2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東模擬卷）數(shù)學(xué)（理）試題（一） Word版含答案

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東模擬卷）數(shù)學(xué)（理科）試題 本試卷共10頁，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，則集合、的關(guān)系為（ ）A B C D（原創(chuàng)）主要考查集合之間的關(guān)系及簡單分式不等式的解法，命題靈感來源于教材(命題意圖)考查集合的關(guān)系，分式不等式的解法,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析:,故選B2.設(shè)為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A B C D（原創(chuàng)）主要考查復(fù)數(shù)的基本概念（實(shí)部、虛部、共軛）及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，命題靈感來源于教材及廣東近年的高考試題(命題意

2、圖)考查復(fù)數(shù)的基本概念及其運(yùn)算能力，共3個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析: 的虛部為，故選A3.在中，為邊的中點(diǎn)，若，則（ ）A B C D （原創(chuàng)）主要考查平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，命題靈感來源于教材及廣東近年的高考試題(命題意圖)考查平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算能力,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：為邊的中點(diǎn)，故選D4.某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的側(cè)面積為（ ）A B C D 圖1（原創(chuàng)）主要考查空間幾何體的三視圖概念，空間想象和運(yùn)算能力，命題靈感來源于日常生活及廣東近年的高考試題(命題意圖)考查空間想象及運(yùn)算能力,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：易知該幾何體的左、右兩個(gè)側(cè)面為全等的直角梯形，其面積均為,前側(cè)面及后側(cè)面為等腰三角

3、形，其面積分為和，于是該幾何體的側(cè)面積為，故選C5.下列命題中，正確的命題為（ ）(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2) 若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)；(3) 設(shè)為二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值，若的值唯一，則；(4) 設(shè)為事件的概率，則“”是“事件為不可能事件”的充要條件A（1）、（3） B（2）、（3） C（1）、（4） D（2）、（4） （原創(chuàng)）主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性），二項(xiàng)式系數(shù)的特征（對稱性、單調(diào)性），事件的概率，充要條件的判定，命題靈感來源于教學(xué)中的學(xué)生典型錯(cuò)誤(命題意圖)考查函數(shù)的基本性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)的特征，事件的概率，充要條件的判定及推理、分析的邏輯思維能力,共6個(gè)知識(shí)點(diǎn)

4、解析：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即(1)錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性的定義可知，若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)，即(2)正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性及對稱性特征可知(3)正確；由幾何概型舉特例可知，“”是“事件為不可能事件”的必要不充分條件，(4)錯(cuò)誤綜上：只有(2) 、(3)正確，故選B6.設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）A B C D（原創(chuàng)）主要考查分段函數(shù)，簡單的指數(shù)、對數(shù)、絕對值不等式的解法及函數(shù)與不等式轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，命題靈感來源于教學(xué)中的學(xué)生典型錯(cuò)誤(命題意圖)考查基本初等函數(shù)類型及不等式的解法，數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想,共4個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)時(shí)，或或（舍）；當(dāng)時(shí)，綜上：

5、或，故選D7.以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，有一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)是該雙曲線的右焦點(diǎn)位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)若,則雙曲線的方程為（ ）A B C D（原創(chuàng)）主要考查雙曲線的定義和方程，直線的傾斜角，三角形的中位線性質(zhì)及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，命題靈感來源于逆向分析(命題意圖)考查雙曲線的基本概念及直線的傾斜角，中位線定理，數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想,共5個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)雙曲線的方程為，點(diǎn)是該雙曲線的左焦點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段是的中位線，即有，即，又其漸近線的傾斜角為，則，故選C8.設(shè)為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，定義運(yùn)算和如下：對均有；若，使得對于，恒有成立，則稱實(shí)數(shù)

6、為函數(shù)的基元，則下列函數(shù)中恰有兩個(gè)基元的是（ ）A B C D（原創(chuàng)）以函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為載體來考查對新定義的理解及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，命題靈感來源于群論中的基本概念（單位元、零元）(命題意圖)考查對新信息的理解與探究，及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，充分體現(xiàn)新課改的教學(xué)理念,共4個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：由新定義可知，若實(shí)數(shù)為函數(shù)的基元等價(jià)于且，由此易知函數(shù)有兩個(gè)基元，函數(shù)和函數(shù)有一個(gè)基元，函數(shù)有無窮多個(gè)基元，故選A二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分（一）必做題（913題）9.函數(shù)的定義域?yàn)?（原創(chuàng)）主要考查函數(shù)的定義域及縝密的數(shù)學(xué)思維，命題靈感來源于教學(xué)中的學(xué)生典型錯(cuò)誤(命題意圖)考查函

7、數(shù)的基本概念及縝密的邏輯思維,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：或，故應(yīng)填或或 10.等比數(shù)列中，則 （原創(chuàng)）主要考查等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)，命題靈感來源于教學(xué)中的學(xué)生典型錯(cuò)誤(命題意圖)考查等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)和運(yùn)算能力,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：，故應(yīng)填11.設(shè)平面區(qū)域,點(diǎn)，若的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （原創(chuàng)）主要考查線性規(guī)劃的逆向問題，直線方程的截距式，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及分析推理能力，命題靈感來源于教材及逆向分析(命題意圖)考查逆向分析、解決問題的能力，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及分析推理能力，及運(yùn)動(dòng)的辯證思維能力,共3個(gè)知識(shí)點(diǎn)11題解析圖解析：如11題解析圖所示，可知題設(shè)平面區(qū)域?yàn)?，其中點(diǎn)，又，為直線在軸上

8、的截距由于的最大值為，故直線應(yīng)介于直線即之間，即直線在軸上的截距應(yīng)滿足：，即或 ，故應(yīng)填或或12.執(zhí)行如圖2所示的程序，則輸出的 （原創(chuàng)）主要考查算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)和程序框圖，等比數(shù)列求和，命題靈感來源于等比數(shù)列求和公式及近年廣東高考試題(命題意圖)考查算法基本概念及利用算法思想解決問題的綜合能力,共3個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：易知，則輸出的值為滿足不等式的最小正整數(shù)，易知，故應(yīng)填圖213.設(shè)曲線在處的切線與拋物線在的部分有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （原創(chuàng)）主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線和數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，命題靈感來源于教材及逆向分析(命題意圖)考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想及解析幾

9、何的本質(zhì),共4個(gè)知識(shí)點(diǎn)13題解析圖解析：，易知曲線在處的切線的斜率為，切點(diǎn)為，于是切線的方程為：如13題解析圖所示，切線應(yīng)介于和平行的直線、之間，其中直線過點(diǎn)，直線和拋物線在的部分即弧相切，易知直線的方程為：，直線的方程為：，故應(yīng)有：，即，故應(yīng)填或（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分）14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線的極坐標(biāo)方程為： ，則該曲線圍成的面積為 （原創(chuàng)）主要考查圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系方程的轉(zhuǎn)化，兩角和的正弦公式，命題靈感來源于逆向分析(命題意圖)考查對極坐標(biāo)思想的理解及分析能力,共2個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程為： ，方程兩邊同乘以并化簡，

10、可得又，從而可知曲線的直角坐標(biāo)系方程為：，即曲線為半徑為的圓，其圍成的面積為，故應(yīng)填15. （幾何證明選講選做題）如圖3所示，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，、的延長線交于點(diǎn)，、的延長線交于點(diǎn)，且，則 （原創(chuàng)）主要考查割線定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，轉(zhuǎn)化化歸和方程的數(shù)學(xué)思想，命題靈感來源于逆向分析圖3(命題意圖)以幾何圖形考查轉(zhuǎn)化、化歸和方程的思想及基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,共3個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)，由，及割線定理可知：，即，又易知，故和相似，即，從而，故應(yīng)填三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）設(shè)，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)的最大值為（）求實(shí)數(shù)和

11、的值； （）中，設(shè)、所對的邊分別為、，若，且，求的值 （原創(chuàng)）主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角恒等變形及余弦定理的簡單應(yīng)用，命題靈感來源于逆向分析(命題意圖)考查向量的基本運(yùn)算及三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，三角恒等變形及余弦定理的應(yīng)用,共5個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（）， 因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，即， 易知的最大值為，從而依題意有，綜上 （）由（）可知，于是， 由正弦定理及余弦定理有：， 故，又， 于是， ，即 17（本小題滿分12分）如圖4所示, 四邊形為正方形，二面角為直二面角，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（）求證：；圖4（）若為等腰三角形，求二面角的余弦值. （原創(chuàng)）主要考查空間的線、面之間的位置關(guān)系，空

12、間想象和運(yùn)算、推理、分析能力，命題靈感來源于教圖4-1材習(xí)題和逆向分析(命題意圖)考查空間想象和運(yùn)算、推理、分析能力及對空間向量這一數(shù)學(xué)基本工具的應(yīng)用能力,共5個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（解法一：向量法）（）由題設(shè)條件，可按如圖4-1建立空間直角坐標(biāo)系，其中為中點(diǎn)，不妨設(shè)正方形的邊長為，,則可知， 于是， 從而，故，即 （）為等腰三角形，又易知為直角，故只能為，故,易知，即. 顯然為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，由上可知，又，由，故，即亦是平面的法向量， 從而，又易知二面角為鈍角，故二面角的余弦值即為. （解法二：傳統(tǒng)法）（）如圖4-2，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接， 由及點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可知， 又二面角為直二面

13、角，故面，而在平面內(nèi)，故， 圖4-2因?yàn)樗倪呅螢檎叫危剩?而是的中位線，故，從而可知，又，由及，可知面， 在平面內(nèi)，故. （）設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，由（）可知面，又均在平面內(nèi)，從而有，故為二面角的平面角， 因?yàn)闉榈妊切?，又易知為直角，故只能為，不妨設(shè)正方形的邊長為，故，易知， 則在直角中，易知有，于是，故， 顯然，故，即二面角的余弦值為 18（本小題滿分14分）現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，連續(xù)擲兩次，所擲的點(diǎn)數(shù)依次記為，（）若為偶數(shù)，則，否則；若能被3整除，則，否則.設(shè)，求隨機(jī)變量的分布列及均值（即數(shù)學(xué)期望）； （）設(shè)命題直線與圓有交點(diǎn)，命題,求命題為真命題的概率. （原創(chuàng)）主要考查隨機(jī)變量的分

14、布列和均值的概念及古典概型，邏輯聯(lián)結(jié)詞和復(fù)合命題真假性的判定，直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，命題靈感來源于教材例題及逆向分析(命題意圖)考查隨機(jī)變量的分布列和均值的概念及古典概型，命題與邏輯，直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想及解決實(shí)際問題的推理、分析和運(yùn)算能力,共6個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（）易知事件為偶數(shù)的概率為，于是對于隨機(jī)變量，列表如下：表：事件能被3整除的概率為，于是對于隨機(jī)變量，列表如下：表：隨機(jī)變量可取的值為， 由上述二表可知：，同理可求， 于是， 從而可知隨機(jī)變量的分布列如表：表：進(jìn)而可知隨機(jī)變量的均值，即的均值. （）命題為真命題命題及均為真，即為假命題，為真命題， 若為假，則直

15、線與圓無交點(diǎn)，即直線與圓相離，于是直線到圓的距離大于圓的半徑，即； 若為真，則， 記事件為“連續(xù)擲兩次該骰子所得的點(diǎn)數(shù)為”，事件為“使得命題為真命題”，聯(lián)立、式可知：、，共組解，即事件共有個(gè)基本事件， 又易知事件共有個(gè)基本事件， 則，即命題為真命題的概率為. 19（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對于滿足：，且是和的等差中項(xiàng)（）求的值； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）證明：對一切正整數(shù)有，.（原創(chuàng)）主要考查等差數(shù)列的概念，一般數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的關(guān)系及遞推關(guān)系，裂項(xiàng)放縮證明不等式，邏輯推理與證明能力，命題靈感來源于廣東近年的高考試題和逆向分析(命題意圖)利用等差數(shù)列這一基本數(shù)列模型來考查推理

16、、證明能力及聯(lián)想、類比的邏輯思維方式與能力,共6個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（）是和的等差中項(xiàng) 對于上式，令，則或， 又（舍），故. （）易知：， 上述兩式作差并化簡得：，又， 即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由，可知，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，. （），即， 于是，即對一切正整數(shù)有，證畢. 20（本小題滿分14分）如圖5所示，點(diǎn)，（，且）在以、為左、右焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng),動(dòng)三角形的面積的最大值為.設(shè)直線交橢圓于點(diǎn),直線交橢圓于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.（）求橢圓的方程； 圖5（）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中：（1）設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，求的最大值； （2）設(shè)直線、的斜率依次為、，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；否則，請說明理由

17、. （原創(chuàng)）主要考查橢圓的定義及其幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，和對新問題的探究能力，數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求的整體思想及運(yùn)算能力，抽象思維和形象思維能力，命題靈感來源于橢圓和圓的類比性質(zhì)（猜想并證明）及廣東近年的高考試題和逆向分析(命題意圖)以直線和橢圓的位置關(guān)系為載體考查對新問題的探究能力，數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求的整體思想及運(yùn)算能力，抽象思維和形象思維能力，綜合分析、解決問題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，以期達(dá)到選拔優(yōu)秀考生的功效,共7個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（）由橢圓可知其半焦距，即焦距， 動(dòng)三角形的面積的最大值為，故，即動(dòng)點(diǎn)到軸的距離的最大值為.顯然當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離的最大，

18、即橢圓的短半軸，于是，從而可知橢圓的方程為. （）（1）解法一：設(shè)及直線的方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)，為直線與橢圓的交點(diǎn)，故由消去得如下方程：， 易知是上述方程的兩個(gè)相異實(shí)根，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)坐標(biāo)為：，即， ， 從而點(diǎn)到直線：的距離為，令，則，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即. 解法二：同解法一求出點(diǎn)坐標(biāo)：， 消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程：，易知點(diǎn)軌跡為一個(gè)橢圓（不含左右兩個(gè)頂點(diǎn)），不妨記該橢圓為，顯然直線：過點(diǎn)，易知直線與橢圓相交，欲使點(diǎn)到直線的距離最大，則橢圓過點(diǎn)的切線必平行于直線，此時(shí)直線和的距離亦為.設(shè)切線的方程為：，聯(lián)立及得：，于是，求得，由于直線和平行，故易知此時(shí)均有，即. （2）解法一:

19、設(shè)，直線、的方程為：， 故由，又，即， 同理可求, 于是可求，, 從而有，即存在，滿足題設(shè). 解法二：設(shè)直線、的方程為：，由題設(shè)可知（），由于上述四條直線兩兩相交，故互不相等，因直線、交于點(diǎn)，由，同理可求：，不妨設(shè)，（顯然非零實(shí)數(shù)互不相等且均不為1），于是,，又三點(diǎn)均在橢圓上，即有：， ， ， 對于，可視實(shí)數(shù)為關(guān)于的方程：的兩根，即的兩根，從而有；對于，可視實(shí)數(shù)為關(guān)于的方程：的兩根，即的兩根，從而有，進(jìn)而有，（亦可由-化簡得：，-化簡得：，于是）， 易知，從而，即存在，滿足題設(shè). 21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，；，.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； （）設(shè)，且，證明：.（原

20、創(chuàng)）主要考查利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性，最值，極值），函數(shù)（主元）、化歸、分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想（復(fù)雜問題如何使其簡單化），探究、推理、分析的邏輯思維能力，命題靈感來源于數(shù)和形兩個(gè)方面：（“數(shù)”以伯努利不等式為背景，“形”以指數(shù)函數(shù)和直線的位置關(guān)系為幾何直觀，即伯努利不等式的幾何意義）(命題意圖)以伯努利不等式為背景考查利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)（主元）、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，探究、推理、分析的邏輯思維能力，綜合分析、解決問題并證明的能力，本題綜合性較強(qiáng)，以期達(dá)到選拔優(yōu)秀考生的功效,共7個(gè)知識(shí)點(diǎn)解析：（）顯然的定義域?yàn)?，令，）?dāng)時(shí)：在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為

21、；）當(dāng)時(shí)：在區(qū)間上，恒成立，故的減區(qū)間為；在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為. （）時(shí)，所以； ）時(shí)，易知，于是：，由（1）可知， 下證，即證明不等式在上恒成立.（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，則，故，即當(dāng)時(shí)，從而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，即. （法二）令，則，列表如下：表：極小值由表可知：當(dāng)時(shí)，即恒成立，即.由于，且，故函數(shù)區(qū)間內(nèi)必存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，于是指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)為增函數(shù)，同理當(dāng)時(shí)，于是指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)也為增函數(shù)，于是，當(dāng)時(shí)， 必為增函數(shù)，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必存在唯一零點(diǎn)，不妨記為，則，易知當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，又易知，故；綜上，當(dāng)時(shí)， 在上的最大值為.（）證法一：令， 顯

22、然有：，則不等式. 注意到：，且，即，且，于是， 故，從而，即，又，故原不等式成立，證畢. 證法二：同上可將不等式化為：,即，令，則等價(jià)于證明：當(dāng)時(shí)，有成立，又， 故，于是，即得證， 又，故原不等式成立，證畢. 高考模擬試題（理科數(shù)學(xué)）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 共7頁，21小題，滿分150分 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的題號(hào)12345678答案BADCBDCA1. 解析:,故選B2. 解析: 的虛部為，故選A3. 解析：為邊的中點(diǎn)，故選D4. 解析：由題中所給三視圖易知該幾何體的左、右兩個(gè)側(cè)面為全等的直角梯形，其面積均為,前側(cè)

23、面及后側(cè)面為等腰三角形，其面積分為和，于是該幾何體的側(cè)面積為，故選C5. 解析：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即(1)錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性的定義可知，若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)，即(2)正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性及對稱性特征可知(3)正確；由幾何概型舉特例可知，“”是“事件為不可能事件”的必要不充分條件，(4)錯(cuò)誤綜上：只有(2) 、(3)正確，故選B6. 解析：當(dāng)時(shí)，或或（舍）；當(dāng)時(shí)，綜上：或，故選D7. 解析：設(shè)雙曲線的方程為，點(diǎn)是該雙曲線的左焦點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段是的中位線，即有，即，又其漸近線的傾斜角為，則，故選C8. 解析：由新定義可知，若實(shí)數(shù)為函數(shù)的基元等價(jià)于且，由此易知函數(shù)

24、有兩個(gè)基元，函數(shù)和函數(shù)有一個(gè)基元，函數(shù)有無窮多個(gè)基元，故選A二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分題號(hào)91011答案（或或）（或或）題號(hào)12131415答案 （或）（一）必做題（913題）9. 解析：或，故應(yīng)填或或 10.解析：，故應(yīng)填11題解析圖11. 解析：如11題解析圖所示，可知區(qū)域?yàn)?，其?，為直線在軸上的截距，由于的最大值為，故直線應(yīng)介于直線即之間，即直線在軸上的截距應(yīng)滿足：，即或 ，故應(yīng)填或或12. 解析：，則輸出的值為滿足不等式的最小正整數(shù)，易知，故應(yīng)填13題解析圖13. 解析：，易知曲線在處的切線的斜率為，切點(diǎn)為，于是切線的方程為：如13題解析圖所示，切

25、線應(yīng)介于和平行的直線、之間，其中直線過點(diǎn)，直線和拋物線在的部分即弧相切，易知直線的方程為：，直線的方程為：，故應(yīng)有：，即，故應(yīng)填或（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分）14. 解析： ，等式兩邊同乘以并化簡，可得又，從而可知曲線的直角坐標(biāo)系方程為：，即曲線為半徑為的圓，其圍成的面積為，故應(yīng)填15. 解析：設(shè)，由，及割線定理可知：，即，又易知，故和相似，即，從而，故應(yīng)填三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）設(shè)，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)的最大值為（）求實(shí)數(shù)和的值； （）中，設(shè)、所對的邊分別為

26、、，若，且，求的值 解析：（）， 2分因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，即， 4分易知的最大值為，從而依題意有，綜上 6分（）由（）可知，于是， 7分由正弦定理及余弦定理有：， 9分故，又， 10分于是， 11分，即 12分17（本小題滿分12分）如圖4所示, 四邊形為正方形，二面角為直二面角，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（）求證：；圖4（）若為等腰三角形，求二面角的余弦值. 解析：（解法一：向量法）（）由題設(shè)條件，可按如圖4-1建立空間直角坐標(biāo)系，其中為中點(diǎn)，不妨設(shè)正方形的邊長為，,則可知， 2分于是， 4分從而，故，即 6分圖4-1（）為等腰三角形，又易知為直角，故只能為，故， 易知，即， 7分顯然為平面的法向量， 8

27、分設(shè)平面的法向量為，由上可知，又，由，故，即亦是平面的法向量， 10分從而，又易知二面角為鈍角，故二面角的余弦值即為. 12分（解法二：傳統(tǒng)法）（）如圖4-2，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接， 由及點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可知， 1分又二面角為直二面角，故面，圖4-2而在平面內(nèi)，故， 2分因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，故?3分而是的中位線，故，從而可知， 4分又，由及，可知面， 5分而在平面內(nèi)，故. 6分（）設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，由（）可知面，又均在平面內(nèi)，從而有，故為二面角的平面角， 8分因?yàn)闉榈妊切?，又易知為直角，故只能為，不妨設(shè)正方形的邊長為，故，易知， 9分則在直角中，易知有，于是，故， 11分顯然，故，即二面角的

28、余弦值為 12分18（本小題滿分14分）現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，連續(xù)擲兩次，所擲的點(diǎn)數(shù)依次記為，（）若為偶數(shù)，則，否則；若能被3整除，則，否則.設(shè)，求隨機(jī)變量的分布列及均值（即數(shù)學(xué)期望）； （）設(shè)命題直線與圓有交點(diǎn)，命題,求命題為真命題的概率. 解析：（）易知事件為偶數(shù)的概率為，于是對于隨機(jī)變量，列表如下：表：事件能被3整除的概率為，于是對于隨機(jī)變量，列表如下：表：隨機(jī)變量可取的值為， 1分由上述二表可知：， 2分同理可求， 3分于是， 4分從而可知隨機(jī)變量的分布列如表：表：5分進(jìn)而可知隨機(jī)變量的均值，即的均值. 6分（）由為真命題命題及均為真，即為假命題，為真命題， 7分若為假，則直線與圓無

29、交點(diǎn)，即直線與圓相離，于是直線到圓的距離大于圓的半徑，即 9分； 10分若為真，則， 記事件為“連續(xù)擲兩次該骰子所得的點(diǎn)數(shù)為”，事件為“使得命題為真命題”，聯(lián)立、式可知：、，共組解，即事件共有個(gè)基本事件， 12分又易知事件共有個(gè)基本事件， 13分則，即命題為真命題的概率為. 14分19（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對于滿足：，且是和的等差中項(xiàng)（）求的值； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）證明：對一切正整數(shù)有，.解析：（）是和的等差中項(xiàng) 1分對于上式，令，則或， 3分又（舍），故. 4分（）易知：， 5分上述兩式作差并化簡得：，又， 7分即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由，可知，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為

30、，. 9分（），即，12分于是，即對一切正整數(shù)有，證畢. 14分20（本小題滿分14分）如圖5所示，點(diǎn)，（，且）在以、為左、右焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng),動(dòng)三角形的面積的最大值為.設(shè)直線交橢圓于點(diǎn),直線交橢圓于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.圖5（）求橢圓的方程； （）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中：（1）設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，求的最大值； （2）設(shè)直線、的斜率依次為、，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；否則，請說明理由. 解析：（）由橢圓可知其半焦距，即焦距， 1分動(dòng)三角形的面積的最大值為，故，即動(dòng)點(diǎn)到軸的距離的最大值為.顯然當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離的最大，即橢圓的短半軸，于是，從而可知橢圓的方程為

31、. 3分（）（1）解法一：設(shè)及直線的方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)，為直線與橢圓的交點(diǎn)，故由消去得如下方程：， 4分易知是上述方程的兩個(gè)相異實(shí)根，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)坐標(biāo)為：，即， ， 6分從而點(diǎn)到直線：的距離為，令，則，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即.9分 解法二：同解法一求出點(diǎn)坐標(biāo)：， 6分消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程：，易知點(diǎn)軌跡為一個(gè)橢圓（不含左右兩個(gè)頂點(diǎn)），不妨記該橢圓為，顯然直線：過點(diǎn)，易知直線與橢圓相交，欲使點(diǎn)到直線的距離最大，則橢圓過點(diǎn)的切線必平行于直線，此時(shí)直線和的距離亦為.設(shè)切線的方程為：，聯(lián)立及得：，于是，求得，由于直線和平行，故易知此時(shí)均有，即. 9分（2）解法一: 設(shè)，直線、的方程為

32、：， 故由，又，即， 11分同理可求, 12分于是可求，, 13分從而有，即存在，滿足題設(shè). 14分解法二：設(shè)直線、的方程為：，由題設(shè)可知（），由于上述四條直線兩兩相交，故互不相等，因直線、交于點(diǎn)，由，同理可求：，不妨設(shè)，（顯然非零實(shí)數(shù)互不相等且均不為1），于是,，又三點(diǎn)均在橢圓上，即有：，11分對于，可視實(shí)數(shù)為關(guān)于的方程：，即的兩根，從而有；對于，可視實(shí)數(shù)為關(guān)于的方程：，即的兩根，從而有，進(jìn)而有，（亦可由-化簡得：，-化簡得：，于是）， 13分易知，從而，即存在，滿足題設(shè). 14分21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，；，.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； （）設(shè)，且，證明：.解

33、析：（）顯然的定義域?yàn)椋?1分令，）當(dāng)時(shí)：在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為； 2分）當(dāng)時(shí)：在區(qū)間上，恒成立，故的減區(qū)間為； 3分在區(qū)間上，恒成立，故的增區(qū)間為. 4分（）時(shí)，所以； 5分）時(shí)，易知，于是：，由（1）可知， 下證，即證明不等式在上恒成立.（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，則，故，即當(dāng)時(shí)，從而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，即. 7分（法二）令，則，列表如下：表：極小值由表2可知：當(dāng)時(shí)，故恒成立，即. 7分由于，且，故函數(shù)區(qū)間內(nèi)必存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)為增函數(shù)，同理當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)也為增函數(shù)，于是，當(dāng)時(shí)， 必為增函數(shù)，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必存在唯一零點(diǎn)，不妨記為，則，易知當(dāng)時(shí)，

34、此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，又易知，故；綜上，當(dāng)時(shí)， 在上的最大值為. 9分（）證法一：令， 顯然有：，則不等式. 11分注意到：，且，即，且，于是， 12分故，從而，即， 13分又，故不等式成立，證畢.14分證法二：同上可將不等式化為：,11分即，令，則等價(jià)于證明：當(dāng)時(shí)，有成立，又， 12分故，于是，即得證， 13分又，故不等式成立，證畢.14分高考模擬試題（理科數(shù)學(xué)）命題細(xì)目表題號(hào)知識(shí)點(diǎn)命題意圖1集合的關(guān)系，分式不等式(2個(gè))考查集合的關(guān)系，分式不等式的解法2復(fù)數(shù)的基本概念及其運(yùn)算(3個(gè))考查復(fù)數(shù)的基本概念及其運(yùn)算能力3平面向量的坐標(biāo)表示及基本運(yùn)算(2個(gè))考查平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算能力4空間幾何體的三視圖(2個(gè))考查空間想象及運(yùn)算能力5函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性、單調(diào)性，事件的概率，充要條件的判定(6個(gè))考查函數(shù)的基本性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)的特征，事件的概率，充要條件的判定及推理、分析的邏輯思維能力6分段函數(shù)，簡單的指數(shù)、對數(shù)、絕對值不等式的解法(4個(gè))考查基本初等函數(shù)類型及不等式的解法，數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想7雙曲線的定義和方程，直線的傾斜角，三角形的中位線性質(zhì)(5個(gè))考查雙曲線的基本概念及直線的傾斜角，中位線定理，數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想8函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為載體來考查對