(shù)可以得到：u22 K y xv2Kxyt2 2 2 , xyt2 2 3 xy2Ktx3y223y22Kty3x2232Ktyy 2 3x2x22y22Ktx3y223代入到加速度表達(dá)式中：axK2 y22x22 KtxyKt22xy222Ktyxy22Ky22x22Kt 2xy2ay2xyyx222xy3x22 y223xy22x223xy2222Ktx22x 3 y2 2 3xyKtx2 y2 22xy

6、x2y2 22xyx2 y2 2Kt2KtxKt22yx2 2 2xy2Kty2y2x3x223y2x2x2y3y223yx2 y2 33-4 已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度場分布為x t，v y t ，試求質(zhì)點(diǎn)位移和速度的拉格朗日表達(dá)式。已知 t 0時 x a， y b 。答： （1）流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為：dx udt dy vdt將速度分布帶入，得到：dx x t dt dy y t dt兩個方程除了自變量之外，完全一致，只需要解一個即可。將第一個方程改寫為：dxx dt該方程為一階非齊次常微分方程，非齊次項為 t 。先求齊次方程的通解，齊次方程為：dx dxddxt x，即 dxxdt ；兩端同

7、時積分得到：ln x t C ， x Cet 。2 ）令非齊次方程的特解為：*tx* t C t et ，對其兩端求導(dǎo)得到：dx* tdtC t et C t et ；* dx t將上述 x* t 和 代入到原非齊次方程中，有： dtC t et C t et C t et t 。整理得到：C t t e兩端同時積分：C tt e t dtC1代入到特解中得到：C1 et 1 C1e 。3 ）將初始條件a代入上式，得到：C11，因此：xta1te，同理可得：ytb1te。軌跡方程為：r t x* t i y* t jt 1 (a 1)et it 1 (b 1)et j 。4 ）用拉格朗日法表達(dá)

8、的速度為：vtrtta 1eti b 1etj 。流動圖形：流線方程為xy C ，流線和流動方向如圖中實(shí)線所示；3-5 繪出下列流函數(shù)所表示的流動圖形（標(biāo)明流動方向），計算其速度、加速度，并求勢22 函數(shù)，繪出等勢線。 （1）x y；（2）xy；（3）x y ；（4）x )xy y2 。答： （1）x y流動圖形：流線方程為 x y C ，流線和流動方向如圖中實(shí)線所示；速度： u1， v1，yxv ui vj i j ，流場為均勻流動；加速度： a axi ay j0；求速度勢函數(shù)：由于平均旋轉(zhuǎn)角速度：z1v u 10 0 0 ，因此流場為無旋流場，勢函2xy2數(shù) （x,y） 存在：x,yx,

9、0x,y(x,y) udx vdyudxvdy x y ；0,00,0x,0等勢線：等勢線如圖中虛線所示（與流線垂直）。速度： ux，vy；yxv uivj xi yj ；加速度：uuax u v x 1 y 0 x xy vvay u v x 0 y 1 y xya axi a y j xi yj ；流動圖形：流線方程為x/ y C ，流線和流動方向如圖中實(shí)線所示；求速度勢函數(shù)：由于平均旋轉(zhuǎn)角速度1vu1z0 0 0 ，流場為無旋流場，勢函數(shù)z2xy2( x, y) 存在：x, yx,0x,y1 2 2x y ；2(x, y) udx vdyxdxydy0,00,0x,0等勢線：等勢線如圖中

10、虛線所示（與流線垂直）。3 ) x y速度： uyx2 ， v yx1v ui vj 2 i j ； yy加速度：uux ax u v 4x yy4vv1a y u v 3xyyx1a axi ayj4 i 3 j ；yy求速度勢函數(shù)：vuivj2yi2xj 。加速度uuaxuv4xxyvvayuv4yxyaaxiayj4xi 4yj1vu由于 zz2xy224 ） x y2流動圖形：流線方程為13 y30，流場為有旋流場，勢函數(shù)(x,y) 不存在。x2 y2 C ，流線和流動方向如圖中實(shí)線所示；速度： u2y， vy2x，x1）u y，vx ；（2）u x y ，v x22（3） u x y

11、x，v2xy y 。求之。答： (1) u y ，vx求速度勢函數(shù)：1vu1z1 1 1z2xy2求流函數(shù)：3-6 已知平面不可壓縮流體的速度分布為判斷是否存在勢函數(shù) 和流函數(shù) ，若存在，0 ，為有旋流動，勢函數(shù) (x, y) 不存在。y；則求速度勢函數(shù)：uv由于 0 0 0 ，滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù) (x,y) 存在： xy(x,y)x,yvdx0,0x,0udy0,0xdx(2) u xy ， v xy求速度勢函數(shù)：1vu1z111z2xy2求流函數(shù)：x,y 1 2 2 ydy x y 。0 ，為有旋流動，勢函數(shù) (x,y) 不存在。由于 ux0 ，不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程

12、， 流函數(shù) (x,y) 不存在。3) u x2x，2xy求速度勢函數(shù)：1vz22y2y0 ，為無旋流動，勢函數(shù)(x,y) 存在：(x,y)x,yudx0,0vdyx,02x0,0x dxx,y 112 2xy y dy xx,0 211 x13 12 x2xy112y求流函數(shù)：由于 ux2x2x0 ，滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程，流函數(shù) (x,y)存在：x,yx,0(x,y)vdxudy2xydx0,00,0x,y2xx,022y y dy 2x y xy133y。3-7 已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度分布為 u Ax， vAy ，求流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡。答：由軌跡方程 dx dy dt，并將 u Ax和vA

13、y 代入得到：uvdx Axdt dy aydt或者寫成：dx Adtx dy Adt y兩端同時積分，得到：lnx At C1 lny At C2x，即yC1eAtAtC2e點(diǎn)的流線。3-8 已知流場的速度分布為 u xt ， v y t ，求 t 0 時通過 1,1,1答： 將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程：v w 0 yz得到：因此可知，速度分布與 z 坐標(biāo)無關(guān)，流動為二維流動。由流函數(shù)定義式得到：x,y(x,y)0,0vdxx,0 udy0,0x,yy t dx x tx,0dy y t x x ty。由于流函數(shù)為常數(shù)時C 表示流線，因此流線方程為：C。將將條件：當(dāng) t 0 ，1、 y 1

14、代入上式，得 C2 ；因此該瞬時過1,1,1 的流線方程為：xy 1 0 。2xyt ，求t 1時過 2,1 點(diǎn)的流23-9 已知平面不可壓縮流體的速度分布為 u x2t ， v線及此時處在這一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度和軌跡。答： （1）求流線方程：由于 ux2xt2xt 0 ，流函數(shù)(x,y,t) 存在，且為：x,y(x,y,t)vdx0,0x,0udy 00,0dxx,yx2tdy x2 yt ；x,0則流線方程為：x2yt將條件：當(dāng)1時，2、y1 代入，得 C 4；則該瞬時過將 ( 2,1) 點(diǎn)的流線方程為：2xy4。uuu222xtaxtuvxx2txyvvv2xy2aytuvx2tx

15、y2 )求加速度：將條件： t 1時， x2222xyt 0 x2 1 2xt2222yt 2xyt 2xt 2xy 2x2 yt2y 1 代入，得到該瞬時過將( 2,1) 點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：ax12ay 123 )軌跡方程：2x t2, yt4。3-10 設(shè)不可壓縮流體的速度分布為(1)u ax2by2cz2,v dxy eyz fzx;2)u2ln by22z2 ,v c2 x sin 2 a22z2c。其中a、b、c、d 、e 、f 為常數(shù)，試求第三個速度分布 w 。答： (1)將速度分布代入連續(xù)方程：uvxy0，得到：d 2a x ，wezz兩端同時積分得到：w x,y,z 1e

16、z2 d 2a xz2C1 x,y 。2 ）將速度分布代入連續(xù)方程：vw0，yz由于：0；因此：兩端同時積分得到：w x,y,zC2x,y 。3-11 有一擴(kuò)大渠道，已知兩壁面交角為1 弧度，在兩壁面相交處有一小縫， 通過此縫隙流出的體積流量為1 t （m/s ），試求（ 1 ）速度分布；（ 2） t 0時壁面上 r 2處2的速度和加速度。答： （1）求速度分布：設(shè)半徑為 r 處的徑向速度為 vr ，周向速度為 v 。顯然 v 0 ，且 vr S Q ；其中：vrr11S 1 r 1 r ，因此徑向速度分布為：t；2 ）求加速度：arvr vr vrt r r113）當(dāng) t 0時，在 r 2

17、處：vr 1 1 0r 2 211，a4 ，ar212317。323-12 已知不可壓縮平面勢流的分速度為23ax23ay2, 0,0 點(diǎn)上 u v 0 ，試求通過0,0 及 0,1 兩點(diǎn)連線的體積流量。答： （1）求速度分布：由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程得到：u 6ax ，x兩端同時對y 積分：v 6axy C(x) ；將條件：在 （0,0） 點(diǎn) v 0代入上式，得到：C(x) 0 ， 因此：v 6axy 。流動的速度分布為：u 3ax 23ay2，v6axy 。(x,y,t)x,yvdx0,0x,0udy 00,0dxx,y3ax2 3ay 2 dy 3ax2y ay 3。 x,03-13

18、 設(shè)流場的速度分布為u ax,v ay,w 2az ，其中 a為常數(shù)。 （ 1 ）求線變形速率，角變形速率，體積膨脹率；2）問該流場是否為無旋場？若是無旋場求出速度勢。答： （1）線形變速率為：uxx a ，xyya，zz2a；角形變速率為：xy1v2x0，yz0，zxw0；x體積膨脹率為：xx yy zz aa 2a0。2 ）求速度勢：由于平均角速度的三個分量分別為：1xx2wv0，yz0，因此：xiy jzk 0即流場為無旋流場，速度勢函數(shù)存在，且為：3-14xy(x,y,z) udx vdy00wdz 1ax2021ay22az 。設(shè)流場的速度分布為 uy 2z,v z 2x,w x2y

19、 。試求（ 1）渦量及渦線方程；x y z 1 平面上通過橫截面積 dA 1mm 2 的渦通量。答：1）求渦量和渦線方程：流場的平均旋轉(zhuǎn)角速度 的三個分量分別為：1 wv1 1x 12 wyvz21 2 1 21 ，1 u w1 2 121，y 2 z x2，1 v u1 2 121z 2 x y。2因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為：12 i j k ；則渦量為：2 i jk其三個分量分別為：x i ， y j， z k ；將其代入到渦線方程：dx dydz ，得到：xyzdx dzdy dz兩端同時積分得到渦線方程：x z C1y z C22 ）渦通量：將渦量在 S 上積分，得到渦通量為：JndSxiy

20、 jyknxi ny j nzk dSSSxnxy nyynz dSS其中： nnxi ny j nzk ，為平面 xyz 1 的單位外法向量。設(shè) F x, y, z x y z 1，則：F1，1 ；zS平面外法向量 n 在三個坐標(biāo)軸上的分量為：nx1111nynzFyF11111因此：3-15別為x nxS3 dS 3ynydAynz dS已知流場的流線為同心圓族，速度分布為：5y2x，v5x2x2 。試求沿圓周 y1）3，R 5 ，和 （3 ）5時，3 dS315y ，v 15x；r 5時，552R2的速度環(huán)量，其中圓的半徑R 分10。答：（ 1）極坐標(biāo)下的速度分布：在半徑為 r的圓周上，

21、 vr 0，vu2 v2 ；當(dāng) r 5 時：11uysinr，5511vxcosr，552221222vuvsincos r5r5；當(dāng) r 5 時：5y22xy5sin r22 sin r cos r5sin5x22xy5cos r 5cos22sin r cos ru2 v25sin5cos2 ）求速度環(huán)量：速度環(huán)量dl 。其中 vvr er， dldrrder，e分別為 r 和 方向上的單位向量。因此：vrCdr errdv rdCrd 。3時：rv，52r05rd22r5185 時：rv，52r05rd22r51010時：5v，r250rrd10 。3-16設(shè)在1,0點(diǎn)置有0 的旋渦，1

22、,0點(diǎn)置有0 的旋渦，試求下列路線的速度環(huán)量：1)x4 ，（ 2 ）(x1)2y2 1，(3) x2,y2的一個方形框，0.5,y0.5 的一個方形框。答： （1）00第四章 流體動力學(xué)基本定理及其應(yīng)用4-1 歐拉運(yùn)動微分方程和伯努利方程的前提條件是什么，其中每一項代表什么意義？遷移答： （1）歐拉運(yùn)動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用，其矢量表達(dá)式為：其物理意義為： 從左至右， 方程每一項分別表示單位質(zhì)量理想流體的局部慣性力、 慣性力、質(zhì)量力和壓力表面力。2 ）伯努利方程的應(yīng)用前提條件是：理想流體的定常運(yùn)動，質(zhì)量力有勢，正壓流體，沿流線積分。單位質(zhì)量理想流體的伯努利方程的表達(dá)式為：

23、gz C ，從左至右方程每項分別表示單位質(zhì)量理想流體的動能、 壓力能和位能， 方程右端常數(shù)稱流線常數(shù)， 因此方 程表示沿流線流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。34-2 設(shè)進(jìn)入汽化器的空氣體積流量為 Q 0.15m3 /s ，進(jìn)氣管最狹窄斷面直徑 D=40mm ， 噴油嘴直徑 d=10mm 。試確定汽化器的真空度。又若噴油嘴內(nèi)徑 d=6mm ，汽油液面距 噴油嘴高度為 50cm ，試計算噴油量。汽油的重度 7355N /m3 。答：（1）求 A 點(diǎn)處空氣的速度：設(shè)進(jìn)氣管最狹窄處的空氣速度為 v1 ，壓力為 p1，則根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到：1 2 2D2 d 2 v1 Q，414Q因此： v12 2 。D

24、d（2 ）求真空度 pv選一條流線，流線上一點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 F，一點(diǎn)為 A 點(diǎn)；并且：在 F 點(diǎn)： pF p0 ， vF 0 ；在 A 點(diǎn)： pA p1 ?， vA v1 。將以上述條件代入到伯努利方程中，可以得到：p0 0p12 v1 2g因此真空度為：pvp0p1122 v14Q22 D 2 d21D 2 d2 2若取空氣的密度為1.226 kg /3m3 ，那么計算得到：pv8 1.2260.1523.1420.042 10.012 2 9.95103Pa 。3 ）求噴油量：設(shè)噴油嘴處汽油的速度為v2 ，并設(shè)空氣的密度為1，重度為 1，汽油的重度為 2 。選一條流線，流線上一點(diǎn)為上述的 A

25、 點(diǎn)，在 A 點(diǎn)：pAp1 p0122v12，在 B 點(diǎn)：pBp0 ， vB0，zB代入到伯努利方程中，可以得到：1122v2hp0p0v12g2212整理得到：另一點(diǎn)為汽油液面上的 B 點(diǎn)；并且：vA v2 ? ， zA h 50cm 0.5m ；0；0 0 ；22v221 v12 2gh ；2因此汽油噴出速度為：v21 v12 2gh ；212N/m3； v142Q 2 ，并注意到噴油嘴的D 2 d 2其中空氣重度 1 1g 1.226 9.81直徑是 6mm ，而不是原來的 10mm ，則計算得到：v221.226 9.81 16 0.1527355 3.142 0.042 0.0062

26、2 9.81 0.524.366 9.813.817m / s因此汽油流量為：d 2v21 2 4 3 3Q23.14 0.006 ）求 S1上的壓力 p1： 3.817 1.079 10 4m已知 S2上的壓力 p2 1 個工程大氣壓 0.981 105 Pa； /s 107.9cm3 / s 。 44-3 如圖所示， 水流流入 U形彎管的體積流量 Q=0.01m 3/s ，彎管截面由 S1 =50cm 2減小到 S2 =10cm 2，流速 v1和 v 2 均勻，若 S2 截面上的壓力為一個工程大氣壓，求水流對彎管的作用力及作用點(diǎn)的位置。1000kg /m3 。答：（ 1）求截面 S1和 S

27、2上的流速 v1和v2 ：由連續(xù)方程可知：2m/s，Q 0.01m3 /s S1 50 10 4 m2v2S20.01m3 /s10 10 4 m210m/s；2 p1 v1p22v22g2g得到：p1 p21v12 v22 0.981 1052由伯努利方程：3 ）求水流對彎管的作用力 P：1 1000 100 4 1.461 105 Pa 。2由動量定理可以得到：P-P1 -P22v1 S12v2S2其中 P1和 P2分別為在 S1和S2上，外界對水流的作用力；在此需要注意到，對于整個彎管，大氣壓力對其的作用力合力為 0 。因此：S1 截面上作用力為：P1 p1 p0 S1 1.164 105 0.981 105 50 10 4 240N ，S2 截面上作用力為：P2 p2 p0 S2 0 。因此：P P1v12S1 v22S2 240 103