泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、目目 錄錄 1 引言.2 2 泰勒級(jí)數(shù).3 2.1 泰勒公式.3 2.2 泰勒級(jí)數(shù).3 2.3 泰勒展開式 (冪級(jí)數(shù)展開式) .4 3 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用.6 3.1 利用泰勒級(jí)數(shù)將非初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的形式.6 3.2 近似計(jì)算.7 3.3 證明不等式.10 3.4 應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算積分.10 參考文獻(xiàn) .12 泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用 王一王一 （西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅蘭州 ） 摘要摘要: 本文主要介紹了泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用, 泰勒級(jí)數(shù)是一種常用的數(shù)學(xué)工具, 在很多 時(shí)候利用泰勒級(jí)數(shù)解題是非常方便的. 本文就是對(duì)泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用的一些敘述,主要是對(duì) 泰勒級(jí)數(shù)在初等函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)

2、、近似計(jì)算、證明不等式、計(jì)算積分等方面展開討論. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞: 泰勒公式;泰勒級(jí)數(shù);泰勒展開式;近似;不等式;積分 中圖分類號(hào)中圖分類號(hào): : O171 Taylor series and its applications WANG Yi (College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou , China） Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is

3、a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calcula

4、tion, inequality proof, calculation of integral and so on. Keywords: Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral 1 1 引言引言 泰勒級(jí)數(shù)以在 1715 年發(fā)表了泰勒公式的英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克泰勒來命名, 在數(shù)學(xué)分析中, 泰勒級(jí)數(shù)是利用無限項(xiàng)相加來表示一個(gè)函數(shù), 這些相加的項(xiàng)由函 數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得. 泰勒級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)不僅具有重大的理論意義, 而且具有廣泛的實(shí)用價(jià)值. 它與泰勒公式有著密切的聯(lián)系, 但也存

5、在著一些實(shí)質(zhì)性的區(qū)別, 因此, 在學(xué)習(xí)這 部分內(nèi)容時(shí), 應(yīng)該明確地掌握泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)的相關(guān)定義. 就泰勒級(jí)數(shù)而言, 它對(duì)于一些非線性問題來說是一個(gè)很好的解題工具. 利用它解題的主要思想是 將非線性問題線性化, 即將一些函數(shù)展開成它的泰勒級(jí)數(shù), 然后利用所展開的泰 勒級(jí)數(shù)聯(lián)系實(shí)際問題最終解決問題. 下面就對(duì)泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用做一個(gè)簡(jiǎn)要的介紹. 2 2 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 2.12.1 泰勒公式泰勒公式 若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù), 在內(nèi)存在階導(dǎo)函fba,nba,1n 數(shù), 則對(duì)任意給定的, 至少存在一點(diǎn), 使得 0 ,xxba, 0 ,xx ).( ! )( ! 2 )( )()()( 0

6、0 )(2 00 000 xR n xxxfxxxf xxxfxfxf n nn 1 則稱為在的泰勒公式. 其中, 為 Lagrange 余1f 0 x )!1( )( )( 1 0 )1( n xxf xR nn n 項(xiàng). 2.22.2 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 若在(1)中抹去余項(xiàng), 那么在附近可用(1)式右邊的多項(xiàng)式來近)(xRn 0 xf 似代替, 如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù), 這時(shí)稱形式為f 0 xx ! )( ! 2 )( )()( 00 )(2 00 000 n xxxfxxxf xxxfxf nn 2 的級(jí)數(shù)為函數(shù)在的泰勒級(jí)數(shù).f 0 x 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們更多的是討論函數(shù)在處的泰

7、勒級(jí)數(shù), 這時(shí)(2)式0 0 x 可以寫作, 稱為麥克勞林級(jí)數(shù). n n x n f x f x f f ! 0 2 0 ! 1 0 0 2 ！ 例例 1 1 寫出下列函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù) ,1x1ln 解解 因, , xxf1ln 00 f , 1 !1 1 1 n n n x n xf . 所以的麥克勞林級(jí)數(shù)為 !110 1 nf n n x1ln . n xxxx x n n 1 432 1 432 . 2 x1 解解 因, 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)利用二項(xiàng)式定理就可以寫出 10,1fxxf 它的麥克勞林級(jí)數(shù); 當(dāng)不為正整數(shù)時(shí), 由于 , n n xnxf 111 所以. 于是的麥克勞林級(jí)數(shù)為 110

8、nf n x1 . n x n n xx ! 11 ! 2 1 1 2 由上述幾道例題知, 一個(gè)函數(shù)只要在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù), 就有對(duì)應(yīng)的 xf 0 x 泰勒級(jí)數(shù). 2.32.3 泰勒展開式泰勒展開式 ( (冪級(jí)數(shù)展開式冪級(jí)數(shù)展開式) ) 定理定理 設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù), 那么在區(qū)間()內(nèi)等于 1 1f 0 xfrxrx 00 , 它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件是: 對(duì)一切滿足不等式的, 有rxx 0 x .0)(lim xRn n 這里是在處的泰勒公式余項(xiàng).)(xRnf 0 x 根據(jù)上述的定理我們就會(huì)知道, 對(duì)于一個(gè)具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 它的泰勒 級(jí)數(shù)是否能夠收斂到函數(shù)本身, 與函數(shù)在的泰勒公

9、式余項(xiàng)有著密切的聯(lián)系.f 0 x 下面我們給出泰勒展開式(冪級(jí)數(shù)展開式)的概念. 若函數(shù)能在的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù), 則稱函數(shù)在的f 0 xf 0 x 這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級(jí)數(shù), 并稱等式 ! )( ! 2 )( )()()( 00 )(2 00 000 n xxxfxxxf xxxfxfxf nn 的右邊為在處的泰勒展開式, 或稱為冪級(jí)數(shù)展開式.f 0 xx 下面我們主要研究函數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù). 因?yàn)辂溈藙诹旨?jí)數(shù)是一種特 殊的泰勒級(jí)數(shù), 即當(dāng)時(shí)的泰勒級(jí)數(shù). 它不但研究起來更加的方便, 而且也0 0 x 能夠體現(xiàn)出泰勒級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì). 例例 2 2 求下列初等函數(shù)的展開式 (

10、1) (2) sinx.; x e 解解 因, , ,(n=1,2,).1 x exf 10 f 10, nxn fexfNn 所以的拉個(gè)朗日余項(xiàng)為 下面我們對(duì)余項(xiàng)進(jìn)行放f).10( )!1( )( 1 n x n x n e xR 縮并求出它的極限 , 1 1 )!1()!1( n x n x n x n e x n e xR 而, 因而可以知道. 由定理 1 知0 )!1( lim 1 n x n x n e 0)(lim xRn n , . x e ! 2 1 2 n xx x n ),(x 因 2 ,sin xxf , 00 f ., 2 , 1, 2 sin n n xxf n ,1

11、 , 0 0 1m n f . 1 2 .2 mn mn 同上題一樣, 經(jīng)驗(yàn)證正弦函數(shù)的拉格朗日余項(xiàng)的極限為.于是0 , .xsin !12 1 ! 5! 3 12 1 53 n xxx x n n ),(x 3 3 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用 3.13.1 利用泰勒級(jí)數(shù)將非初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的形式利用泰勒級(jí)數(shù)將非初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的形式 一般來說, 只有一些相對(duì)簡(jiǎn)單的初等函數(shù), 其冪級(jí)數(shù)展開式能直接從定義出 發(fā), 并根據(jù)定理 1 可求得. 但對(duì)于大多數(shù)一般的函數(shù)來說, 可以從已知的初等函 數(shù)的泰勒展開式出發(fā), 恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用變量代換、 逐項(xiàng)求導(dǎo)、 逐項(xiàng)求積以及四則 運(yùn)算等方法, 間接地求得

12、一般函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式. 熟記一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式對(duì)我們把其它函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)有很 大的幫助, 也會(huì)提高解決問題的效率. 下面就利用泰勒級(jí)數(shù)來解決具體的問題. 例例 3 3 求非初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式. dtexF x t 0 3 解解 因?yàn)榈奶├占?jí)數(shù)是 x e . ! 3! 2 1 32 n xxx x n 而當(dāng)時(shí), 它的泰勒級(jí)數(shù)收斂到它本身, 即,x , ! 2 1 2 n xx xe n x 以來代替展開式中的, 可得 3 x x ex . , ! 1 ! 3! 2! 1 1 3963 3 x n xxxx e n n x 在對(duì)上式逐項(xiàng)求積就得到在上的展開式 xF, . 13!

13、1 10! 3 1 7! 2 1 41 1 131074 0 3 n x n xxx xdtexF n n x t ！ 例例 將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù)并求收斂半徑. 2 4 dt t t x xf sin 0 x 解解 因?yàn)榈奶├占?jí)數(shù)為tsin . !12 1 ! 5! 3 1253 n ttt t n n 而當(dāng)時(shí), 它的泰勒級(jí)數(shù)收斂到它本身, 即t , , !12 1 ! 3 sin 123 n tt tt n n t 所以 , . !12 1 ! 5! 3 1 sin 242 n ttt t t n n 0t 由逐項(xiàng)積分定理得 dt n t x dt t x dt t x dt x dt t t

14、 x n n !120 1 ! 50! 300 sin 0 242 . !1212 1 ! 55! 33 1253 nn xxx x n n 顯然, 收斂半徑 .R 3.23.2 近似計(jì)算近似計(jì)算 泰勒級(jí)數(shù)是解決近似計(jì)算問題的一個(gè)有力的工具. 首先選擇一個(gè)合適的函 數(shù)對(duì)利用泰勒級(jí)數(shù)解決近似計(jì)算問題來說是非常重要的, 所以我們應(yīng)該熟記一 些初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), 其次就是利用泰勒公式余項(xiàng)近似的估計(jì)出某些問題的 近似值. 下面就通過一些具體的例題來研究一下到底應(yīng)該如何使用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行近 似計(jì)算. 例例 5 5 求的近似值, 計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第三位(誤差不超過). 3 10 解解 已知函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)

15、是xarctan , .xarctan 12 1 53 1253 n xxx x n n 11x 令, 則有1 , 1 3 1 x 6 3 1 12 1 1 3 1 | 12 1|arctan x n n n x n x x ， 1253 3 1 12 1 1 35 1 33 1 3 1 n n n 則 . n n n312 1 35 1 33 1 132 2 利用 Leibniz 級(jí)數(shù)的余和估計(jì) . 12 1 3 1 2 1 1 n ar n nn 若要, 只需, 由此便可得應(yīng)取的項(xiàng)數(shù), 即至少取 1000 1 n r 1000 1 12 1 3 1 n n 5n 項(xiàng)滿足題意, 當(dāng)時(shí)55n

16、. 143 . 3 729 1 189 1 45 1 9 1 132 例例 求 的近似值并估計(jì)誤差. 2 6e 解解 已知的麥克勞林級(jí)數(shù)是 x e ,. ! 2! 1 1 ! 2 0 n xxx n x e n n n x Rx 令有1x , ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 1 0 nn e n 這就是 的級(jí)數(shù)表示, 用它的部分和近似代替 , 則誤差為e n k n k S 0 ! 1 e n kk n k n kkk eSe 000 ! 1 ! 1 ! 1 32 1 2 1 1 !1 1 !3 1 !2 1 !1 1 nnnnnnn . nn n nnnn! 1 1 1 1 1 !1

17、 1 1 1 1 1 1 !1 1 2 取時(shí), 即用近似代替數(shù) , 即10n 10 Se , !10 1 ! 2 1 ! 1 1 1e 其誤差不超過 . 6 1036 1 36288000 1 10!10 1 例例 近似計(jì)算并求誤差. 3 72ln 解解 已知對(duì)數(shù)函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)是x1ln , . n xx xx n n 1 2 1 2 1ln1 , 1x 將上式中的用代替可得xx , . n xx xx n 2 1ln 2 1 , 1x 將上面兩式相減即得 , 753 2-1ln1ln 753 xxx xxx 或 , . 753 2 1 1 ln 753 xxx x x x 1 , 1x

18、3 令, 有 Nn n x,1 , 1- 12 1 . n n n n x x1 12 1 1 12 1 1 1 1 將帶入中可得 12 1 n x 3 , 53 125 1 123 1 12 1 2 1 ln nnnn n 或 . 3 123 1 12 1 2ln1ln nn nn 4 令 已知 由級(jí)數(shù)得, 1n, 01ln 4 ， 53 35 1 33 1 3 1 22ln 只計(jì)算上式前項(xiàng)部分和, 即有4 .69313 . 0 37 1 35 1 33 1 3 1 22ln 753 其誤差不超過 . 5 119119 107 39 1 39 1 2 311 1 39 1 2 3.33.3

19、證明不等式證明不等式 泰勒級(jí)數(shù)是將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的形式, 可以應(yīng)用于證明不等式. 例例 8 8 證明不等式. ,2 2 2 xeee x xx 證明證明 因?yàn)?, , !2 2 2 0 n x ee n n xx ! !2 22 2 0 2 2 n x e n n x 而 , ! !2!2 22 n x n x nn 故 . 2 2 2 x xx eee 3.43.4 應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算積分應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算積分 對(duì)于一些復(fù)雜的積分直接計(jì)算很難求出結(jié)果, 有時(shí)候利用泰勒級(jí)數(shù)能給某 一類復(fù)雜積分的計(jì)算帶來一些轉(zhuǎn)機(jī), 適當(dāng)?shù)膶⒈环e函數(shù)中的某一個(gè)或某幾個(gè)函 數(shù)展開成它的泰勒級(jí)數(shù), 可以使原本復(fù)雜的問題

20、簡(jiǎn)單化. 例例 計(jì)算積分. 4 9dx x x 2 1 ln 0 1 解解 通過變形 .xdx x x xdxxdx x xx dx x x ln 10 1 ln 0 1 ln 1 1 0 1 1 ln 0 1 2 2 2 2 2 因?yàn)?,xxx x x xdx n n lnln 1 , 1ln 0 1 2 1 2 2 因此 原式.xdxx n n ln 0 1 1 2 1 對(duì)于級(jí)數(shù)來說, 它在內(nèi)不一致收斂, 但在上卻逐項(xiàng)可積, xx n n ln 2 1 1 , 0 1 , 0 證明如下 首先當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)通項(xiàng). 當(dāng)時(shí), 為等1x0|ln1 1 2 x n n xxu10 xxx n n ln 2 1 比級(jí)數(shù), 所以和函數(shù) 由此可見 . 1 , 0 , 10 ,ln 1 2 2 x xx x x xS . 1 2 1 11 -1-1ln 01 2 1 lim - S xx xx S x 故該級(jí)數(shù)非一致收斂. 其次因?yàn)? 其中及 n n k nk n x x xx x x x xxxR 2