高考專項訓練19.空間幾何大題

1、空間幾何1（2012西山區(qū)）如圖，四棱錐pabcd的底面abcd為菱形，pa平面abcd，pa=ab=2，e、f分別為cd、pb的中點，ae=（）求證：平面aef平面pab（）求平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值2（2011重慶）如圖，在四面體abcd中，平面abc平面acd，abbc，ac=ad=2，bc=cd=1（）求四面體abcd的體積；（）求二面角cabd的平面角的正切值3（2011宜陽縣）在直三棱柱abca1b1c1中，ca=cb=cc1=2，acb=90，e、f分別是ba、bc的中點，g是aa1上一點，且ac1eg（）確定點g的位置；（）求直線ac1與平面efg所成角的大

2、小4（2011浙江）如圖，在三棱錐pabc中，ab=ac，d為bc的中點，po平面abc，垂足o落在線段ad上（）證明：apbc；（）已知bc=8，po=4，ao=3，od=2求二面角bapc的大小5（2011遼寧）如圖，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=1/2pd（i）證明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角qbpc的余弦值6（2011湖北）如圖，已知正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點e在側(cè)棱aa1上，點f在側(cè)棱bb1上，且ae=2，bf=（i） 求證：cfc1e；（ii） 求二面角ecfc1的大小7（2011湖北）如圖，已知正三棱柱ab

3、c=a1b1c1的各棱長都是4，e是bc的中點，動點f在側(cè)棱cc1上，且不與點c重合（）當cf=1時，求證：efa1c；（）設(shè)二面角cafe的大小為，求tan的最小值8（2011杭州）如圖，在四棱錐pabcd中，側(cè)面pad是正三角形，且垂直于底面abcd，底面abcd是邊長為2的菱形，bad=60，m為pc的中點（1）求證：pa平面bdm；（2）求直線ac與平面adm所成角的正弦值答案與評分標準一解答題（共30小題）1（2012西山區(qū)）如圖，四棱錐pabcd的底面abcd為菱形，pa平面abcd，pa=pb=2，e、f分別為cd、pb的中點，ae=（）求證：平面aef平面pab（）求平面pab

4、與平面pcd所成的銳二面角的余弦值考點：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定。專題：綜合題。分析：（）由四邊形abcd是菱形，pa平面abcd，pa=pb=2，e、f分別為cd、pb的中點，ae=，知ad=cd=ab=2，在ade中，ae=，de=1，所以aecd由abcd，知aeab由此能夠證明平面aef平面pab（）法一：由ae平面pab，ae平面pae，知平面pae平面pab，由pa平面abcd，知pacd由aecd，paae=a，知cd平面pae，由cd平面pcd，知平面pae是平面pab與平面pcd的公垂面，由此能夠求出平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值（）法二：

5、以a為原點，ab、ae分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系axyz，因為pa=ab=2，ae=，所以a（0，0，0）、p（0，0，2）、e（0，0）、c（1，0），則，由ae平面pab，知平面pab的一個法向量為，求出平面pcd的一個法向量由此能求出平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值解答：解：（）證明：四邊形abcd是菱形，ad=cd=ab=2，在ade中，ae=，de=1，ad2=de2+ae2，aed=90，即aecdabcd，aeabpa平面abcd，ae平面abcd，paaepaab=a，ae平面pab，ae平面aef，平面aef平面pab（6分）（）解法一：由（1）

6、知ae平面pab，而ae平面pae，平面pae平面pab，（6分）pa平面abcd，pacd由（）知aecd，又paae=a，cd平面pae，又cd平面pcd，平面pcd平面pae平面pae是平面pab與平面pcd的公垂面（8分）所以，ape就是平面pab與平面pcd所成的銳二面角的平面角（9分）在rtpae中，pe2=ae2+pa2=3+4=7，即（10分）pa=2，所以，平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值為（12分）（）解法二：以a為原點，ab、ae分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系axyz，如圖所示因為pa=ab=2，ae=，所以a（0，0，0）、p（0，0，2）、e

7、（0，0）、c（1，0），則，（7分）由（）知ae平面pab，故平面pab的一個法向量為，（8分）設(shè)平面pcd的一個法向量為，則，即，令y=2，則（10分）= = 所以，平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值為（12分）點評：本題考查平面aef平面pab的證明，求平面pab與平面pcd所成的銳二面角的余弦值綜合性強，難度大，是高考的重點解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用2（2011重慶）如圖，在四面體abcd中，平面abc平面acd，abbc，ac=ad=2，bc=cd=1（）求四面體abcd的體積；（）求二面角cabd的平面角的正切值考點：

8、與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；二面角的平面角及求法。專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：法一：幾何法，（）過d作dfac，垂足為f，由平面abc平面acd，由面面垂直的性質(zhì)，可得df是四面體abcd的面abc上的高；設(shè)g為邊cd的中點，可得agcd，計算可得ag與df的長，進而可得sabc，由棱錐體積公式，計算可得答案；（）過f作feab，垂足為e，連接de，分析可得def為二面角cabd的平面角，計算可得ef的長，由（）中df的值，結(jié)合正切的定義，可得答案法二：向量法，（）首先建立坐標系，根據(jù)題意，設(shè)o是ac的中點，過o作ohac，交ab與h，過o作omac，交ad與m；易知ohom，因此可以以o

9、為原點，以射線oh、oc、om為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系oxyz，進而可得b、d的坐標；從而可得acd邊ac的高即棱住的高與底面的面積，計算可得答案；（）設(shè)非零向量=（l，m，n）是平面abd的法向量，由（）易得向量的坐標，同時易得=（0，0，1）是平面abc的法向量，由向量的夾角公式可得從而cos，進而由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得tan，即可得答案解答：解：法一（）如圖：過d作dfac，垂足為f，由平面abc平面acd，可得df平面acd，即df是四面體abcd的面abc上的高；設(shè)g為邊cd的中點，由ac=ad，可得agcd，則ag=；由sadc=acdf=cdag可得，df=；在

10、rtabc中，ab=，sabc=abbc=；故四面體的體積v=sabcdf=；（）如圖，過f作feab，垂足為e，連接de，由（）知df平面abc，由三垂線定理可得deab，故def為二面角cabd的平面角，在rtafd中，af=；在rtabc中，efbc，從而，可得ef=；在rtdef中，tandef=則二面角cabd的平面角的正切值為3（2011宜陽縣）在直三棱柱abca1b1c1中，ca=cb=cc1=2，acb=90，e、f分別是ba、bc的中點，g是aa1上一點，且ac1eg（）確定點g的位置；（）求直線ac1與平面efg所成角的大小考點：直線與平面所成的角。專題：計算題；綜合題。分

11、析：解法一：（）以c為原點，分別以cb、ca、cc1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，寫出有關(guān)點的坐標，利用向量數(shù)量積為零即可求得結(jié)果；（）求出平面efg的法向量的一個法向量，利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；解法二：（）取ac的中點d，連接de、dg，則edbc，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結(jié)果；（）取cc1的中點m，連接gm、fm，則efgm，找出直線與平面所成的角，解三角形即可求得結(jié)果解答：解法一：（）以c為原點，分別以cb、ca、cc1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則f（1，0，0），e（1，1，0），a（0，2，0），c1（

12、0，0，2），設(shè)g（0，2，h），則ac1eg，10+1（2）+2h=0h=1，即g是aa1的中點（）設(shè)是平面efg的法向量，則所以平面efg的一個法向量m=（1，0，1），即ac1與平面efg所成角為解法二：（）取ac的中點d，連接de、dg，則edbcbcac，edac又cc1平面abc，而ed平面abc，cc1edcc1ac=c，ed平面a1acc1又ac1eg，ac1dg連接a1c，ac1a1c，a1cdgd是ac的中點，g是aa1的中點（）取cc1的中點m，連接gm、fm，則efgm，e、f、m、g共面作c1hfm，交fm的延長線于h，ac平面bb1c1c，c1h平面bb1c1c，a

13、cg1h，又acgm，gmc1hgmfm=m，c1h平面efg，設(shè)ac1與mg相交于n點，所以c1nh為直線ac1與平面efg所成角因為，點評：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力屬中檔題4（2011浙江）如圖，在三棱錐pabc中，ab=ac，d為bc的中點，po平面abc，垂足o落在線段ad上（）證明：apbc；（）已知bc=8，po=4，ao=3，od=2求二面角bapc的大小考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；二面角的平面角及求法。專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（i）由題

14、意因為po平面abc，垂足o落在線段ad上所以bcpo有ab=ac，d為bc的中點，得到bcad，進而得到線面垂直，即可得到所證；（ii）有（i）利用面面垂直的判定得到pa平面bmc，再利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后求出即可解答：解：（i）由題意畫出圖如下：由ab=ac，d為bc的中點，得adbc，又po平面abc，垂足o落在線段ad上，得到pobc，poad=obc平面pad，故bcpa（ii）如圖，在平面pab中作bmpa于m，連接cm，bcpa，pa平面bmc，apcm，故bmc為二面角bapc的平面角，在直角三角形adb中，；在直角三角形pod中，pd2=po2+od2，在直

15、角三角形pdb中，pb2=pd2+bd2，pb2=po2+od2+bd2=36，得pb=6，在直角三角形poa中，pa2=ao2+op2=25，得pa=5，又cosbpa=，從而故bm=，bm2+mc2=bc2，二面角bapc的大小為90點評：（i）此問考查了線面垂直的判定定理，還考查了線面垂直的性質(zhì)定理；（ii）此問考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定義，還考查了在三角形中求解5（2011遼寧）如圖，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd（i）證明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角qbpc的余弦值考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判

16、定；向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系；用空間向量求平面間的夾角。專題：計算題；證明題。分析：首先根據(jù)題意以d為坐標原點，線段da的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標系dxyz；（）根據(jù)坐標系，求出則、的坐標，由向量積的運算易得=0，=0；進而可得pqdq，pqdc，由面面垂直的判定方法，可得證明；（）依題意結(jié)合坐標系，可得b、的坐標，進而求出平面的pbc的法向量與平面pbq法向量，進而求出cos，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案解答：解：如圖，以d為坐標原點，線段da的長為單位長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標系dxyz；（）依題意有q（1，1，0），c（0，0

17、，1），p（0，2，0）；則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），所以=0，=0；即pqdq，pqdc，故pq平面dcq，又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq；（）依題意，有b（1，0，1），=（1，0，0），=（1，2，1）；設(shè)=（x，y，z）是平面的pbc法向量，則即，因此可取=（0，1，2）；設(shè)是平面pbq的法向量，則，可取=（1，1，1），所以cos，=，故二面角角qbpc的余弦值為點評：本題用向量法解決立體幾何的常見問題，面面垂直的判定與二面角的求法；注意建立坐標系要容易求出點的坐標，頂點一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點處，這樣才有助于下一步的計算6（2011

18、湖北）如圖，已知正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點e在側(cè)棱aa1上，點f在側(cè)棱bb1上，且ae=2，bf=（i） 求證：cfc1e；（ii） 求二面角ecfc1的大小考點：二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。專題：計算題；證明題。分析：（i）欲證c1e平面cef，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證c1e與平面cef內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)勾股定理可知efc1e，c1ece，又efce=e，滿足線面垂直的判定定理，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知cfc1e；（ii）根據(jù)勾股定理可知cfef，根據(jù)線面垂直的判定定理可知cf平面c1ef，而c1f平面c1ef，則c

19、fc1f，從而efc1即為二面角ecfc1的平面角，在c1ef是等腰直角三角形，求出此角即可解答：解：（i）由已知可得cc1=，ce=c1f=，ef2=ab2+（aebf）2，ef=c1e=，于是有ef2+c1e2=c1f2，ce2+c1e2=c1c2，所以efc1e，c1ece又efce=e，所以c1e平面cef由cf平面cef，故cfc1e；（ii）在cef中，由（i）可得ef=cf=，ce=，于是有ef2+cf2=ce2，所以cfef，又由（i）知cfc1e，且efc1e=e，所以cf平面c1ef又c1f平面c1ef，故cfc1f于是efc1即為二面角ecfc1的平面角由（i）知c1ef

20、是等腰直角三角形，所以efc1=45，即所求二面角ecfc1的大小為45點評：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力7（2011湖北）如圖，已知正三棱柱abc=a1b1c1的各棱長都是4，e是bc的中點，動點f在側(cè)棱cc1上，且不與點c重合（）當cf=1時，求證：efa1c；（）設(shè)二面角cafe的大小為，求tan的最小值考點：二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。專題：計算題。分析：（i）過e作enac于n，連接ef，nf，ac1，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知nf為ef在側(cè)面a1c內(nèi)的射影，根據(jù)，得nfac，又ac1a1c，故nf

21、a1c，由三垂線定理可得結(jié)論；（ii）連接af，過n作nmaf與m，連接me根據(jù)三垂線定理得emaf，則emn是二面角cafe的平面角即emn=，在直角三角形cne中，求出ne，在直角三角形amn中，求出mn，故tan=，根據(jù)的范圍可求出最小值解答：解：（i）過e作enac于n，連接ef，nf，ac1，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面abc側(cè)面a1cen側(cè)面a1cnf為ef在側(cè)面a1c內(nèi)的射影在直角三角形cnf中，cn=1則由，得nfac1，又ac1a1c，故nfa1c由三垂線定理可知efa1c（ii）連接af，過n作nmaf與m，連接me由（i）可知en側(cè)面a1c，根據(jù)三垂線定理得emafemn是二面角cafe的平面角即emn=設(shè)fac=則045，在直角三角形cne中，ne=，在直角三角形amn中，mn=3sin故tan=，又0450sin故當=45時，tan達到最小值，tan=，此時f與c1重合點評：本題主要