書人教育季五年級期中補充復習題及答案

1、書人教育2013春季五年級期中補充復習題及答案1.一個兩位數(shù)分別除以7、8、9,所得余數(shù)的和為20.問:這個兩位數(shù)是多少?解:因為余數(shù)比除數(shù)小,所以除以7所得余數(shù)可能是1、2、3、4、5、6;除以8所得余數(shù)可能是1、2、3、4、5、6、7;除以9所得余數(shù)可能是1、2、3、4、5、6、7、8;又因為余數(shù)的和是20,所以余數(shù)可能是:(1)5、7、8;(2)6、6、8;(3)6、7、7;即這個兩位數(shù)除以7、8、9的余數(shù)有3種情況:(1)除以7余5,除以8余7,除以9余8,即加1是8、9的倍數(shù),即89=72,72-1=71,但除以7余1,71不符合題意;(2)除以7余6,除以8余6,除以9余8,即加1

2、是7、9的倍數(shù),即79=63,63-1=62,除以8余6,62符合題意;(3)除以7余6,除以8余7,除以9余7,即加1是7、8的倍數(shù),即78=56,56-1=55,但除以9余1,所以55不符合題意.答:這個數(shù)是62.2.整數(shù)1111被6除余數(shù)是多少? 2004個1解:11(mod6),115(mod6),1113(mod6),11111(mod6),111115(mod6)可以組成余數(shù)數(shù)列為1、5、3.200430,所以余數(shù)為3.3.在1、2、3、50這50個自然數(shù)中,最多能取出多少個數(shù),使取出的這些數(shù)中,任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù).解:把這些數(shù)分為7組:余1:1、8、15、22、2

3、9、36、43、50;余2:2、9、16、23、30、37、44;余3:3、10、17、24、31、38、45;余4:4、11、18、25、32、39、46;余5:5、12、19、26、33、40、47;余6:6、13、20、27、34、41、48;余7:7、14、21、28、35、42、49.發(fā)現(xiàn)這幾組數(shù)的特點:和中兩數(shù)之和是7的倍數(shù),和中兩數(shù)之和是7的倍數(shù),和中兩數(shù)之和是7的倍數(shù);考慮極端情況:將前3組數(shù)全部取完,和第7組一個數(shù),共8+7+7+1=23個，（后面三組與第7組一個數(shù)共7+7+7+1=22個），這23個(22個)數(shù)中任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)若再多到一個，則這一個數(shù)必然

4、與前四組中某一個數(shù)的和是7的倍數(shù).根據(jù)題干分析可得:最多為8+7+7+1=23(個).答:最多能取出23個數(shù),使取出的數(shù)中,任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù).4.兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1，并且ab,求abba.解:ab-ba能被7整除，即(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)能被7整除所以只能有ab=7,那么ab可能為92和81，驗算可得,當ab=92時,ba=29滿足題目要求,abba=9229=2668.5.將6個自然數(shù)放在一個圓周上,使得任意相鄰的五個數(shù)中有三個的和等于另兩個數(shù)的和的兩倍.問這6個數(shù)除以3的余數(shù)分別為多少?解:設(shè)這6個數(shù)按逆時針方向排列在圓周上分別記為:經(jīng)

5、x1、x2、x3、x4、x5、x6,則由題目意得,0x1+x2+x3+x4+x5x2+x3+x4+x5+x6(mod3),從而有x1x6(mod3).同理進一步推出x1xi+5(mod3),從而有x1x2x3x4x5x6(mod3).進而有: 0x1+x2+x3+x4+x55x1(mod3),即x10(mod3),故x1x2x3x4x5x60(mod3).答:余數(shù)全都是0.6.號碼分別為101、126、173、193的四名運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的場數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球場數(shù)最多的運動員打了多少場?解:101+126=227,2272(mod3),101+173

6、=274,2741(mod3),101+193=294,2940(mod3),2+1+0=4(場);2272(mod3),126+173=299,2992(mod3),126+193=319,3191(mod3),2+2+1=5(場);2741(mod3),2992(mod3),173+193=366,3660(mod3),1+2+0=3(場);2940(mod3),3191(mod3),3660(mod3),0+1+0=1(場).答:那么打球盤數(shù)最多的運動員打了5盤. 7.甲、乙兩個代表團乘車去參觀,每輛車可乘36人.兩代表團坐滿若干輛車后,甲代表團余下的11人與乙代表團余下的成員正好又坐滿

7、一輛車.參觀完,甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念.如果每個膠卷可拍36張照片,那么拍完最后一張照片后,相機里的膠卷還可以拍幾張照片? 解:甲代表團坐滿若干輛車后余11人,說明甲代表團的人數(shù)(簡稱甲數(shù))除以36余11;兩代表團余下的人正好坐滿一輛車,說明乙代表團余36-11=25(人),即乙代表團的人數(shù)(簡稱乙數(shù))除以36余25;甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片,共要拍“甲數(shù)乙數(shù)”張照片,因為每個膠卷拍36張,所以最后一個膠卷拍的張數(shù),等于“甲數(shù)乙數(shù)”除以36的余數(shù).因為甲數(shù)除以36余11,乙數(shù)除以36余25,所以“甲數(shù)乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于11

8、25除以36的余數(shù).(1125)36=723,即最后一個膠卷拍了23張,還可拍36-23=13(張).8.一個自然數(shù)被8除余1,所得商被8除也余1,再把第二次所得商除以8后余7,最后商為a.又這個數(shù)被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到的商是a的2倍,求這個數(shù). 解:根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù),由(1)式得所求的自然數(shù)為:88(8a+7)+1+1;由(2)式得所求的自然數(shù)為:17(2a17+15)+4.由以上可得方程:88(8a+7)+1+1=17(2a17+15)+4,8(64a+57)+1=17(34a+15)+4,512a+457=578a+259,66a=198,a=3;把a=3

9、代入88(8a+7)+1+1得: 88(8a+7)+1+1= 512a+457= 512 3 +457=1993.9.把1到2002這2002個自然數(shù)依次寫下來,得到一個多位數(shù)123456789101120012002,試求這一多位數(shù)除以9的余數(shù).解:第一種方法:9的倍數(shù)特點是:所有數(shù)位之和能被9整除.19 九個數(shù)之和與數(shù)位之和相等1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,459=5,余數(shù)為0;119這19個數(shù)之和為(1+19)192=190,190/9=211,數(shù)位之和(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2+110=100,100/9=111 余數(shù)為1;129這29個數(shù)之和為(1+29)2

10、92=435,4359=483,數(shù)位之和(1+2+3+4+5+6+7+8+9)3+(1+2)10=165,1659=183余數(shù)為3,199這99個數(shù)之和(1+99)992=4950,49509=550,數(shù)位之和(1+2+3+4+5+6+7+8+9)10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)10=45102=900, 9009=100余數(shù)為0;100109這109個數(shù)之和(1+109)1092=5995,5995/9=6661,數(shù)位之和900+45+110=955,9559=1061,余數(shù)為1多位數(shù)可以表示成例如:a100+b10+c=a99+b9+(a+b+c),前半部分顯然可以被9整除,所

11、以多位數(shù)除9的余數(shù)=(a+b+c)9 的余數(shù),所以1+2+3+4+2002=(1+2002)20022=2005003,2005003除以9的余數(shù)為1,故余數(shù)為1.第二種方法:跟除以3類似,連續(xù)9個自然數(shù)之和是9的倍數(shù),所以20029=2224,所以是(2002+2001+2000+1999)9=8891.10.用1到9九個數(shù)組成三個三位數(shù),使其中最大的三位數(shù)被3除余2,并且還盡可能的小,次大的三位數(shù)被3除余1,最小的三位數(shù)能被3整除,那么最大的三位數(shù)是多少?解:根據(jù)其最大三位數(shù)盡可能小的條件,它們百位上的數(shù)字應(yīng)分別選用3、2、1;個位上的數(shù)字應(yīng)分別選用7、8、9.又根據(jù)最小的三位數(shù)是3的倍數(shù)

12、,考慮在19中應(yīng)填5,得159.則在37,28中被3除余2、余1,選用4、6,分別填入圓圈中得347、268均符合條件.這樣,最大三位數(shù)是347,次大三位數(shù)是268,最小三位數(shù)是159.故答案為:347.11.2001個球平均分給若干個人,恰好分完.若有一人不參加分球,則每人可以多分2個,而且球還有剩余;若每人多分3個,則球的個數(shù)不足.問原來每人平均分到多少個球?解:2001=32329(分解質(zhì)因數(shù))=3667(不符合題意,舍去)=2387(不符合題意,舍去)=2969(符合題意),答案為原來有29人,每人分69個.12.555599997的余數(shù)是多少? 56個 56個解:55(mod7),5

13、56(mod7),5552(mod7),55554(mod7),555553(mod7),5555550(mod7)組成5、6、2、4、3、0數(shù)列,5662,即余數(shù)為6;92(mod7),991(mod7),9995(mod7),99993(mod7),999994(mod7),9999990(mod7)組成2、1、5、3、4、0數(shù)列,5662,即余數(shù)為1.故余數(shù)為:61=6.13.已知n是正整數(shù),規(guī)定n!=12n,令m=1!1+2!2+3!3+2007!2007,則整數(shù)m除以2008的余數(shù)為多少?解:m=1!1+2!2+3!3+2007!2007=1!(2-1)+2!(3-1)+3!(4-1

14、)+2007!(2008-1)=2!-1!+3!-2!+4!-3!+2008!-2007!=2008!-1.2008能夠整除2008!,所以2008!-1除以2008的余數(shù)是2007.14.口袋里裝有99張小紙片,上面分別寫著199.從袋中任意摸出若干張小紙片,然后算出這些紙片上各數(shù)的和,再將這個和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中.經(jīng)過若干次這樣的操作后,袋中還剩下一張紙片,這張紙片上的數(shù)是多少?解:每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù),所以最后一張紙片上的數(shù)等于199的和除以100的余數(shù). (1+2+99)=(1+99)1002=4950,4950100=4950,所以這張紙片上

15、的數(shù)是50. 答本題的關(guān)鍵熟練掌握余數(shù)的性質(zhì),或者可以考慮,任意摸出若干張、恰巧把99張全部摸出,總和為4950,后兩位數(shù)為50.15.小明往一個大池里扔石子,第一次扔1個石子,第二次扔2個石子,第三次扔3個石子,第四次扔4個石子,他準備扔到大池的石子總數(shù)被106除,余數(shù)是0止,那么小明應(yīng)扔多少次?解:設(shè)小明應(yīng)扔n次,根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為:1+2+3+n=(1+n)n2,依題意知,(1+n)n2能被106整除,因此可設(shè)(1+n)n2=106a,即n(1+n)=212a,又因為212a=2253a,根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù),可知22a=52(或54).當22a=52時,a=1

16、3;當22a=54時,a=13.5(a不是整數(shù),不符合題意舍去).因此,n(n+1)=5253=52(52+1),所以n=52,小明應(yīng)扔52次.16.三個連續(xù)的兩位數(shù)除以5的余數(shù)之和是7,除以7的余數(shù)之和是9,除以9的余數(shù)之和是15,則這三個數(shù)除以11的余數(shù)之和是多少?解:三個連續(xù)的兩位數(shù)除以5的余數(shù)之和是7,那么只可能是3+4+0=7,所以第一個數(shù)被5除余3;同樣方法可以得出第一個兩位數(shù)除以7余2(2+3+4=9),除以9余4(4+5+6=15)或者7(7+8+0=15).如果第一個兩位數(shù)除以9余4(補5),那么由于它除以7余2(補5),所以它只能是795=58(兩位數(shù)),滿足除以5余3的要

17、求.這時三個數(shù)(58、59、60)除以11的余數(shù)依次是3、4和5,和是12.如果第一個兩位數(shù)除以9余7（補2）,那么由于它除以5余3（補2）,所以它只能是592=43(兩位數(shù))或者592(倍數(shù))2=88(滿足兩位數(shù)),但是它們都不滿足除以7余2的要求因此題目所求的余數(shù)之和是12.17.一個千位數(shù)字是1的四位數(shù),當它分別被4個不同的素數(shù)相除時,余數(shù)是1,滿足這些條件的最大的偶數(shù)是多少?解:由于題目要求的是偶數(shù),因此能夠整除四個不同的質(zhì)數(shù)的只能是奇數(shù),因此可以排除這四個質(zhì)數(shù)中偶數(shù)的存在,最小的3位質(zhì)數(shù)是3、5、7,而由于要求的四位數(shù)的千位是1,因此可以判定最大的質(zhì)數(shù)不超過19,因為23的時候,35

18、7232000;因此選擇在3、5、7、11、13、17、19，這幾個質(zhì)數(shù)當中,根據(jù)題目的條件,進行計算:不妨先用3、5、7、19試試,發(fā)現(xiàn)35719=1995,而5711135000;因此必然質(zhì)數(shù)中有3;而比1995大且小于2000的奇數(shù)只有1997、1999;兩者都不能被3整除,最大的只能1995這個奇數(shù),偶數(shù)就是1996.18.2013年的每一天,按年月日編號,都可以組成一個8位數(shù),如2013年2月23號可以組成8位數(shù):20130223;2013年10月1日可以組成8位數(shù):20131001,如果有8位數(shù)除以8余7,我們稱這一天是”好日子”,請問2013年有多少天是”好日子”?解:關(guān)鍵看末3

19、位組成的數(shù),如果它除以8余7,那么這個8位數(shù)除以8也余7.1月:103、111、119、127;2月:207、215、223;3月:303、311、319、327;4月:407、415、423;5月:503、511、519、5271月4天、2月3天、3月4天、4月3天、5月4天、6月3天、7月4天、8月4天、9月4天、10月4、天11月4天、12月4天.一共有:94+33=45個.19.某學生在計算有余數(shù)的除法時,把被除數(shù)182錯寫成128,結(jié)果商比原來少6,恰好余數(shù)相同,那么該題的除數(shù)是多少?解:先求出后一個被除數(shù)比前一個被除數(shù)多的差,再用這個差除以商增加的6,就是除數(shù),再用原來的被除數(shù)除以

20、這個除數(shù)就可以得到原來商和余數(shù).(182-128)6=546=9,1289=142,1829=202.答:那么該題的除數(shù)是9.20.寫出5個大于零的不同自然數(shù),使其中的任意三個自然數(shù)的和能被3整除,這5個自然數(shù)的和最小是多少?解:假設(shè)這5個數(shù)為:a、b、c、d、e,a和b兩數(shù)的和是一定的,如果(a、b、c)、(a、b、d)、(a、b、e)每組三個數(shù)的和都能被3整除,則c、d、e這3個數(shù)被3除余數(shù)一定相同.依次類推,可以推出,要使這5個數(shù)其中的任意三個自然數(shù)的和能被3整除,這5個數(shù)被3除的余數(shù)都要相同.5個大于零的不同自然數(shù),最小的一個數(shù)最小是1,除以3余1,其它4個數(shù)最小是:4、7、10、13

21、.這5個自然數(shù)的和最小是:1471013=35.21.求2013100的個位數(shù)字是多少?解:20131003100(mod10),又因為3n除以10的余數(shù)是以3、9、7、1為一個循環(huán)周期的,10040,所以個位數(shù)字是1.22.有三個吉利數(shù)字888、518、666,用它們分別除以同一個自然數(shù),所得到的余數(shù)依次為a、a+7、a+10,則這個自然數(shù)為多少?解:518-7=511,666-10=656;888、511、656除以這個數(shù),余數(shù)相同;888-511=377,888-656=232,這個數(shù)為377與232的公因數(shù),且大于10,因為377=1329,232=829,所以這個自然數(shù)為29;答:這

22、個自然數(shù)是29.23.一個大于10的自然數(shù)去除90、164后得到的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù),則這個自然數(shù)是多少?解:設(shè)這個大于10的自然數(shù)為n.根據(jù)同余的性質(zhì)定理(二),兩數(shù)和的余數(shù)等于余數(shù)的和,用n去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于用n去除220所得的余數(shù),而90164254.254和220除以n所得的余數(shù)相同,于是254-220=34是n的倍數(shù)，n是34的約數(shù).34的約數(shù)有1、2、17、34,因為n是大于10的自然數(shù),所以n只能是17或34.當n34時,9022(mod34);16428(mod34);22016(mod34).222816,所以,n34.當n

23、17時,905(mod17);16411(mod17),22016(mod17),51116,所以,n17.符合要求的自然數(shù)是17.24.求22426282102122-1232527292112除以13的余數(shù).解:121221(mod13),221122(mod13),321029(mod13),42923(mod13),528212(mod 13),627210(mod13),所以22426282102122-12325272921120(mod13),即余數(shù)為0.25.有一列數(shù),第一個數(shù)是1,第二個數(shù)是3,從第三個數(shù)開始,每個數(shù)都是其前面兩個數(shù)的和的個位數(shù);1、3、4、7、1、8、9、7

24、、6,在這列數(shù)中,取連續(xù)2013個,使得這2013個數(shù)的和最大,那么這個最大的和是多少?解:原式1、3、4、7、1、8、9、7、6、3、9、2、1、3,組成一個1、3、4、7、1、8、9、7、6、3、9、2的數(shù)列,201312=1679,也就是怎樣從以上數(shù)列里連續(xù)取出9個,使其和最大, 經(jīng)觀察4、7、1、8、9、7、6、3、9為最大,所以其最大的和是:(1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2)167+(4+7+1+8+9+7+6+3+9)=6016 7 +54=10074.26.若今天是星期日,再過2013201320132013天是星期幾? 2013個2013解:20134(mod7

25、),201320136(mod7),2013201320130(mod7),20133=6710, 20132013201320130(mod7),因此是星期日.2013個201327.已知2001年的國慶節(jié)是星期一,求2013年的國慶節(jié)是星期幾?解:因為閏年是366天,平年是365天.所以(92+365+365+366+365+365+365+366+ 365+365+ 365+366+273)7的余數(shù)是1.所以2013年的國慶節(jié)是星期二.28.有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù),積的后四位是1031,第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10,第三個數(shù)的各個數(shù)字之和是8,求兩個三位數(shù)的和.解:本題條件僅

26、給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和,同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出,即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出,我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù).因為這是一個一定正確的算式,所以一定可以滿足棄九法的條件,兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8,所以等式一邊除以9的余數(shù)為8,那么1031除以9的余數(shù)也必須為8,只能是3.將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個三位數(shù)的乘積, 即31031=311001=143217 所以兩個三位數(shù)是143和217,那么兩個三位數(shù)的和是360.29.a除以5余1,b除以5余4,如果3ab,那么3a-b除以5余幾?解:a除以5余1,則3a除以5余3(兩個數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)

27、的積同余),b除以5余4,則3a-b除以5余-1(兩個數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余).因為余數(shù)大于0而小于除數(shù),-1+5=4,故所求余數(shù)為4.30.算式13572013的計算結(jié)果中,末兩位數(shù)字是多少?解:顯然13572013這些數(shù)的乘積必然是25的倍數(shù),因為它包含25.同時由于其中沒有偶數(shù),因此末兩位只有25或75兩種可能.又由一個數(shù)除以4的余數(shù)等于它的末兩位數(shù)字除以4的余數(shù).而1、3、5、7除以4的余數(shù)分別是1、3、1、3,所以13572013除以4的余數(shù)是3.(一共有1007個數(shù),每4個數(shù)的乘積除以4的余數(shù)剛好為1,10074=2513,也就是還多三個數(shù):1、3、1),而2541,7543,所

28、以末兩位數(shù)字是75.31.1+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余數(shù)是多少?解:在上式的加項中,336699顯然可以被3整除,因此只須計算1+22+44+55+77+88被3除以的余數(shù).由于471(mod3),582(mod3),因此44141(mod3),77171(mod3),5525(mod3),8828(mod3),因此可知,只須計算1+22+1+25+1+28被3除以的余數(shù),它又等于22(1+23+26) 被3除以的余數(shù),由于221(mod3),所以22(1+23+26)1(1+2+1)1(mod3),余數(shù)為1.32.有一串數(shù):1、1、2、3、5、8,從第三個數(shù)起

29、,每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和,在這串數(shù)的前2009個數(shù)中,有幾個是5的倍數(shù)?解:設(shè)這串數(shù)中任一個數(shù)為a,它的前兩個數(shù)為b和c,則a=b+c.于是a除以5的余數(shù)等于(b+c）除以5的余數(shù).再設(shè)b=5m+r1,c=5n+r2,所以a=(5m+r1)+(5n+r2)=5(m+n)+(r1+r2)由此可知,a除以5的余數(shù)等于(r1+r2)除以5的余數(shù),即等于前兩個數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù).所以這串數(shù)除以5的余數(shù)分別為:1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0可以發(fā)現(xiàn),這串余數(shù)中,每20個數(shù)為一個循環(huán),且一個循環(huán)中,每5個數(shù)中第五個數(shù)是5的倍

30、數(shù),20095=4014,所以前2009個數(shù)中,有401個是5的倍數(shù).33.已知2008被一些自然數(shù)去除,得到的余數(shù)都是10.那么這些自然數(shù)共有多少個?解:余10,說明2008-10=1998都能被這些數(shù)整除.同時,1998=233337,所以,取1個數(shù)有37、2、3-3個;只取2個數(shù)乘積有337、237、33、23.-4個;只取3個數(shù)乘積有3337、2337、333、233.-4個;只取4個數(shù)乘積有33337、23337、2333.-3個;只取5個數(shù)乘積有233337-1個;總共3+4+4+3+1=15,但根據(jù)余數(shù)小于除數(shù)的原理,余數(shù)為10,因此所有能除2008且余10的數(shù),都應(yīng)大于10,所

31、以2、3、33、23被排除.綜上所述,總共有3+4+4+3+1-4=11.34.將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)一次寫成一個多位數(shù):1357911139799101103,求(1)這個數(shù)共有多少位?(2)這個數(shù)除以9的余數(shù)是多少?解:一位的奇數(shù)有5個,兩位的奇數(shù)有45個,再加兩個三位奇數(shù),所以a是一個5+245+32=101（位）數(shù)。.從1開始的連續(xù)奇數(shù)被9除的余數(shù)依次為1、3、5、7、0、2、4、6、8、1、3、5、7、0、2、4、6、8,從1開始,每周期為9個數(shù)1、3、5、7、0、2、4、6、8的循環(huán).因為（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余數(shù)為0,從1-89恰為5個周期,剩余91

32、、93、95、97、99、101、103這7個數(shù),所以這個101位數(shù)a被9除的余數(shù)為1+3+5+7+0+2+4被9除的余數(shù),等于4.解法2:一個自然數(shù)被9除的余數(shù)和這個自然數(shù)所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)相同,利用這條性質(zhì),a=135791113151719219799101103中13579的數(shù)字和被9除的余數(shù)是7,而1113151 719219799所有數(shù)字之和被9除的余數(shù)是0,101103的數(shù)字和被9除的余數(shù)是6.所以,a被9除的余數(shù)是(7+6)被9除的余數(shù),是4.35.托瑪想了一個正整數(shù),并且求出了它分別除以3、6和9的余數(shù).現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15.試求該數(shù)除以18的余數(shù).解:除以3,那么可

33、能的余數(shù)為1、2;除以6，可能的余數(shù)為1、2、3、4、5;除以9，可能的余數(shù)為1、2、3、4、5、6、7、8;顯然只有當余數(shù)都取最大值，即2、5、8時,和才能為15. 3、6和9的最小公倍數(shù)是18,那么除以18取余數(shù)18-1=17.答:該數(shù)被18除的余數(shù)是17.36.求763511735267的余數(shù).(不直接除)解:76351173526=70000000000+6300000000+5117352651100026+70000+350049000000+21000262100 000+26265(mod7).37.把17、23、25、31、46、53、58、66、72、88、94、100十二

34、個數(shù)填入圖中,使任意三個相鄰的數(shù)相加的和除以7的余數(shù)相等.解:通過計算可知,可將題目中的數(shù)據(jù)除以7所得余數(shù)的不同分為三組:余數(shù)為2的:23、58、72、100;余數(shù)為3的:17、31、66、94;余數(shù)為4的:25、46、53、88;由此可知,23+17+25、58+31+46同余,余數(shù)為(3+2+4)7的余數(shù),即為2.所以,其排列為:23、17、25、58、31、46、72、66、53、100、94、88.38.三個不同的自然數(shù)的和為2001,它們分別除以19、23、31所得的余數(shù)也相同,這三個數(shù)分別是幾?解:設(shè)商為m,余數(shù)為n,則19m+n+23m+n+31m+n=2001,即73m+3n=

35、2001.又因為m、n為自然數(shù),且n19.200173=m3 n,所以m=27, n=10.所以這三個自然數(shù)為:523、631、847.39.在大于100的整數(shù)中,所有被17除,商與余數(shù)相等的數(shù)的和是多少?解:被17除后商與余數(shù)相等的數(shù)一定是18的倍數(shù).因為余數(shù)必小于17,所以這些數(shù)最大的是18的16倍,依次為18的15倍最小的為18的6倍(108大于100).和=(6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)18=2178.40.求1111+21111+31111+11111111的和除以7所得的余數(shù)是幾?解:原式=1111(1+2+3+1111)=11112556523435

36、(mod7),所以最后得到的余數(shù)為5.41.將自然數(shù)140從左至右一次排列成一個71位數(shù),求這個數(shù)除以11的余數(shù)?解:這個71位數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字,前5位依次是1、3、5、7、9,以后有三組0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,最后一位是0,其和是;(1+3+5+7+9)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)3=160;偶數(shù)位上的數(shù)字前4位是2、4、6、8,以后有10個1、10個2、10個3,最后一位是4,其和是:(2+4+6+8)+101+102+103+4=84,所以除以11的余數(shù)是(160-84)1110.42.21能整除22006+17嗎?解:如果3和7能整除22006+17,

37、21就能整除22006+17,因為22006221(mod3),17被3除余數(shù)是2,所以3能整除22006+17.又因為22006224(mod7)7-1=6,200662, 2200622,運用費爾馬小定理(2),17被7除的余數(shù)是3,所以7能整除22006+17,因此21能整除22006+17.43.求所有的質(zhì)數(shù)p,使得p|(25+5p).解:由費爾馬小定理(1)可知:ap-11(modp)能轉(zhuǎn)換成apa(modp).5p-11(modp)可轉(zhuǎn)換成5p5(modp),即p|(5p-5),而p|(25+5p),從而有p|(25+5p)-(5p-5),即p|30,經(jīng)檢驗p=2、3、5適合題意.

38、44.11+22+33+44+20122012除以10的余數(shù)為多少?解:由于11+22+33+44+2020除以10余數(shù)分別是1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94,94104,余數(shù)為4.(201220=10012)原式中每20個數(shù)一組,余數(shù)為4,分成100組后,這100組和的余數(shù)為0,所以原式等同于11+22+33+44+1212除以10的余數(shù)是:1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6=54,54104,余數(shù)為4.45.在1-2013的自然數(shù)中,有多少個整數(shù)x使2x和5x被7除余數(shù)相同?解:212(mod7),224(mod7),231(

39、mod7),242(mod7)515(mod7),524(mod7),536(mod7),542 (mod7)可得出,當x=2n時,2x和5x被7除余數(shù)相同;當x=2n-1時,2x和5x被7除余數(shù)不相同.可見x=2 n,2013=2n,n=1006,共有1006個偶數(shù),使2x和5x被7除余數(shù)相同.46.求473727的個位數(shù)字是多少?解:47372773727(mod10),因為7n的個位數(shù)字為7、9、3、1,這4個數(shù)為一個周期循環(huán),又因為37271271(mod4),所以473727737277(mod10),即個位數(shù)字為7.47.222222333333555555除以8的余數(shù)? 2000

40、個 2001個 2002個解: 2222223333335555552222223333335551000+5555553(mod8). 2000個 2001個 2002個 2000個 2001個 1999個48.12011+22011+32011+20102011除以2011的余數(shù).解:2011是素數(shù),應(yīng)用費爾馬小定理:120111(mod2011)、220112(mod2011)、320113(mod2011)201020112010(mod2011).所以12011+22011+32011+201020111+2+3+2010(1+2010)201020(mod2011).49.若p為質(zhì)

41、數(shù),且p7,則111 (modp). p-1個解:因為10p-11(modp),所以10p-1-10(modp),而10p-1-1=999=9111,顯然9不能被p整除,因111 p-1個 p-1個 p-1個能被p整除,1110(modp). p-1個50.求123123123123除以11的余數(shù). 122個123解:123123123123=12310010011001,因為11|10010011001,所以余數(shù)是0. 122個123 122個151.求121+222+323+202822028除以5的余數(shù).解:212(mod5),224(mod5),233(mod5),241(mod5)1

42、21(mod5),241(mod5),331(mod5),411(mod5), 520(mod5)20283(mod5).121+222+323+202822028(1+1+1+1+0)405+1+1+10+1+1+13(mod5).52.n是一個小于3000的四位數(shù),將它除以11所得的余數(shù)為5、除以13所得的余數(shù)為6、除以17所得的余數(shù)為8，求n的值。解:可以知道2n+1能分別被11、13、17整除,11,13,17=2431,所以2n+1=2431,4862,7293,相應(yīng)的n=1215,不存在,3634,又因為n是一個小于3000的數(shù),故n=1215.53號碼分別為2009、2010、2

43、011、2012的四名運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每2人比賽的場數(shù)是他們號碼的和除以4的余數(shù),那么2012號運動員比賽了幾場?解:2009+2010=4019,40193(mod4),2009+2011=4020,40200(mod4),2009+2012=4021,40211(mod4),3+0+1=4(場);40193(mod4),2010+2011=4021,40211(mod4),2010+2012=4022,40222(mod4),3+1+2=6(場);40200(mod4),40211(mod4),2011+2012=4023,40233(mod4),0+1+3=4(場);40211

44、(mod4),40222(mod4),40233(mod4),1+2+3=6(場).答:那么2012號運動員比賽了6場. 54.已知式子16n22m1(mod7)成立,那么正整數(shù)n和m最小分別是幾?解:因為16n22m2n1m 2n(mod7),所以與m的取值沒有關(guān)系,所以m最小為1;當n=1,2,3,4,5,6,時,除以7余數(shù)分別為:2,4,1,2,4,1.所以2n除以7的余數(shù)以2,4,1為循環(huán),所以n最小為3.55.70個數(shù)排成一行,除了兩頭兩個數(shù)外,每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊數(shù)的和,這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的:0、1、3、8、21問最右邊一個數(shù)被6除余幾?解:由題意可知,此數(shù)列為:

45、0、1、3、8、21、55、144、377、987,此數(shù)列被6除余數(shù)會出現(xiàn)0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5這12個數(shù)一組循環(huán),7012=510,也就是第70個數(shù)除以6的余數(shù)是位于余數(shù)第六組的第10個數(shù),這個數(shù)是4,所以最右邊的一個數(shù)被6除余4.56.已知a=200820082008,問a除以13所得的余數(shù)是多少? 2008個2008解:20086(mod13),6200811(mod13),1120080(mod13),因為除以13的余數(shù)以6,11,0為循環(huán),所以20081(mod3),a除以13所得的余數(shù)是6.57.53433727被11除的余數(shù)是多少?解:53433727(5

46、3119)9433727(11-1=10,43103)933727(10-1=9,3791)93127933(mod11).58.若a為自然數(shù),a2005-a1949能否被10整除?解:10=25,由于a2005與a1949的奇偶性相同,所以2|(a2005-a1949)=a1949(a56-1),如果a能被5整除,那么5|a1949(a56-1);如果a不能被5整除,那么a被5除的余數(shù)只能有1、2、3、4,a4被5除的余數(shù)為14161(mod5),24161(mod5),34811(mod5),442561(mod5).而這四個數(shù)除以5均余1,所以不管a為多少,a4被5除的余數(shù)為1,而a56

47、=(a4)14,即14個a4相乘,所以a56除以5均余1,則a56-1能被5整除,有5|a1949(a56-1).所以5|(a2005-a1949).由于2與5互質(zhì),所以能被10整除,10|(a2005-a1949).59.求20142013除以13的余數(shù).解:因為201412(mod13),所以20142013122013(mod13).又1221(mod13),所以20142013122013(mod13)122012121281212(mod13),所以20142013除以13的余數(shù)為12.60.求12011+22011+32011+82011除以9的余數(shù).解:12011+22011+3

48、2011+82011(12011+82011)+(22011+72011)+(32011+62011)+(42011+52011)0+0+0+00(mod9).61.是否存在自然數(shù)n,使得(n2+n+7)是15的倍數(shù)?為什么?解:要使(n2+n+7)是15的倍數(shù),也就是說n(n+1)+7能被3和5整除.而n(n+1)的個位數(shù)只能是0、2、6,所以(n2+n+7)的個位數(shù)字只能是7、9、3,不可能是5的倍數(shù).所以,不存在這樣的自然數(shù).62.求2013100!的個位數(shù).解: 2013100!341(mod10),(100!0,次方不能為0,直接用4次方), 20131001的個位數(shù)是3.63.求(

49、1!+2!+3!+100!)1!+2!+3!+100!的個位數(shù)字.解:(1!+2!+3!+100!)1!+2!+3!+100!313(mod10)(1+2+6+24=33,33103;3341),所以個位數(shù)是3.64.若123n+18是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積,n= .解:相鄰兩個自然數(shù)的乘積的個位數(shù)字只能是0、2、6.當n=1時,原式111819,個位數(shù)字是9,不符合題意;當n=2時,原式121820,2045,符合題意;當n=3時,原式1231824,個位數(shù)字是4,不符合題意;當n=4時,原式12341842,4267,符合題意;當n5時,n！的個位數(shù)字是0,原式的個位數(shù)字為8,不符合題意.所

50、以n等于2或4.65.求(2168141432000)2013的個位數(shù)字.解:(2168141432000)2013(6234)2013(61)201362013616(mod10).81442,200040(次方不能為0,直接用4次方),20134166.n=3711151920032007,求n的末兩位數(shù).解:這些數(shù)的乘積必然是25的倍數(shù),因為它包含25.同時由于題中沒偶數(shù)(2、4、6、8),因此末兩位只有25或75兩種可能(乘到35時,末兩位只出現(xiàn)25和75).要判斷這末兩位數(shù)是25還是75就要看這個數(shù)除以4余數(shù)是多少.為此需要用到一個定理即:(ab)4的余數(shù)=(a4的余數(shù))(b4的余數(shù)

51、).比如:37=21,2141,而343,743,(33)41.由于37111519除以4的余數(shù)與2327313539是相同的(每個數(shù)增加20,而20是4的倍數(shù),余數(shù)不變).于是可先計算出37111519的余數(shù),利用上面提到的定理很容易計算其余數(shù)為:(33333)43,將3到2007這些數(shù)字分為兩部分:第一部分為3到1999有500個數(shù)(1999-3)4+1,第二部分為2003和2007兩個數(shù).第一部分的500個數(shù)可以分成100組,(1003)40,而2003和2007這兩個數(shù)除以4的余數(shù)為:(33)41,正好25除以4的余數(shù)為1,所以末尾兩位數(shù)只能是25.67.在12013中,所有偶數(shù)的積與

52、所有奇數(shù)的積的和的個位數(shù)字是幾?解:在12013中所有偶數(shù)的積含有因數(shù)10(乘10以后),因此積的個位數(shù)字是0;在12013中所有奇數(shù)的積仍然中奇數(shù),且含有因數(shù)5(乘5以后),所以積的個位數(shù)字是5.0+5=5,所以所求和的個位數(shù)字是5.68.313233343536373839310311312319903的積的個位數(shù)字是多少?解:31323334353637383931031131231990331991337(mod10).(19903-3)10+1=1991,19914369.a、b、c都是兩位數(shù)自然數(shù),a、b的個位數(shù)字分別是7、5;c的十位數(shù)字是1,如果它們滿足ab+c=2005,則a

53、+b+c= .解:因為ab+c=2005,所以ab的個位數(shù)字是5,則c的個位數(shù)字為0.那么c=10,ab=2005-10=1995=35719,則a=319=57,b=57=35,a+b+c=57+35+10=102.70.一個自然數(shù),他的個位數(shù)字是0,他共有10個約數(shù),這個數(shù)最小是多少?解:末尾是0,則它肯定有質(zhì)因數(shù)2和5,根據(jù)約數(shù)個數(shù)的求法,這個自然數(shù)只能是a4b的形式,所以最小是:245=80.71.1+2+3+n(n2)的和的個位數(shù)為3,十位數(shù)為0,則n的最小值是多少?解:1+2+3+n=(1+n)n2,個位數(shù)為3,十位數(shù)為0,即n(n+1)個位數(shù)為6,十位數(shù)為0.那么n的個位數(shù)就可能

54、是2或7.若n=12,1+2+3+12=(1+12)122=78;若n=17,1+2+3+17=(1+17)172=153;若n=22,1+2+3+22=(1+22)222=253;若n=27,1+2+3+27=(1+27)272=378;若n=32,1+2+3+32=(1+32)322=528;若n=37,1+2+3+37=(1+37)372=703.因此n的最小值是37.72.一自然數(shù)末兩位數(shù)字為17,各位數(shù)字和為17,且能被17整除,求出滿足條件的最小五位數(shù).解:設(shè)這個數(shù)為x17=100x + 17,則x的各位數(shù)字和=17-1-7=9,根據(jù)各位數(shù)字和被9整除則此數(shù)能被9整除的規(guī)律,x能被9整除.又因為100x+17能被17整除,則x能被17整除.顯然x=917m(m是正整數(shù)),當m=1時,x最小,為153.所以滿足條件的最小五位數(shù)是15317.73.求31997的最后兩位數(shù).解:先求出31到320的末兩位數(shù)依次是:3、9、27、81、43、29、87、61、83、49、47、41、23、69、07、21、63、89、67、01,如此就形成一個循環(huán).199717(mod20),即其末兩位應(yīng)是63.74.設(shè)m1=4747,m2=474747,m3=47474747,求m47的個位數(shù)字.解:m1=4747733(mod10),m2=47474747m147473(mod10