初等數(shù)學(xué)研究(程曉亮、劉影)版課后習(xí)題答案

1、初等數(shù)學(xué)研究（程曉亮、劉影）版課后習(xí)題答案第一章 數(shù)1添加元素法和構(gòu)造法，自然數(shù)擴充到整數(shù)可以看成是在自然數(shù)的基礎(chǔ)上添加0到擴大的自然數(shù)集，再添加負數(shù)到整數(shù)集；實數(shù)擴充到復(fù)數(shù)可以看成是在實數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造虛數(shù)單位滿足，和有序?qū)崝?shù)對一起組成一個復(fù)數(shù).2（略）3從數(shù)的起源至今，總共經(jīng)歷了五次擴充：為了保證在自然數(shù)集中除法的封閉性，像的方程有解，這樣，正分數(shù)就應(yīng)運而生了，這是數(shù)的概念的第一次擴展，數(shù)就擴展為正有理數(shù)集.公元六世紀，印度數(shù)學(xué)家開始用符號“0”表示零.這是數(shù)的概念的第二次擴充，自然數(shù)、零和正分數(shù)合在一起組成算術(shù)數(shù)集.為了表示具有相反意義的量，引入了負數(shù).并且直到17世紀才對負數(shù)有一個完整的

2、認識，這是數(shù)的概念的第三次擴充，此時，數(shù)的概念就擴展為有理數(shù)集.直到19世紀下半葉，才由皮亞諾、戴德金、維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家的努力下構(gòu)建了嚴格的實數(shù)理論.這是數(shù)的概念的第四次擴充，形成了實數(shù)集.虛數(shù)作為一種合乎邏輯的假設(shè)得以引進，并在進一步的發(fā)展中加以運用.這是數(shù)學(xué)概念的第五次擴充，引進虛數(shù)，形成復(fù)數(shù)集.4證明：設(shè)集合兩兩沒有公共元素分別是非空有限集的基數(shù)，根據(jù)定義，若，則存在非空有限集，使得；若從而必存在非空有限集，使得，所以所以集合的基數(shù)大于集合的基數(shù)，所以.5（1）解：按照自然數(shù)序數(shù)理論加法定義， （2）解：按照自然數(shù)序數(shù)理論乘法定義6證明：當(dāng)時，命題成立.（反證法）7證明：當(dāng)時，命題成

3、立.（）設(shè)時命題成立.角郵資可能是：（1）完全用3角的郵票來支付；（2）至少用一張5角的郵票來支付.在（1）下，3角的郵票至少有3張.把它們換成兩張5角的郵票便可支付角的郵票.在（2）下，把一張5角的郵票換成兩張3角的郵票便可以支付角的郵票.綜合、，命題對于不小于8的所有自然數(shù)成立.8證明：（1）（2）當(dāng)時，命題成立.假設(shè)時命題成立，即.那么時，原條直線有個交點.由條件知，第條直線與原條直線各有一個交點，且互不相同.故新增個交點，所以.綜合、，命題對于不小于2的所有自然數(shù)成立.9舉例：正整數(shù)集N上定義的整除關(guān)系“|”滿足半序關(guān)系.證明：（1）（自反性）任意的正整數(shù)，總有； （2）（反對稱性）如

4、果，那么； （3）（傳遞性）如果，那么.通常意義的小于等于也構(gòu)成半序關(guān)系，同理可證.10證明：設(shè)，且若，則.若.令是所有不屬于的自然數(shù)組成的集合，則是的非空子集，按照最小數(shù)原理，中有最小數(shù)，設(shè)為.由知，于是存在自然數(shù)，使，這樣就有，所以，但根據(jù)有，這與矛盾.所以.11證明：（1）根據(jù)自然數(shù)減法定義有，兩式相加得：，于是，若，則若，則（2）（3）先證事實上，由可知要證明的自然數(shù)乘法對減法的分配律成立.由此，為了證明（3），只要證明，根據(jù)（1）上式就是于是只要證明顯然，這個等式是成立的，所以（3）成立.12證明：（1）根據(jù)自然數(shù)除法定義有，兩式相乘，得，所以有：若，則；若，則（2），根據(jù)除法定義，

5、（2）成立.（3），根據(jù)除法定義，（3）成立.13證明：.14證明：設(shè)，下，下面證明三種關(guān)系有且僅有一個成立.（1）先證明三個關(guān)系中至多有一個成立.假若它們中至少有兩個成立，若令同時成立，則存在，使得：于是，與矛盾.同理可證，任意兩種關(guān)系均不能同時成立.（2）再證明三中關(guān)系中至少有一個成立.取定，設(shè)是使三個關(guān)系中至少有一個成立的所有的集合，當(dāng)時，若，則成立；若，則存在，使得，這時成立.因此.假若，即三個關(guān)系中至少有一個成立.當(dāng)時，存在，使得，則，即成立.當(dāng)時，存在，使得，若，就有；若，就有，且，使得，即成立.綜上，從而.15證明：， ，16證明：因為，且，所以，即17證明：因為，而有限個奇數(shù)的

6、乘積仍是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和也是奇數(shù)，因而是奇數(shù)，于是，同理有，兩式相加：，所以.18解：因為，所以和必為一奇一偶.若為偶數(shù)，可驗證質(zhì)數(shù)，則若為偶數(shù)，可驗證質(zhì)數(shù)，則所以.19證明：根據(jù)減法是加法的逆運算知，設(shè)是有理數(shù)，是這樣一個數(shù)，它與的和等于即但是，我們有 (加法結(jié)合律) 因此，這個確定的有理數(shù)，它與的和等于， 又如果差為，則有，于是，兩邊同加有： 即差只能是，定理得證20證明：做差，.所以有 21證明：首先證明當(dāng)且僅當(dāng). 事實上，若，當(dāng)時，且，即;當(dāng)時，,有,且,故.反之，若,當(dāng)時，;當(dāng)時，. 下面來證明：.事實上，對于顯然有： 故有. 由上面的討論知，. 另一方面，. 故.22證明:(反

7、證法)設(shè)其中是正整數(shù),不妨假定互素, 取自然數(shù),用乘下列級數(shù)表達式兩邊: ,得:令, 于是,則應(yīng)為正整數(shù), 應(yīng)為整數(shù).但是因為,故,即不可能是整數(shù),產(chǎn)生矛盾,所以是無理數(shù).23證明：假設(shè)兩邊次方得，但是所以，所以不是整數(shù)，這與已知條件矛盾，所以是無理數(shù).24證明：假設(shè)，所以，因為，所以但是當(dāng)時，上式明顯不成立；當(dāng)時，上式與矛盾.所以，不是有理數(shù)，又可以證明是實數(shù)，所以是無理數(shù).25證明：假設(shè)方程有有理數(shù)根，將其代入方程，可得：，由此可知的任何素數(shù)因子必可整除，因此必可整除，從而知為與的公因子，但是，所以，所以，這與矛盾.所以整系數(shù)代數(shù)方程的任何非整實根均為無理數(shù).26按照字典排序法，先比較實部

8、，再比較虛部.27證明：將三次本原單位根或分別代入：因此，含有因式，而所以28證明（反證法）：若與3.8的和是有理數(shù)，即，則.因為全體有理數(shù)稱為一個域，對減法運算封閉，所以差仍是有理數(shù)，與是無理數(shù)矛盾，所以與3.8的和是無理數(shù).29兩個無理數(shù)的商可能是有理數(shù).例如：是無理數(shù)，易證也是無理數(shù)，30不能，因為無理數(shù)對四則運算不封閉.例如.31解：由于所以是純虛數(shù)的條件是，即32證明：設(shè)是的任一子域，且在中方程有解.按照題意，要證明.因為，所以只需要證明.由，知，依的四則運算律，有于是，或.任取，由，知或又由于，而是域，于是，因此.第二章習(xí)題及答案1設(shè) 證明證明 取 在上有導(dǎo)數(shù)利用微分中值定理即 又

9、因 因此有2若均為實數(shù), 且求證: 證明 由有 其判別式(因). 從而, 即同理可證3設(shè)表示一個三角形三邊的長, 求證: 證明不失一般性, 設(shè) 令 則 有4設(shè) 且求證: 證明 設(shè) 則由題設(shè)可知, 并可設(shè)于是5已知 求證證明 欲證成立, 只需, 即證.則只需 也就是 即證 而 所以成立. 命題得證.6若 求證明 以上諸式, 當(dāng)且僅當(dāng)是等號成立. 諸式兩端相乘得由已知可得 即等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.7證明: 函數(shù)證明 (1) 當(dāng)時, 顯然(2) 當(dāng)時, (3) 時, 綜合(1), (2), (3)可知, 可知恒正.8證明 若則證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:當(dāng)時, 命題顯然成立;假設(shè)命題對成立, 我們來證

10、明它對也成立, 注意到故命題對成立.9設(shè) 求證證明10設(shè)求證: 證明 顯然是平凡情形. 假定不全為零, 不妨設(shè)由 得 記 .再注意到 因而 這就是所要證的不等式.11已知為小于1的正數(shù), 求證: 證明 設(shè)則, , .12設(shè)求證: 其中, 且證明同理三式相加, 即得13設(shè)求證: 證明 該不等式關(guān)于對稱, 不妨設(shè)則由左式右式故14已知求證證 欲證由于所以, 只要證 即要證 由于只要證 由于 此不等式顯然成立.15若不等式恒成立, 求實數(shù)的取值范圍.解 令將不等式轉(zhuǎn)化為: 令 則恒成立, 等價于: 解不等式組得: 16設(shè)是自然對數(shù)的底, 是圓周率, 求證證明 因為 又當(dāng)時, 所以 因此, 從而有17

11、當(dāng)為何值時, 不等式成立?解 先將不等式分母有理化, 有因此原不等式同解于不等式組 解得即原不等式的解集為19已知解關(guān)于的不等式 解 原不等式（1）當(dāng)時，原不等式（2）當(dāng)時，原不等式20某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元、2千元. 甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺A，B上加工一件甲所需工時分別為1時、2時，加工一件乙所需工時分別為2時、1時，A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500. 如何安排生產(chǎn)可使收入最大？解 這個問題的數(shù)學(xué)模型是二元線性規(guī)劃.設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為件，約束條件是，目標(biāo)函數(shù)是. 要求出適當(dāng)?shù)模谷〉米畲笾?（該圖來至高中數(shù)

12、學(xué)課程標(biāo)準，需重做）先要畫出可行域，如圖?？紤]是參數(shù)，將它變形為這是斜率為，隨變化的一族直線。是直線在軸上截距，當(dāng)最大時最大，當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標(biāo)函數(shù)取得最大值.在這個問題中，使取得最大值的是兩直線與的交點.因此，甲、乙兩種產(chǎn)品的每月產(chǎn)時不時分別為200、100件時，可得最大收入800千元.21個機器人在一條流水線上工作, 加工后需送檢驗臺, 檢驗合格后再送下一道工序. 問檢驗臺設(shè)置在流水線上什么位置時, 才能使機器人送驗時, 才能使機器人所走距離之和最短? 也即耗時最少?解 不妨設(shè)個機器人位于同一條數(shù)軸上, 每個機器人所在的位置(點)的坐標(biāo)為檢驗臺所在之點的坐標(biāo)為的

13、坐標(biāo)為, 那么機器人送驗所走的距離之和為(為實數(shù)), 何時最小? 為了探索問題的內(nèi)在規(guī)律, 不妨從簡單的情形開始考慮.當(dāng)時, 檢驗臺放在這二個機器人之間的任何位置都一樣. 時, 檢驗臺放在第二個機器人所在點時最小.通過上述試驗, 當(dāng)為奇數(shù)時, 檢驗臺應(yīng)放在正中間的機器人所在的地點; 當(dāng)為偶數(shù)時, 檢驗臺應(yīng)放在最中間兩個機器人之間任何位置.22已知函數(shù)對于總有成立, 求實數(shù)的值.解 顯然當(dāng)時不成立, 故 令解得當(dāng)時, 取得極小值. 總有成立等價于 即 從而23已知(是實數(shù)).(1)當(dāng)時, 解不等式(2)如果, 恒成立, 求參數(shù)的取值范圍.解 (1) 原不等式等價于即則 所以原不等式的解集為(2)

14、 時, 恒成立, 即時, 有即恒成立, 故時, 恒成立.于是問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最大值.令 則 則在上是減函數(shù).故當(dāng) 即時, 有最大值. 的取值范圍是24某工廠統(tǒng)計資料顯示, 一種產(chǎn)品次品率與日產(chǎn)量之間的關(guān)系如下表所示:日產(chǎn)量808182.9899100次品率其中(為常數(shù)). 已知一件正品盈利元, 生產(chǎn)一件次品損失元(為不定常數(shù)).(1)求出, 并將該廠的日盈利額(元)表示為日生產(chǎn)量(件)的函數(shù);(2)為獲取最大盈利, 該廠日生產(chǎn)量應(yīng)定為多少?解 (1)根據(jù)列表數(shù)據(jù), 可得由題意,當(dāng)日生產(chǎn)量為時, 次品數(shù)為正品數(shù)為 整理得 (2) 令 當(dāng)且僅當(dāng) 即時取得最大盈利. 此時25設(shè)函數(shù) (1) 求函數(shù)

15、的單調(diào)區(qū)間; (2) 若 求不等式的解集.解 (1) 的定義域為令得時, 時, 時, 的單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是(2) 由 得故當(dāng)時, 解集是當(dāng)時, 解集是 當(dāng)時, 解集是26設(shè)函數(shù)為常數(shù)且 對于任意恒成立, 求實數(shù)的取值范圍.解 從去絕對值展開討論.當(dāng)時, 對恒成立, 當(dāng)時, 對恒成立, 或當(dāng)時, 對恒成立且對恒成立, 即或或當(dāng)時化簡可得即當(dāng)時化簡可得即當(dāng)時化簡可得即27設(shè)為實數(shù), 函數(shù)(1)若求的取值范圍; (2)求的最小值.解 (1) 即由知 因此的取值范圍為(2) 記的最小值為. 我們有當(dāng)時, 此時當(dāng)時, 若, 則若則此時綜上得, 28已知函數(shù)且不等式對恒成立, 求實數(shù)的取值范圍.解

16、由且得又因為, 則只要 解不等式得29已知實數(shù)滿足試求實數(shù)的取值范圍.解 由柯西不等式得 即由條件可得 解得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.當(dāng)時, 當(dāng)時, 故所求實數(shù)的取值范圍是30已知函數(shù)滿足下列條件, 對任意實數(shù)都有 其中是大于0的常數(shù), 設(shè)實數(shù)滿足和(1)證明: 并且不存在使得(2)證明: (3)證明: 證 (1)任取則由及可知 從而假設(shè)有使得則由(1)式知產(chǎn)生矛盾. 所以不存在使得證(2) 由可知由和(1)式, 得由和(2)式, 得將(5)(6)代入(4)式得證(3) 易知時, 故當(dāng)此式也成立, 則第三章習(xí)題及答案1如果那么方程的解集等于下列各個方程：的解集的并集, 其中每一個解都屬于這個方程的定

17、義域的交集.解 設(shè)的定義域為的定義域 因為 所以, 又設(shè)的交集為 的解集為因為所以 因為于是有這個等式的左端至少有一個因式等于零, 這表明 反之易證2設(shè) 當(dāng)時, 不等式的解集為證明 因的圖象在區(qū)間上都是線段, 又 則在區(qū)間上, 的圖象是一條射線 且當(dāng)時, 同理, 在上是一條射線 且時, .從而函數(shù)的圖象與直線的交點只能是在與內(nèi), 將與和 分別聯(lián)立求得交點橫坐標(biāo)為與 由此命題得證.3解關(guān)于的方程 (其中為參數(shù)).解 原方程同解變形為: 若, 方程(1)的解為不等于0的任何實數(shù); 若, 但, 則方程(1)無解; 若, 但, 方程(1)的解為4解方程解 對原方程配方變形，有. 得方程組同解于解之取正

18、值，得5求方程的所有實數(shù)解.解 將原方程拆項整理得配方得所以(3)同解于方程組 解之得.6在實數(shù)解關(guān)于的方程: 解 方程有解必須 此時方程同解于 由 有或 所以要使(1)有解, 必須方程(2)只有當(dāng)時有解: 綜上所述, 當(dāng)方程無解; 當(dāng)方程的解為 當(dāng)時, 方程的解為7解方程解 解得當(dāng)時，原方程可變形為即解得當(dāng)時, 原方程可變形為即解得8解方程: 其中為實參數(shù).解 要使原方程有意義, 必須將原方程中的對數(shù)化成以為底的對數(shù), 并整理得即(1)當(dāng)時, 方程(1)為即由 得故方程(1)的解為即為原方程的解.(2)當(dāng)時, 方程(1)為即由得故方程(1)的解為即為原方程的解.所以當(dāng)原方程的解為當(dāng)時, 原方

19、程無解.9解方程解 由于原方程同解于解這個混合方程組, 得原方程的根為10解方程: 解 原方程可變形為設(shè)有解得正根為于是解這個無理方程, 得原方程的根為11解方程組解 原方程組可變形為 解得 解得12解方程組解 得方程組令 方程組變形為解得 即解得 解得13解方程組解 方程(3)可變形為 由韋達定理則可看出的解即為關(guān)于的三次方程的根. 可求得的值為進而求得原方程的組的解為14解方程組 (如果底數(shù)和指數(shù)是變量, 只考慮使底數(shù)取正值的情形.)解 由方程(2)可得以此代入方程(1)得方程 因為所以方程(3)的兩端總?cè)≌? 以方程(3)的右端的表達式除等式(3)的兩端得顯然, 是這個方程的解, 從而

20、由方程(2)得于是是原方程組的解.當(dāng)時, 由此可得從而由方程(2)得經(jīng)檢驗可知也是原方程組的解.15解方程表示取整解 原方程可變形為, 因 即令, 則 又 即因解得故原方程的解為16解方程解 零點分段法. 由求得于是分區(qū)間討論求解, 得即為所求.17解方程組解 將原方程變形為利用合分比定理可得 即 同理可得 從而有 由此得由原方程組可知中至多只有一個為零, 所以 于是有由(1)，(2)，(3)可得18已知方程組有唯一的解,求參數(shù)的值.解 由可解得 以此代入, 可消去, 得未知元的二次方程如果, 那么 對于的每一個值, (1)式是一次方程, 且 由可得唯一的解，如果(1)是二次方程, 且有二重根

21、, 那么 從而有綜上所述, 原方程有唯一的解時19解方程解方程解 令 則其絕對值零點分別為 由于 則有最大值.又 故知有解, 且解在區(qū)間當(dāng)時, 當(dāng)時, 故即為所求.20求的正整數(shù)解.解 去分母得故有解. 由觀察知其特解為故其一般解為因要求是正整數(shù)解, 則從而故其正整數(shù)解為或21解同余式組解 原同余式組同解于即可推出所以原同余式組的解為22. 百牛問題: 有銀白兩, 買牛百頭. 大牛每頭十兩小牛每頭五兩, 牛犢每頭半兩. 問買的一百頭牛中大牛、小牛、牛犢各幾頭?解 設(shè)大牛、小牛、牛犢各買頭, 則得方程組: 即得 解之有代入(1)得為整數(shù). 據(jù)題意, 應(yīng)求正整數(shù)解, 故 23一個正整數(shù), 如果用九進位制表示出來, 則成如果用七進位制表示出來則成 試用十進位制求出這個數(shù).解 設(shè)用十進位制表示的這個正整數(shù)為, 由題意有整理得由于與有公約數(shù)8，故因右端為整數(shù), 所以必能被8整除, 故為0或8. 按題意要求 因此只能是0，同樣, 從可知以之值代入(1)式, 得所以,這個正整數(shù)用十進位制表示出來是248.24已知 求使解 先求使由輾轉(zhuǎn)相除法知Pk: 1 + 2 + 11 13 x xqk: 2 5 1 x x Qk: 0 + 1 + 5 6從而 所以25(算術(shù)基本定理)一個數(shù)的素因數(shù)分解式是唯一的.證明 反證法. 假設(shè)唯一分解定理不成立, 那么一定至少存在一個數(shù), 它具有不止一種素因數(shù)分解